把16分为两个平方米之和
03-12
丢番都方程
一个(或一组)整系数的不定方程，如果只要求它的整数解，这不定方程叫做“丢番都方程”。
希腊时代，代数学获得重大的发展，代表人物是丢番都(约公元246—339年)，被誉为代数学的鼻祖。他写了三部书，其中最出色的是《算术》。这部伟大的著作在历史上的重要性可以和欧几里得《几何原本》一比高下。《算术》是讲数的理论的，不过大部分的内容可以划入代数的范围内。书中举出并解决了许多不定方程。
丢番都是系统研究整系数不定方程的整数解的先行者，因此，人们习惯上把这种不定方程叫做“丢番都方程”。丢番都在处理
等类型的不定方程时显示出惊人的技巧。例如，《算术》中有一题是：
“把16分为两个平方米之和”。
丢番都设一个平方数为
，则另一个数为
。为了使
也是平方数，他巧妙地设：
即得x
。所以一个数为
，另一个数为
。这个问题具有很大的历史价值，因为它引出了著名的“费马大定理”。
丢番都对于各个都用特殊的方法去解决，很少给出一般的法则，甚至性质很相近的题解法也不同，这是他的一个不足之处。难怪一位德国数学史家说：“近代数学家研究了丢番都100个题后，去解101题，仍然感到困难。”因此近代的数论家如欧拉、拉格朗日、高斯等解决不定方程时不得不另觅途径。1900年德国大数学家希尔伯特提了的23个著名的数学难题中，第10个问题就是关于丢番都方程的：“是不是可以设计一种计算步骤，以判定一个整系数方程有没有整数解?”有人曾用数理逻辑中递归函的概念，定出了这种计算步骤，并得到了公认。但又有数学家证明了这种算法并不能判定丢番都方程有没有整数解。至今希尔伯特等10个问题仍是悬案，有待进一步探讨。