五 角 星形 有多少 黄金数
五 角 星形 有多少 黄金数
儿何第二册读一读的 “黄金分割 ” 中写道: “ 如五角星形的各边是 按黄金分割划分的, 其中点 C 就是线段AB 的一个黄金分割点. ” ( 如 图
l
我们 知 道 , 如 果线段AB 上的一点C , 使得BC 2二 AB· AC , 则 点C 就是线 段 A 月 的 一 个黄金分割 点 . 若 设 AB=l。则BC 2= l · ( 1 –BC) 义力 , BC2十BC 一1二0BC 二 0.6 18, 这时, 我们把 性 叫黄金 数
现 在 , 我们来探讨 , 正 五 角 星 形 到底有多 少黄金数. 第一 , 以线段AB 为 基础 , 点与点G 是它的两个黄金分割点 , 线 段AG 与BC 的 长是 两 个黄 金数. 证明利用图1, 连结BE, 易 知 △BDE 是顶角为 3 6 ` 、 底角 为 72 ’ 的等腰三 角 形 . 又BC 是 底 角 的 平分 线 , △EBC 也是顶角 (EBC 为 3 6 ’ 的 等腰 三角 形 . 所 以 △EBC 月 义_ ’的 △ BDE 〕E , 所 以BC 2二 AB· AC; E ,即 I , F Z 二 I , I〕 · 凡 ’ , 从 i 百了可 得 I 义二2 二 气I; · A ( ’ , 所 以c 是 A “ 的 一个黄金 分 割 点 、 l 义’ 的 长 是一个 黄金数 . 同理 △ 扮 、 “ 。 : △ 飞邢 , 可 得 A “ “ 二 A 召 · 1义子, 所以 A“ 的长 也是 一 个黄金数
.
第二 , 因 为 A 召 卜有两条线段 的 长是黄 金数 , 所 以 、 “
、
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、
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一
次 、 厂F 、 以 」
_ .
一 共有十 条线 段 为 黄金
数
.
第兰 , 囚 为 在 △ 、 于下 中 , 』 气E 是 A F 、 川 户 的黄 金 数 , 在 △ 厂 U ; 与 八 斤\I ) 中 , 八i’I 又 是 八月 注从: 的 黄金
数
.
所 以 八正 石
_
角 星 ` 扫几 个点 之间距离 的黄金数 , 即 四 个黄金 数 (虽 然在图
形 中 没 有 连线 , 但点 的 位置 给人 以美 的感受 ) . 照 这 样计算 , 共有 ( 4 火 5 ) 2 0 个黄金数 .
第 四 , 因 为 △ ( 五 G 也是顶角 为 3 6。 的 黄金数 , 所 以 “ 于是 〔王 或 凡了的 黄金 数 , 这样的 黄金数共有 l() 个
.
第 五 , 在 △ E H I 3 中 , 易知 可 呈是 E 日 和 那 的 黄 金 数 , 这样 的 黄金数共有 ( 2 火 10 ) 20 个
.
综上 所述 , 共有 ( 10 、 一 20 + 2 0 ) 5() 个黄金 数 .
难
怪 五 角 星形线条 如 此和 谐 , 点的位 置如 此相 称 , 整体 感觉 如此 优美 , 因 为它 处处 黄金分割 , 条条线 段之 长 为 黄金 数
.
掌握 了五角 星 的黄 金数 , 利用 将线段 黄金分 割 的 基本方法 , 就能够根据下 列 的 条件作出 五 角 星 .
① 已 知 五 角 星 的外接 圆作 五 角 星
② 已 知 两 相 对 顶 点 间 的距 离作五 角 星
③ 已 知 两相 邻顶 点 间 的距离 作五 角 星
④ 已 知 五 角 星 形 中 的 一 个 小 三 角 形 ( 例 如 △ (E 丫动 作五 角 星
一
!; 面 简略介绍 ② 的 作法 ( 如 图 l)
已知 : 正 五角 星 形 两相 对 顶点 A 、 仃 .
求 作 : 正 五 角星 形
.
作法 : ① 作线段 川 ; , 用读 一 读中 “ 黄金 分割 ” 介
绍 的方法 , 作 出线段 A 6 的 两 个黄金 分割 点 C 、 仔 . ⑤ 分别以 C 、 G 为 圆 心 , A〔’ (或 ` 召 ) 为半 径作 弧 , 两 弧交于 厂 点 ,
③ 连结 月 ` 、 {(I 一 , 并分别延 长至 厂 、 )I , 使 “ 厂 ( ,I ) 二 I 义 ’ (或 飞` ) , A 、 厂 、 I ; 、