伸缩变换视角下的压轴题

・２０・

中学数学研究

２０１４年第１期

有ＱＦ上ＰＰ’，那么结论７是否也有ＱＦ上ＰＰ’呢？

ｌ，解得茗＝了ａ２，即点口在类准线茗＝了ａ２上；当直线

ＰＰ’的斜率存在时，设直线ＰＰ’：），＝后（菇一ｔ），Ｐ（石１，

探究Ｐ（菇・，ｙ－），Ｑ（｝，ｙｏ），Ｆ（ｆ，ｏ）＇．．．ＰＱ：

，，１），Ｐ，（％ｙ２）’．．．ＰＱ：等＋等＝１①’Ｐ，Ｑ：ＸＴ２Ｘａ＋

口

Ｄ

Ｘ了ｌＸ＋等＿１’‘．’点Ｑ在直线ＰＱ上’．．．％＝等（１一Ｙ丁２Ｙ＝ｌ②，由①×儿一②×，，ｌ，得

每ａ令‘．茚娟。吨¨，而＝（了ａ２“等”

￡旦堕≥ｉ宇（三捌茗＝争２Ｘ１ｋ（ｔｘ

儿一茗ｚ），－）＝儿一ｙ，，・・・茗＝裂石１

Ｙ２一Ｘ２＝，，１

等））’．．．Ｆ—Ｐ・Ｆ—ｑ＝（茗。一‘）（等一ｔ）＋ｂ２（１一争）

２一ｔ）一Ｘ２后（菇１一￡）

‘”’““Ｙ

’．．．点Ｑ在类准线茗

４７‘。严““＝０’．．．（矿州譬一Ｉ一譬）＝０’．．．Ｘｌ。－ｔ（ｃ２－ｔ２）

：旦－上

ｔ

（２）必要性：由点Ｑ在类准线茗＝譬上，设

Ｆ（ｔ，ｏ）及对应的类准线石＝了ａ为焦点及对应的准

Ｑ（等，ｙｏ），Ｐ（扎），，），Ｐ，（ｘ２，Ｙ２）’．．．ＰＱ：等＋警：

‘

口Ｄ

１，ｐ，Ｑ：可Ｘ２Ｘ＋等：１，・．・点Ｑ在直线ＰＱ与Ｐ，Ｑ上，

ａ

Ｄ

．Ｆ等－ｌ’即ｒ一气％：。

引圆的两条切线（如图），连

Ｉ等＋警吐卜ｔ＝一警，

耍曩萎缫４０Ｐ

匕；塔爿垒．

、ＤＰ’、ＯＱ，则ｏＰ上ＰＱ，

’

＼。ｌ’、鞯，ｆ。

上’Ｑ，ＰＯＱＰ上即’于，直线

ＯＭｌ斜

［

Ｉ

Ｉ

时，省ｌ＝茗２＝ｔ，则Ｐ、Ｐ’、Ｆ三点共线，当Ｙｏ≠０时，

＝铲’．．．茗，・勘＝，２，令

图４一

坼＝｝毛＝一丢，后Ｐ，＝乏．ｙｉ２＝一番，．．．坼＝

ｋＰ，，，故Ｐ、Ｐ’、Ｆ三点共线．

说明：由于叙述方式的原因，在结论６与结论７中．没有涉及到ＤＦ上ＰＰ，．容易分析到．结论６仍然

伸缩变换视角下的压轴题

山东省莱州市第一中学

（２６１４００）

杨占华

２０１３年山东文科数学压轴题是一道有良好区

１

原题与标准答案

分度的高考题，题目条件简单，易于上手，但考生要（２０１３年山东文科数学第２２题）

在平面直角

获得满分还是比较困难的，因为本题既考查了考生坐标系菇以中，已知椭圆Ｃ的中心在原点Ｄ，焦点在

的分类讨论思想，又深度地考查了运算能力．本文中笔者首先给出标准答案和两种简洁解法，然后对此茗轴上，短轴长为２，离心率为华

厅

二

题的命题背景进行了深层次的分析，应用伸缩变换（Ｉ）求椭圆Ｃ的方程；

解答本题和２０１１年山东理科第２２题，简洁清晰的解

厉

题过程犹如一道亮丽的风景呈现在我们的眼前．

（Ⅱ）Ａ，Ｂ为椭圆ｃ上满足ＡＡＯＢ的面积为华的

万方数据

２０１４年第１期

中学数学研究

・２１・

任意两点，Ｅ为线段ＡＢ的中点，射线ＯＥ交椭圆Ｃ于

点Ｐ．设历：ｔＯ—Ｅ，求实数ｔ的值．

标准答案：（Ｉ）椭圆ｃ的方程冬＋，＝１（省略

过程）；

（Ⅱ）（ｉ）当Ａ，Ｂ两点关于茗轴对称时，设直线

ＡＲ的方程为菇＝ｍ，由题意一√虿＜ｍ＜０或０＜ｍ

＜厄，把茹＝ｍ代入虿ｘ２＋广＝ｌ得１），ｌ－２－－ｍ２ｊ，

由％仙＝Ｉ

ｍ

ｌ［２－－ｍ２．＝孚，得ｍ２＝虿３甄丁１，此

时蔬：（±学，ｏ）或（±牟，ｏ），而历：（±厄，ｏ），所以￡：擎或２．

（ｊｉ）当Ａ，Ｂ两点关于茹轴不对称时，设直线ＡＢ

的方程为ｙ＝ｋｘ＋ＩＩｌ，和冬＋ｙ２＝１，联立得

（１＋２ｋ２）石２＋４ｋｈｘ＋２ｈ２—２＝０，设Ａ（ｘｌ，Ｙ１），Ｂ（镌，儿）．由判别式△＞０可得１＋２ｋ２＞ｈ２，此时毛

＋石：２一ｉ面，茗－菇：２４ｋｈ

２＾２—２

ｉ面，Ｙｌ＋Ｙ２２

ｉ砑，

２ｈ

点０到直

线ＡＢ的距离ｄ＝号≠品，所以％∞＝虿１ｋ

＝厄臀…＝孕

ＩＡＢ

ｄ

√ｌ＋２

二

令／／，＝１＋２ｋ２，代入上式整理得３ｎ２—１６ｈ２，ｌ＋

１６ｈ＊：ｏ，解得，ｌ：动４２或ｎ：４ｈ２．又本：￡蔬：

ｔ（鱼弓兰，丛—≯）：（一兰垃，ｈ．ｔ），代入椭圆方程

ｔ２【÷（一警）２＋（告）２】＝ｌ，即争＝１，又因为ｎ

：≯４：或，ｌ：４＾：，且ｔ＞ｏ，故￡：学或２．经检验，

适合题意．

矧ｉ）、（ｉｉ）’得ｔ＝学或２．

以上解法是官方答案，属于通法，思路简单，只要想到讨论，便是复杂的运算了，解法中令／１，＝１＋２ｋ２，使式子简洁了许多．总之此题深度地考察了考

生的运算能力．

万方数据

２

衙清解法

简解一：设Ａ（茗１，ｙ１），Ｂ（并：，ｙ２），因为ＩｓＭｎＢ＝虿１

・Ｉ菇ｌ儿一ｘ２，，。Ｉ＝华，平方得菇２１扎２—２ｘ。ｘ２），１儿＋石；ｙ２

＝了３，把ｙ２：ｌ一等２，ｚ：１一萼代入得２（戈：＋菇；）

一２茗；髫２２—４”２ｙｌ扎：３①．Ｏ—Ｐ：ｔ蔬：ｔ（生≥，

８

＋１６Ｘ１石２Ｙ１Ｙ２

＝

８石；石；一８（ｘ：＋菇２２）

＋

Ｘ（一４）＋１６＝４，所以２ｘ１菇２＋４ｙｌＹ２＝±２，得

此法能避爱．讨论．运算量较小．

简解二：设Ａ（瓜ｏｓ口，ｓｉｎｃｔ），Ｂ（屈。够，ｓｉｎ归），

Ｉ－譬ｌｓｉｎ（ａ一刚＝譬，所以Ｉｓｉｎ（ａ

一卢）Ｉ－譬，ｃ。ｓ（ａ一卢）＝±｝把商＝ｔ—ＯＥ＝

－１’ｔ２【地掣＋地畸趟】＿－，

所时＝百纛≥丽＝÷或４，因为ｔ＞ｏ，故ｔ＝学或２．

利用椭圆的参数方程，也能避免讨论，且运算量

更小．

３

渊源与推广

我们知道椭圆和圆之间．－－ｆｆ以通过伸缩变换进行

相互转化．例如：椭圆手＋丢＝１０在矩阵（言：］，

相互转化．例如：椭圆与＋鲁＝

ｕ

口

在矩阵ｆ

ｉ

．

．１

Ｉ，

！半）．’代入椭圆等２＋广＝ｌ甜虹≯＋产掣乩产＝雨万‰＝

●－＿－。－●＿＿＿＿＿＿＿＿－－＿＿＿＿＿。＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿－＿＿＿＿＿＿＿●＿－●－。。－。●＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。一菇２１＋２衍＋茗ｉ＋２Ｚ＋２ｘｌ茹２＋４，，１儿一

１６ｙ２ｌ儿２

互＿Ｆ互：蒜，而（２茗ｔ菇：＋４，，－扎）２＝４菇２・石２２＋

１６ｘＩ菇２ＹｌＹ２＋１６，把①式代入得（２茗１菇２＋４，，１扎）２＝

３

产：丢或４，因为Ｉ＞ｏ，故￡：冬竽或２．

％∞＝丢Ｉ茗。儿一茹：），，Ｉ＝譬，即号Ｉ瓜。ｓ商唯一压。倒ｎａｔ（缸学，半），代入椭圆等２＋广

．２２．

——＿————————————————————————————————————————————一

中学数学研究

２０１４＃－ｇ１期

ｆ，上０、

ｌ三÷ｊ的作用下变换为圆∥２＋／２＝６２和圆∥２

＋Ｙ正＝Ｉ。反之亦成立．

在变换（三善］，（言：］，（言；］等的作用

＝÷ｌ兰薹ｉｌ的绝对值，在伸缩变换｛二：三萋

（小为常数）下Ｓ，一一Ｉ曲ｓ艘，所以等＝磊１

利用上述伸缩变换中诸多不变的性质，椭圆等

＋广毒ｌ经过伸缩变换｛≥三尹’后为单位圆∥２＋

ｙ１２扎由鳖ｓａａｏＢ＝磊１＝护１ｓ’一，＝孕在单位Ａ＇Ｂ’的中点），则Ｓ＇Ａｘ．ｏ矿＝／ｒｊｌ开・Ｉ

圆膏应＋，，“＝１中，设半径ＯＰ’上ＡＩＢ垂足为Ｅ’（即

ＯＥ’Ｉ＝

孕，解得ＩＯＥ’Ｉ＝虿１鼠虿，此时｝差斗＝２或竽

所以在椭圆譬＋广＝１¨＝等＝揣＝

由同一直线上两线段长度之比在伸缩变换下不变，

２或弩互这也是本题的一种解法．

／。

。月’

ｙ‘

爿

厂毯Ｂ：厂‘。＼．力夕

＼刀阪／

｜ｉ

图１

图２

万方数据

事实上，在单位圆中当ＡＡ’ＯＢ’的面积为定值

（弘，∞，∈（０，下１］）时，其高ＯＥ’为定值，进一步高

与半径之比为定值．在伸缩变换下，单位圆转化为椭

圆，相应厶ＡｏＢ面积也为定值，相应｝＿辫的值也是

定值．这便有本题的推广：

推广Ａ，Ｂ为椭圆ｃ：与＋告＝１上满足△Ａ叩

的面积为定值（范围（ｏ，譬】）的任意两点，Ｅ为线段

Ａ曰的中点，射线ＯＥ交椭圆Ｃ于点Ｐ．设ＯＰ＝ｔＯＥ，

则实数ｔ为定值．

上述推论的逆命题也成立．

由于椭圆与圆是紧密联系的，利用变换的性质，结合圆的某些性质，许多问题可以轻松解决，既能避

免大量的运算，节省了宝贵的考试时间，又能减少出错的机会．再举一例：

４神通的变换

（２０１１年山东理科数学第２２题）已知动直线ｌ

与椭圆ｃ：－茗４－＋÷＝１交ｆｆ－Ｐ（ｘｌ，ｙＩ），Ｑ（屯，娩）两不

同点，

ＡＯＰＱ的面积＆Ｄ阳＝等，其中０为坐标原

点．证明：（１）薪＋Ｚ和Ｚ＋Ｚ均为定值；（２）、（３）略．

这道理科压轴题的难点就在第（１）问，按照常规做法运算量很大，难倒了当年的考生，考后统计数据显示全省只有２名考生得到该题的满分．

ｉ正．ｎｆｌ：椭圆ｃ：争＋每＝１在伸缩变换

Ｉ砍Ｙ黼叫～％岫甓：卜厄

－悯丽１

ｙ。。

●

２石１，Ｓａ舢，－＿．１而

单位圆中＆ＤＰ，口，＝÷Ｉ

ＯＰ’Ｉ。

厂。矫。ｌ

ＯＱ’ｌ

ｓｉｎ￡Ｐ’ＤＱ’＝÷，得

／＿Ｐ’ＤＱ’＝９００．设Ｐ’（髫’ｌ，＼７）’Ｉ

ｙ７。），Ｑ（菇，２，Ｙ’２），因为ｌＯＰ？Ｉ

＝Ｉ

ＯＱ’Ｉ，不妨设（菇’１＋，，’１ｉ）

・ｉ＝菇，：＋，，’ｚｉ（￡为虚数单位），即｛：乏

２０１４年第ｌ期

中学数学研究

・２３・

＋，，’；＝１，得茗’；＋茹’；＝１，即茗；＋茗；＝３，同理衍＋Ｚ＝２均为定值．

上面证明中复数乘法几何意义的应用是一大亮点．本题利用椭圆的参数方程解答也很简单，留给读者证明．通过证明，细心的读者就会体会出伸缩变换与参数方程的紧密关系了，限于篇幅，不再赘述．

孟子日：孔子登东山而小鲁，登泰山而小天下．

只有站在更高的地方才能看清问题的本质，做到一

览无余，融会贯通．

参考文献

［１］胡典顺．解析几何中韵问题解决：变换的视角［Ｊ】．数学通讯，２０１３（１）（下半月）．

一个分式不等式的再推广及应用

湖北省黄冈市浠水县第一中学（４３８２００）

１

吴威

Ｉ司趣的引入

三或者ｍ＝．｜｝＝０时等号成立．

为证命题２先给出如下引理：

＜数学通报）２０１３年第３期数学问题２１１３为：

设正数托，Ｘ２，…，％满足∑气＝５（ｎ≥２），求证

弓ｌ理ｌ

设茗ｉ

Ｅ

Ｒ＋（ｉ＝ｌ，２，…，ｎ，ｎ≥２），ｍ

。

主ｉ＝１｝≥３≥双ｊ≥一．该问题实睛上是＜数学通

报）２００７年第２期数学问题１６６０（若ａＩ，口２，口３，ａ．Ｅ

（∑茗；）４

≤ｏ或者ｍ≥ｌ，则有∑ｉ＝１菇≯≥—等百一

证明：①当ｍ＝０或ｍ＝１时不等式显然成立．②当ｍ≠０且ｍ≠１时，设尺名）＝茗。（茗＞０），则厂（髫）＝，ｎ茹。一１，（石）＝ｍ（ｍ一１）石。一２＞０，于是

彤＾＋ａ２＋ａ３＋ａ４一ｓ，蛐去３＋去３＋去＋尚≥参２）的推广．

文［１］利用算术一几何平均不等武将问题１６６０推广为如下命题：

命题１

设ａ‘ＥＲ＋（ｉ＝１，２，…，尼，尼≥３），且

３

贝茗）为凸函数・由Ｊｅｎ８ｅｎ不等式有（荟詈）“≤

。．

；ｉｉ，故有∑ｉｆｆｉｌ膏｝≥—葛ｊ一综合①②有引理１

成立．

Ｘ“）氟∑（

．

ａｌ＋ａ２＋…＋口。＝ｓ．如果ｍ满足以下条件之一：（１）ｍ＝ｌ；（２）ｍ≤０；（３）ｍ≥２．则不等式－－￥－堕ａ—Ｉ＋

弓Ｉ＿理２设茹；∈Ｒ＋（ｉ＝１，２，…，，ｌ，ｎ≥２），贝０

圭ａ２＋．．・＋去ａ≥亡斋１眦且等号成

ｓ—

ｓ一

＾

有壹÷≥善扣㈡‘

ｌ

１

【ｎ一）ｎ“。‘

∑扎

ｌ

立当且仅当。ｔ

２叱２…＝ｎ。２÷

本文主要利用切比雪夫不等式对命题ｌ进行推

广．

Ｌ≯≥石氖，故有

——＋——＋…＋一

ｎ

证明：由算术平均值和调和平均值的关系有

茗１＋戈，＋…＋茗．

２命题ｌ的推广

命题２

设毛ＥＲ＋（ｉ＝Ｉ，２，…，玷，ｎ≥２）满

∑ｉ１≥｝．

诘１％

∑筏

足∑菇；＝ｓ（ｎ≥２），，，ｌ，ｋ≥ｌ或者ｍ，后≤０，则有

下面证明命题２．

壹ｉ＝ｌ南≥筹尚，％一…。＝

万方数据

证明：不妨设菇。≥省。一ｌ≥…≥菇ｌ＞０，于是

——Ｌ≥—Ｌ一≥…≥—Ｌ＞０．