量纲分析例题集
1-4-6、解:(1)当T=20℃时,=1.205kg/,=1.81Pas
=998.2kg/,=100.42Pas 此为管内低速流动,流动的粘性起主要作用,即Re是决定性相似准数 设空气的流动为“实物”,水的流动为“模型”,则:
===1, ===1.207, ===0.018
考虑雷诺相似,有==14.913,
所以,风速v==14.9132.5=37.28m/s
(2)由欧拉相似,得 ==0.268
由 = , 得=3.73
即通过空气时测得的压力损失应扩大3.73倍才是通过水的压降。
1-4-7、解:(1)当T=20℃时,=998.2kg/,=100.42Pas 此为管内低速流动,流动的粘性起主要作用,即Re是决定性相似准数
==10, ===4.007, ===0.036
考虑雷诺相似,有==8.984,
所以,水速
===0.89m/s
(2)由欧拉相似,得 ==0.032
所以 ===3.75kPa
1-4-8、解:拟定函数关系式为f(d,v,,,,g)=0
取d,v,为基本物理量,由定理可得:
F( 1, 1, 1,,,)=0
式中= ,= ,
对以上三式可写出量纲方程式如下:
=
由=0 ,可解得 所以=
同理,可解得== , =
所以f( , 即= f(
所以v=
1-4-9、解:拟定函数关系式为f(D,v,,,,F)=0
取D,v,为基本物理量,由定理可得: F( 1, 1, 1,,)=0
式中= ,=
所以 ==
由=0 ,可解得 所以==
同理,可解得 = 所以 f()=0
即= f() 所以 F=f()
1-4-10、解:拟定函数关系式为f(d,v,,,,g)=0
取d,v,为基本物理量,显然hf/L是一个π,因hf和L量纲都是长度由定理可得:
F( 1, 1, 1,,)=0
式中= ,=
所以==
由=0 ,可解得 所以==
同理,可解得 = ,
=
所以 =f(
1-4-11、解:拟定函数关系式为f(D,n,,,,P)=0
取D,n,为基本物理量,由定理可得:
F( 1, 1, 1,,)=0
式中= ,=
所以 ==
由=0 ,可解得 所以=
同理,可解得= , 所以f()=0
即= f() 所以 P=f()
1-4-12、解:当T=10℃时,=999.7kg/,=1.306Pas 此为管内低速流动,流动的粘性起主要作用,即Re是决定性相似准数
由
由=2.78=2.78/s ,/s ,=4.5m 可解得 =2.25m 可解得 =0.175m/s =0.670m/s
考虑雷诺相似,有===v=0.018
==3.15
由 =Q 可解得=3.46m
同理,可解得
故用水做实验时,大口处的直径=1.74m =3.46m ,小口处的直径=1.74m
课外例题
例1:用布金汉定理确定圆管流动中边壁切应力的表达式τ0。已知τ0与液体的密度ρ,液体的动力沾滞系数μ,圆管直径D
,管壁材料的粗糙度△以及管中断面平均流速υ有关。
解 拟定函数关系式为f(D,υ ,ρ,τ0,μ,△)=0
选取D(几何量),υ(运动量),ρ(动力量)为基本量建立(6~3 )π项:
对每一π项建立量纲关系式,排列量纲和谐方程求解ai,bi ,ci 。 对π1 :
同理求得
将各π代入得
整理得
令
则
例2:液体在水平等直径的管内流动,设两点压强差△p与下列变量有关:管径d,ρ,υ,l,μ,管壁粗糙度△,试求△p的表达式。
解:F(d,ρ,υ,l,μ,△,△p)=0
基本量d,ρ,υ, n=7, m=3, π数n-m=4
个
对π1
:
对π2:
同理得 :
设
则
例3、 确定圆管流动中边壁切应力的表达式τ0。
解 影响τ0的独立影响因素有液体的密度ρ,液体的动力粘度μ,圆管直径D,管壁材料的粗糙度△以及管中断面平均流速v0拟定函数关系式为
写出量纲关系式为
排列量纲和谐方程求各指数。
联立以上三式解得b=1-a,c=a-d-1,e=a+1。
将各指数值代入函数关系式中得
整理得
令
式中λ——系数,由实验确定。 所以
例4、确定粘性流体流经竖置的单位长度长直圆柱体时的绕流阻力表达式
解:单位长度所受的阻力FD=F/L(F为柱的整体阻力,L为柱长),影响阻力的因素包括柱的直径D,流体密度ρ,粘度μ,以及行近流速U: 依据量纲和谐原理,上式可写成量纲方程为
FD=kDx Uyρz μa
应用[M-L-T]制,并代入相应的量纲
[ML0T-2]=[L] x [LT-1 ]y [ML-3 ]z [ML-1 T -1 ]a
为满足量纲的和谐,相应的量纲指数必须相同。因此
M:1=z+a L: 0=x+y-3z-a T:-2=-y-a
得 x=1-a,y=2-a,z=1-a
故 FD=kD1-a U2-aρ1-aμa
或