有理数典型例题

数怎么不够用了

典型例题

例1 如果向东走8千米记作＋8千米，向西走5千米记作－5千米，那么下列各数分别表示什么？

（1）＋4千米； （2） 千米； （3）0千米

解：（1）＋4千米表示向东走4千米．

（2） 千米表示向西走 千米．

（3）0千米表示原地未动．

说明：（1）用正数和负数可以表示意义相反的量．（2）正数前面可以加上“＋”号，一般地，正数前面的“＋”号可省略不写，但有时为了强调，习惯上在正数前面要加上“＋”号．（3）0除了表示一个也没有外，还是正数与负数的分界；这里在实际问题中有确定的意义．

例 2用有理数表示下面各量．

（1）如果收入200元记作＋200元，则如何表示支出100元？

（2）如果海平面以下100米记作－100米，则如何表示海平面以上1000米？

（3）如果向南行100米记作＋100米，则向北行200米如何表示？

（4）如果比标准重量重10千克记作＋10千克，则比标准重量少5克应如何表示？

分析 该题中每两个量都是意义相反的两个量，为了区别意义相反的量我们应用不同符号的数来表示．

解 （1）支出100元表示为－100元；（2）海平面以上1000米应表示为＋1000米；（3）向北行200米表示为－200米；（4）比标准重量少5克表示为－5克．

注意 （1）一个量是用正数表示，还是用负数表示是人们规定的，但在表示中也应尊重人们在多年生活中形成的习惯．如：零上温度一般规定为正；海平面以上一般规定为正等；

（2）正数前面的“＋”号是可以省略不写的．

例3 判断正误（正确的打√，错误的打×）．

（1）-a 一定是负数．（ ）

（2）零是自然数．（ ）

（3）没有最小的正有理数．（ ）

解：（1）×（2）√（3）√

说明：应紧扣互为相反数、负数、零、正有理数的概念来解此类题，主要是应想到我们已经学到了代数领域了．应时时注意到字母a 可能为：负数、零、正数．

例4 （1）在知识竞赛中，如果＋10表示加10，那么扣20分怎样表示？（2）某人转动转盘，如果用＋5表示沿用逆时针方向转了5圈，那么沿顺时针方向转了12圈怎样表示？

（3）在某次乒乓球质量检测中，一只乒乓球超出标准质量0. 02克记作＋0.02，那么－0.03克表示什么？

解：（1）扣20分记作－20分；（2）顺时针方向转了12圈记作－12圈；（3）－0.03克表示乒乓球的质量低于标准质量0. 03克．

说明：通过三个实例说明如何用正负数表示这种具有相反意义的量．

例5 把下列各数填在相应的括号内：-16，26，-12，-0.92， ，0， ，0.1008，-4.95 （思考：小数是分数吗! ）．

正数集合{ }； 负数集合{ }；

整数集合{ }； 正分数集合{ }；

负分数集合{ }；

分析：根据正数、负数、整数和分数的定义，严格区别．注意零既不是正数，也不是负数，但是整数．

解：正数集合{26， ， ，0.1008，……}；

负数集合{-16，-12，-0.92，-4.95，……}；

正分数集合{ ， ，0.1008，……}；

负分数集合{-0.92，-4.95，……}．

说明：用大括号表示集合时，要注意省略号的使用．如“正数集合”指的是包含所有正数的一个“集体”，因为是“所有的”，而具体填时仅能填写一部分，所以后面应加省略号．

习题精选

一、选择题

1．下面说法中正确的是（ ）．

A ．一个数前面加上“－”号，这个数就是负数

B ．0既不是正数，也不是负数

C ．有理数是由负数和0组成 D．正数和负数统称为有理数

2．如果海平面以上200米记作＋200米，则海平面以上50米应记作（ ）．

A ．－50米 B．＋50米

C ．可能是＋50米，也可能是－50米 D．以上都不对

3．下面的说法错误的是（ ）．

A ．0是最小的整数 B．1是最小的正整数

C ．0是最小的自然数D ．自然数就是非负整数

二、填空题

1．如果后退10米记作－10米，则前进10米应记作________；

2．如果一袋水泥的标准重量是50千克，如果比标准重量少2千克记作－2千克，则比标准重量多1千克应记为________；

3．车轮如果逆时针旋转一周记为＋1，则顺时针旋转两周应记为______.

三、判断题

１．0是有理数．（ ）

２．有理数可以分为正有理数和负有理数两类．（ ）

３．一个有理数前面加上“＋”就是正数．（ ）

４．0是最小的有理数．（ ）

四、解答题

1．写出5个数（不许重复），同时满足下面三个条件．

（1）其中三个数是非正数；（2）其中三个数是非负数；（3）5个数都是有理数．

2．如果我们把海平面以上记为正，用有理数表示下面问题．

一架飞机飞行高于海平面9630米；（2）潜艇在水下60米深．

3．如果每年的12月海南岛的气温可以用正数去表示，则这时哈尔滨的气温应该用什么数来表示？

4．某种上市股票第一天跌0.71％，第二天涨1.25％，各应怎样表示？

5．如果海平面以上我们规定为正，地面的高度是否都可以用正数为表示？

6．一学生参加一次智力竞赛，其中考五个题，记分标准是这样定的，如果答对一题得1分，答错或不答都扣1分，该生得了3分，问其答对了几个题？

数轴

习题精选

一、选择题

1．一个数的相反数是它本身，则这个数是（ ）

A ．正数 B．负数 C．0 D．没有这样的数

2．数轴上有两点E 和F ，且E 在F 的左侧，则E 点表示的数的相反数应在F 点表示的数的相反数的（ ）

A ．左侧 B．右侧 C．左侧或者右侧 D．以上都不对

3．如果一个数大于另一个数，则这个数的相反数（ ）

A ．小于另一个数的相反数 B．大于另一个数的相反数

C ．等于另一个数的相反数 D．大小不定

二、填空题

1．如果数轴上表示某数的点在原点的左侧，则表示该数相反数的点一定在原点的________侧；

2．任何有理数都可以用数轴上的________表示；

3．与原点的距离是5个单位长度的点有_________个，它们分别表示的有理数是_______和_______；

4．在数轴上表示的两个数左边的数总比右边的数___________．

三、判断题

1．在数轴离原点4个单位长度的数是4．（ ）

2．在数轴上离原点越远的数越大．（ ）

3．数轴就是规定了原点和正方向的直线．（ ）

4．表示互为相反数的两个点到原点的距离相等．（ ）

四、解答题

1．写出符合下列条件的数

（1

）大于 而小于1的整数；

（2）大于－4的负整数；

（3）大于－0.5的非正整数．

2．在数轴上表示下列各数，并把各数用“＜”连结起来．

（1）7，－3.5，0，－4.5，5，－2，3.5；

（2）－500，－250，0，300，450；

（3）0.1， ，0.9， ，1，0．

3．找出下列各数的相反数

（1）－0.05 （2） （3） （4）－1000

4．如图，说出数轴上A 、B 、C 、D 四点分别表示的数的相反数，并把它们分别用

标在数轴上．

5．在数轴上，点A 表示的数是－1，若点B 也是数轴上的点，且AB 的长是4个单位长度，则点B 表示的数是多少？

绝对值

典型例题

例1 求下列各数的绝对值，并把它们用“＞”连起来．

， ，0，－1.2

分析 首先可根据绝对值的意义，即正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0来求出各数的绝对值．在比较大小时可以根据“两个负数比较大小，绝对值大的反而小”比较出 ，其他数的比较就容易了．

解

说明： 利用绝对值只是比较两个负数．

例2 求下列各数的绝对值：

（1）－38；（2）0.15；（3）；（4） ；（5

）；（6）． 分析：欲求一个数的绝对值，关键是确定绝对值符号内的这个数是正数还是负数，然后根据绝对值的代数定义去掉绝对值符号，(6)题没有给出a 与b 的大小关系，所以要进行分类讨论． 解：（1）|-38|＝38；（2）|+0.15|＝0.15；

（3）∵＜0，∴||＝－；

（4）∵b＞0，∴3b＞0，|3b|＝3b ；

（5）∵＜2，∴-2＜0，|-2|＝-(-2) ＝2-；

（6）

说明：分类讨论是数学中的重要思想方法之一，当绝对值符号内的数(用含字母的式子表示时) 无法判断其正、负时，要化去绝对值符号，一般都要进行分类讨论．

例3 一个数的绝对值是6，求这个数．

分析 根据绝对值的意义我们可以知道，绝对值是6

的数应该是

说明：互为相反数的两个数的绝对值相等．

例4 计算下列各式的值 ．

（1） ；（2） ；

（3） ；（4）

分析 这些题中都带有绝对值符号，我们应先计算绝对值再进行其他计算．

解 （1） ；

（2） ；

（3） ；

（4）

说明：在去掉绝对值之后，要注意能简算的要简算，如（2）题．

例5 已知数 的绝对值大于 ，则在数轴上表示数 的点应在原点的哪侧？

是正数还是负数．由于负数的绝对值是 分析 确定表示 的点在原点的哪侧，其关键是确定

是负数． 它的相反数正数，所以可确定

解 由于负数的绝对值是它的相反数，所以负数的绝对值大于这个负数；又因为0和正数的绝对值都是它本身，所以 是负数，故表示数 的点应在原点的左侧．

说明：只有负数小于其本身的绝对值，而0和正数都等于自己的绝对值．

绝对值

习题精选

一、选择题

1．如果 ，则（ ）

A ． B． C． D．

2．下面说法中正确的是（ ）

A ．若 ，则

B ．若 ，则

C ．若 ，则

D ．若 ，则

3．下面说法中正确的是（ ）

A ．若 和 都是负数，且有 ，则

B ．若 和 都是负数，且有 ，则

C ．若 ，且 ，则

D ．若

都是正数，且 ，则

4．数轴上有一点到原点的距离是5，则（ ）

A ．这一点表示的数的相反数是5

B ．这一点表示的数的绝对值是5

C ．这一点表示的数是5

D ．这一点表示的数是－5

二、填空题

1．已知某数的绝对值是 ，则 是______或_______；

2．绝对值最小的有理数是________；

3．一个数的相反数是8，则这个数的绝对值是_________；

4．已知数轴上有一点到原点的距离是3，则这点所表示的数的绝对值是________，这点所表示的数是________．

三、判断题

1．有理数的绝对值总是正数．（ ）

2．有理数的绝对值就等于这个有理数的相反数．（ ）

3．两个有理数，绝对值大的数反而小．（ ）

4．两个正有理数，绝对值大的数较小．（ ）

5．

四、解答题 （ ）

1．求下列各数的绝对值，并把它们用“＜”连起来

－2.37，0， ，－385.7．

2．把下列一组数用“＞”连起来

－999， ， ，0.01， ．

3．计算下列各式的值

（1） ；（2） ；（3） ；（4）

4．如图，比较 和 的绝对值的大小．

5．计算下面各式的值

（1）－（－2）；（2）－（＋2）．

水位的变化

典型例题

例1 小明业余时间进行飞镖训练，上周日训练的平均成绩是8.5环，而这一周训练的平均成绩变化如下表：

正号表示比前一天提高，负号表示比前一天下降

（1）问本周哪一天的平均成绩最高，它是多少环？

（2）问本周哪一天的平均成绩最低，它是多少环？

（3）本周日的成绩和上周日的成绩比是提高了，还是下降了，其变动的环数是多少？

分析 这题的关键问题是求出本周每天训练的平均环数，而要求出一天的平均环数只需知道前一天的平均环数，而上周日的平均环数已知。

解 本周训练每天的平均环数如下：

周一：8.5＋1＝9.5； 周二：9.5＋0.2＝9.9；

周三：9.7＋（－0.5）＝9.2； 周四：9.2＋0.3＝9.5；

周五：9.5＋0.2＝9.7； 周六：9.7＋（－0.7）＝9；

周日：9＋（－0.1）＝8.9。

由此可知本周二和本周五训练的平均成绩最高，是9.7环，本周日训练的平均成绩最低，是8.9环，本周日的平均成绩和上周日的平均成绩比是提高了，提高了（8.9－8.5＝0.4）0.4环。

说明： 本题中正数和负数的标准是以前一天的平均环数为标准，而不是都以上周日的平均环数为标准；注意在计算类似于这样的题时首先要把正、负的标准弄清楚。

例2 下表是一个水文站在雨季在某条河一周内水位变化情况的记录．其中，水位上升用正数表示，

水位下降用负数表示．

注：①表中记录的数据为每天12时的水位与前一天12时水位的变化量．

②上周日12时的水位高度为2米．

（1）请你通过计算说明本周末水位是上升了还是下降了．

（2）用折线图表示本周每天的水位，并根据折线图说明水位在本周内的升降趋势．

分析 计算这七天水位变化量的和，看结果是正、还是负，若是正，说明周末水位上升了；若是负；说明水位下降了．

解 （1）

∴本周末水位下降了．

（2）如图所示．

说明：本例是有理数的加法和统计图知识交汇综合题．

水位的变化

习题精选

1．小胖去年年末称体重是75千克，今年一月份小胖开始减肥，下面是小胖今年上半年体重的变化情况：

负数表示比上月减少，正数表示比上月增加

（1）小胖1～6月中哪个月的体重最重，是多少？

（2）小胖1～6月中哪个月的体重最轻，是多少？

（3）小胖6月份的体重较比去年年末是增加了还是减少了，是多少？

2．某校初一抽出5名同学测量体重，小明体重是55千克，其他4名同学的体重和小明体重的差数如下表：

比小明重记为正，比小明轻记为负

（1）哪几名同学的体重比小明重，重多少？

（2）哪几名同学的体重比小明轻，轻多少？

（3）写出最重和最轻的两个同学的体重，并说明这两名同学之间的体重相差多少？

3．某百货商场的某种商品预计在今年平均每月售出500千克，一月份比预计平均月售出额多10千克记为＋10千克，以后每月销售量和其前一个月销售量比较，其变化如下表（前11个月）：

（1）每月的销售量是多少？

（2）前11个月的平均销售是多少？

（3）要达到预计的月平均销售量，12月份还需销售多少千克？

有理数的乘法

典型例题

例1 计算：

（1）（－2）×（－7）；（2）．

分析 （1）和（2）都是两个有理数相乘，我们根据法则先来确定乘积的符号，再把绝对值相乘． 解 （1）（－2）×（－7）＝＋（2×7）＝14．

（2）．

说明：（1）为了使结果不出现差错，初学者做题时，中间的步骤是必要的．（2）我们不必死记法则，只需知道两个数相乘如何确定符号，其他就和小学的乘法一样了．

例2

计算：

A ．把小数化为分数，或者把分数化为小数

B ．利用符号法则确定乘积的符号

C ．把带分数化为假分数

D ．考虑怎样使用乘法结合律或者交换律 时，应首先（ ）

分析 有理数乘法与小学所学乘法的区别在于符号，初学者进行有理数乘法运算最容易出现的错误也在于符号，发生错误的同学往往并不是没记住有理数乘法的运算法则，而在于重视符号的意识不强，所以初学者一定要把确定乘积的符号作为大事，放在首位，也就是说，完成有理数乘法运算要分两步走：先是确定乘积的符号，然后再计算乘积的绝对值．

解 选B ．

说明 进行两个以上有理数相乘的运算，首先确定乘积的符号，这样做不但有减少运算错误使运算简化的作用，与此同时，也能起到培养良好的学习习惯的作用．

就本题来讲，如果不先确定乘积的符号，可能在运算过程中就必须确定三次符号（头两个因数相

乘，积的符号；与第三个因数相乘，积的符号；与第四个因数相乘，积的符号），这样就增加了运算步骤．

例3

计算：

分析 这类题目只不过比小学做过的题目多了一个符号问题，应该先确定乘积的符号，之后再考虑怎样运算更简便些．本题中，由于“81”是9（第一个因数的分母）的倍数，“72”是12的倍数，可以使用乘法交换律与结合律简化运算．

解

说明：（l ）如果运算基础较好，则完全可以不使用交换律与结合律，而把带分数化为假分数，把小数化为分数形式后进行约分．

（2）上面约分过程中没有把分母中的100与某个分子约分，是为了把结果化为小数时方便，这是思维灵活性的表现．

概括以上内容，就是“符号正负先定好，灵活准确做计算”．

例4 计算：

（1）

（2）17.6×（－10）×（－0.5）． ；

分析 （1）和（2）是三个以上有理数相乘，我们可以根据乘法法则两个两个相乘，最后求出结果，在进行有理数的乘法时，过去学过的结合律和交换律仍是适用的．

解 （1）

（2）17.6×（－10）×（－0.5）

＝－176×（－0.5）

＝88．

说明：（1）乘法法则是对两个数相乘而言的，当三个数以上相乘时我们可以依法则两两相乘；（2）由该题我们可以发现，当三个以上非零有理数相乘时，积的正负由负因数的个数而定，当积中有偶数个负因数时积为正；当积中有奇数个负因数时积为负．

例5 计算：

（1）；（2

）．

解 （1）

（2）

说明：在应用乘法对加法的分配律时，应注意符号的变化．初学者中间分别相乘的步骤是为避免出错而设的，熟练之后可以省略．

习题精选

一、选择题

1．下面说法中正确的是（ ）

A ．因为同号相乘得正，所以（－2）×（－3）×（－1）＝6

B ．任何数和0相乘都等于0

C ．若

，则

D ．以上说法都不正确

2．已知

，其中有三个负数，则（ ）

A ．大于0 B．小于0 C．大于或等于0 D．小于或等于0

，其a 、b 、c （ ） 3．若

A ．都大于0 B．都小于0 C．至少有一个大于0 D．至少有一个小于0

二、填空题

1．两个数相乘，同号得___________，异号得_________，并把_________相乘；

2．一个数和任何数相乘都得0，则这个数是_________；

3．若干个有理数相乘，其积是负数，则积中负因数的个数是_________数．

4．先填空，然后补写一个有同样特点的式子．

（1）1×（－7）－1＝_________， （2） 9×（－9）＋1＝___________， 12×（－7）－2＝_________， 98×（－9）＋2＝_________，

123×（－7）－3＝_________． 987×（－9）＋3＝_________．

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