第二十四届希望杯全国数学邀请赛初三第一试试题及答案

第二十四届“希望杯”全国数学邀请赛

初三 第1试试题

2013年3月17日 上午8:30至10:00

竞赛结束时，只交答题卡，试卷可带走。答案于今日10:00在以下网站和微博微博发布：

“希望杯”官方网站:http://www.hopecup.org “希望杯”微博:http://e.weibo.com/xiwangbei 《数理天地》官方网站:http://www.mpw91.com 《数理天地》微博:http://e.weibo.com/shulitiandi 未经“希望杯”组委会授权，任何单位和个人均不准翻印或销售此试卷，也不准以任何形式（包括网络）转载。

一、选择题（每小题4分，共40分.）

1.若m、n是方程x2-2

x+1=0的两个根，则-的值是（ ）

（A）±2. （B）±4. （C）±6. （D）±8.

2.设⊙O的半径是5，点P不在⊙O外，若点O与P的距离|OP|=m2-2m+2,则m的取值范围是（ ） （A）m3. （B）-1≤m≤3. （C）m≤-1. （D）m≥3. 3.如图1，⊙O内的点P在弦AB上，点C在圆O上，PC⊥OP，若BP=2，AP=6,则CP

的长等于（ ）

（A）2. （B）4. （C）2. （D）3.

4.图2是类似“羊头的”图案，它左右对称，由正方形，等腰直角三角形构成，如果标有数字“13”的正方形的边长是，那么标有数字“2”的等腰直角三角形的斜边的

长是（ ）

图1

（A）4. （B）2. （C）2. （D）. 5.若m、n分别是的整数部分和小数部分，则与(m+n)(n-m)的差的绝对

值最小的整数是（ ）

图2 （A）-55. （B）-56. （C）-16. （D）-15.

6.如图3，铁路MN和公路PQ在点O处交汇，∠QON=30°，点A在OQ上，AO=240(米)，当火车行驶时，周围200米以内未受到噪音的影响，现有一列火车沿MN方向意72千米/时的速度行驶(火车的长度忽略不计)，那么，A处受噪音影像的时间为（ ）

（A）12秒. （B）16秒. （C）20秒. （D）24秒.

图3

Fig.4

图5 图6

7.In △ABC as shown in fig. 4,AB=AC,BD=EC,BE=CF,if ∠A=50°,then the degree of ∠DEF is（ ）

（A）60°. （B)65°. （C）70°. （D)75°. 8.如图5，⊙O2的半径是1，正方形ABCD的边长是6，点O2是正方形ABCD的中心，O1O2垂直AD于P点，O1O2=8，若将⊙O1绕点P按顺时针方向旋转360°，在旋转过程中，与正方形ABCD的边只有一个公共点的情况

一共出现（ ）

（A）3次. （B）5次. （C）6次. （D）7次.

9.如图6，在同一个平面直角坐标系内，二次函数y1=ax2+bx+c(a≠0)和一次函数y2=dx+e(d≠0)的图象相交于点A(m,n)和点B(p,q)，当y1

（A）mp. （D）x>m.

10.如图7，在正方形ABCD中，点M、N分别在边AB、BC上运动(不与正方形的顶点重合)，BN=2AM，若图中的三个阴影三角形中至少有两个相似，则这样的点M有（ ）

（A）1个. （B）2个. （C）3个. （D）4个

.

图7

初三 第一页 共两页

二、A组填空题（每小题4分，共40分.）

11.已知实数a,b不相等，并且a2+1=5a,b2+1=5b,则12.If a1=1-,a2=1-,a3=1-+

=,...,then a2013 in terms of m is .

13.如图8，在3×2的方格纸上，以某三个格点为顶点的三角形中，等腰三角形共有 个. 14.若实数x,y,z使2x+y+z=0和3x+2y+5z=0成立，并且z≠0，则的值是 . 15.

若一个三角形的三边长是

,,，则此三角形的面积是 .

16.已知抛物线y=ax2+bx+c(c≠0)与x轴的交点坐标为(-1,0),(3,0),当-2≤x≤5时，y的最大值为12，则该抛物

线的解析式为 .

图

8

图9

图

10

图

11

17.如图9，直角梯形纸片ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AB=10，BC=25，AD=15，以BD为折痕，将△ABD

折起，旋转180°后，点A到点A1，则凹五边形BDCEA1的面积为 .

18.如图10，将边长为a的正方形ABCD绕其顶点C顺时针旋转45°，得四边形A′B′C′D′，则图中阴影部

分的面积是 .

19.

If -=7，then the value range of real number a is . 20.如图11，从边长为5的正方形纸片ABCD中剪去直角△EBF(点E在边AB上，点F在边BC上)，若EB+BF=

则五边形AEFCD的面积的最小值是 .

,

三、B组填空题（每小题8分，共40分.）

21.图12是由若干个棱长为1厘米的正方形堆成的几何体，它的三视图中，面积最大的是 平方厘

米，这个几何体的体积是 立方厘米.

22.如图13，在△ABC中，∠A=50°，AB=AC=2，BD是边AC上的高，利用此图可求得tan15°= ,

BC=23.在直角坐标系内，如果一个点的横坐标和纵坐标都是整数，则称该点为整点，若凸n边形的顶点都是整点，

并且多边形内部及其边上没有其它整点，则n= .

图12

图13

图14

图15

24.如图14，直角梯形中，AB=1.5，CD=2，AF=1，AD=3，AB∥EF∥CD，∠A=90°，分别以AD，FE所在

的直线为x轴、y轴建立坐标系(AD,FE为正方向)若抛物线过点B、C，并且它的顶点M在线段EF上，则

a=，b=c=25.如图15，△ABC中，∠B=90°，∠A=60°，AB=AD=2，点M在DC上，以M为圆心，以DM为半径的半

圆切边BC于点N，交MC于点P，则DM= ，曲边的面积= .

附加题（每小题10分，共20分.）

1.若f(x)=6x3-11x2+ax-6可以被g(x)=2x-3整除，则a当f(x)>0时，x的取值范围是. 2.有一堆黑，白围棋子，如果从中每次取出3枚黑子和2枚白子，当黑子被取完或剩下1枚或2枚时，则还剩35枚白子，如果每次取出5枚黑子和7枚白子，当白子被取完或剩下不足7枚时，则还剩下35枚黑子，那

么这堆棋子中，原有黑子枚，白子枚

.

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参考答案及评分标准

题号

1

2 B 11 23 16

y=x-2x-3或

2

3 A 12 m 17

4 B

5 C 13 68 18

6 B

7 B 14 19

8 B

9 A 15 20

10 B

答案 D 题号 答案 题号 答案 题号 答案 题号 答案

评分标准：

y=-3x2+6x+9

145 22 2-;-

(-1)a2 23 3或4

a≥3 24 ;0; 附加题2 110；107

23 25

21 6;7

附加题1 7;x>

1~20题每题4分(其中16题写出一个解析式得2分)；

21~25题每题8分(其中21,22,25题每空4分;24题前两空每空3分,最后一空2分)； 附加题每题10分(每空5分).