交流电路矢量图
9.1純電阻電路
一純電阻交流電路只包括電阻性元件(如電阻器)。 所有用於直流電路的公式皆可應用於純電阻交流中，如：歐姆定律 : VR
= I ⨯
R。
電壓與電流於相同時間升及降。他們稱為同相。
(a) 純電阻電路
(b) 電路的電壓與電流的波形
圖 9.1
圖 9.1b所示波形的 x-軸可以是角度 (0︒ - 360︒ 或 0 -2π) 或時間 (0 - T)。 為了簡化，矢量圖用於表示VR及I間的關係。這VR及 I 是同相。它們的相角重疊如圖 4.3c 所示。
9.2純電感電路
在一純電感電路，電壓及電流不是相同。電流I落後電壓
VL
90︒
, 如圖 9.2所示。
(c) 矢量圖
(a) 純電感電路
(b) 電路的電壓與電流的波形
圖 9.2
(c) 矢量圖
在一純電感電路中，I只是受電感電抗量XL影嚮，而XL與純電阻電路的電阻量R相似。它亦遵行歐姆定律。為了簡易起見，我們只會考慮VL及I的均方根值。
VL r.m.s. = Ir.m.s. ⨯ XL
XL的值取決於電感量L及應用頻率，它的單位亦是(Ω )。。
電感電抗量 XL = 2⨯π⨯f⨯L
練習9.1： 計算電感電抗量及電流在1mH 電感器當它接合至220 V交流電源頻率為(a)50 Hz，(b)
100kHz。
(b) 50kHz
問：所以電感器對 * 低 / 高 頻率電流的對抗較大。
(a) 50 Hz
在一純電容電路，電壓及電流亦非同相。電流I領先電壓VC 90o，如圖9.3所示。
(a) 純電容電路
(b) 電路的電壓與電流的波形 圖 9.3
(c) 矢量圖
電流I只是受電容電抗量XC影嚮，而XC與純電阻電路的電阻量R相似。它遵行歐姆定律及均方根值VC與I會被使用。
VCr.m.s. = Ir.m.s. ⨯ XC
XC的值取決於電抗量C及應用頻率。單位是歐姆(Ω)。
電容電抗量
練習9.2：計算一電容量為100F電容器在頻率為 (a) 50 Hz, (b) 50 kHz 時的電容電抗量。
(a)
(b) 50 kHz
問：所以，電容器對 * 低 / 高 頻率電流對抗較大。
50 Hz
XC=
1
2⨯π⨯f⨯C
電路中每一部分的電流一定是相同。 R 及 L 有相同電流但它們兩端的電壓是不同的。VR與 I同相而VL領先I 90o。電源電壓Vs及電流I之間的相角取決於L及R的值。I永遠落後Vs (或Vs領先I )。
(a) R-L 串聯電路
圖 9.4
(b) 矢量圖
(a) 電壓三角
(b) 阻抗量三角
圖 9.5
根據矢量圖(圖 9.4b)或電壓三角(圖9.5a), 我們可以可出 Vs2 = VR 2 + VL2 由阻抗量三角(圖9.5b),
Z2 = R2 + XL2 或 阻抗量 Z=
R2+XL
2
而阻抗量Z是電阻量R及電感電抗量XL的組合， 而相差亦會被考慮。 Z是量度對交流的對抗及其單位為歐姆(Ω)。
相角為φ=cos(
-1
VRR)=cos-1() VSZ
練習9.3： 在一串聯電路中，電阻量為100Ω及電感電抗量為100Ω，計算其I與Vs之間的阻抗
量及相角?
與R-L串聯電路類似，I流過R及C的電流亦是相同，但VC落後I 90o。I永遠領先。
(a) R-C串聯電路
圖 4.8
(b) 矢量圖
(a) 電 壓 三 角
(b) 阻 抗 量 三 角
圖 4.9
同樣地，只要把XL 轉為XC及VL轉為VC。 R-L串聯電路的公式亦可應用於R-C串聯電路。
Vs 2 = VR 2 + VC 2
Z2 = R2 + XL2 或 阻 抗 量 Z=及 相角 φ=cos(
這時電流I以相角φ * 領先 / 滯後 電源電壓Vs。
練習 9.4：計算I及Vs之間的阻抗量及相角當75 kΩ電阻器及47 μF電容器與頻率為800 Hz的
交流電源串聯。
-1
R2+XL
2
VRR)=cos-1() VSZ
表觀功率及有效功率
在直流電路，功率 = 電流 ⨯ 電壓。但在交流電路，只有電阻性部分消耗功率 。在一純電感或電容電路中，元件在首四分一循環由電源接收功率及在下四分一循環退回功率至電源。淨功率消耗是零。所以電容器及電感器被稱為儲能量元件及電阻器被稱為能量消耗元件。
在一RL或RC串聯電路中，電源電流 (I) 及 電源電壓 (V)的積不是真正消耗功率，因為電容器或電感器不會消耗任何功率。 所以，它被稱為表觀功率及以S表示。它的單位是伏安(VA)，不是瓦特(W)。
表觀功率 S = V ⨯ I
V2
因為只有電阻器消耗功率，有效功率P為 P = I R 或 P= 及單位是瓦特(W)。
R
2
9.7 功率因數
重溫相角的公式φ=cos(
我們表達有效功率 P 為 P = V⨯I ⨯cosφ
明顯地， 有效功率與表觀功率相差一因數cos φ 及我們定義 cos φ 為功率因數(p.f.)。
p.f. = cos φ =有效功率
表觀功率
功率因數亦可以R及Z表達 : p.f. = cos φ =
練習9.5： 計算有效功率的消耗當2.3 A電流流通串聯著的72Ω 電阻器及 1000 μF電容器。
-1
VR
) 及 VR = V cosφ VS
VRR
= VZ
怎樣量度有效功率 ? 我們可使用瓦特計(如圖9.10所示)來量度直流功率。相似地，我們可使用它來量度交流電路的有效功率。
圖 9.10
怎樣量度表觀功率?我們不可用單一儀表來量度表觀功率。我們使用一交流安培計及一交流伏特計(如圖9.10所示)來分別量度電流及電壓。把電流及電壓相乘以求得表觀功率。
練習 9.6： 計算圖 9.10所示電路的功率因數。安培計，伏特計及瓦特計分別讀得數值是15 A，
220 V及350 W。
練習9.7：電路 (a) 及 (b) 的功率因數分別是甚麼 ?
(a)
(a) (b)
(b)
交流發電機及變壓器的功率是以VA為單位而非(W)。因為負載的功率因數及有效功率不是不變值的。
例如： 一100 MVA交流發電機有效功率是90 MW，當功率因數是0.9。明顯地，電力公司希望
使用者的功率因數越大越好。如使用者的功率因數低，電力公司便必須投資更多金錢在安裝高效交流發電機，變壓器及電纜。在香港，使用者的功率因數是0.85或更高。另一方面，如使用者的功率因數低，以同一功率消耗，電流會更大因為I=定會增加安裝費用及電力公司會增力收費。
P
。 這一
V⨯p.f
(a) R-L串聯電路及一功率因數修正電容器
圖 9.11
(b) 矢量圖
電力系統的主要負載是電感負載(交流發電機及變壓器中的線圈)，在它們中，電流落後電源電壓。為了這些電路的功率因數，一平行電容器被接合如圖9.11a 所示。修正之後，最後電流I較修正前的電流 I1小 。
圖 9.12 R-L-C串聯電路
在一 R-L-C串聯電路，矢量圖的形狀取決於相對的電感電抗量及電容電抗量，有三種可能的工作狀態 : (1) XL > XC (2) XL
(a) 矢量圖 當XL > XC
圖 9.13
狀態(1)及(2)的矢量圖分別如圖9.13a 及 圖 9.13b 所示。 淨電抗量X以下式求得
X = (XL - XC) 或 (XC - XL) X2 = (XL - XC)2 = (XC - XL)2
(b) 矢量圖 當XC > XL
取平方後，兩組括號相等。 阻抗Z以下式求得
Z=R2+X2
Z=R+XL-XC
2
22
練習9.8： 某電路的電阻量為 300Ω，電感電抗量為5 kΩ及電容電抗量為 3 kΩ，電路的阻抗是
多少?
練習9.9：圖中示某RLC串聯電路。
R=20Ω
L=0.2H
C=30μF
V
(a)
若電源的頻率是50Hz， (i)
試計算電路的感抗(XL)和容抗(XC)；
(ii) 試計算在R、L和C的電壓(即VR、VL、VC)；
(iii) 草繪一幅相量圖，以顯示相量I、VR、VL、VC和V；
(iv) 求I和V之間的相角。
A.
串聯諧振
在圖9.12中當狀態(3) XC = XL發生，電容電抗量及電感電抗量互相抵消，而令整個電路變成純電阻性。矢量圖如圖9.14所示。
圖 9.12
當XL = XC 時的矢量圖
圖 9.14
圖 4.15
因為電感量及電容電抗量是與頻率有關，頻率可被調校至一特定數值fr，電感量及電容電抗量相同及互相抵消。在這一點，電路總阻抗是最低及電路電流是最大(如圖9.15所示)。這現象稱為諧振。頻率fr稱為諧振頻率。 在串聯諧振，諧振頻率fr, ，XL = XC
2⨯π⨯fr⨯L=fr=
所以諧振頻率fr 以下式求得 由於XL = XC，所以Z = 0Ω。
2
1
2⨯π⨯fr⨯C
fr=
1
4⨯π2⨯L⨯C
1
2⨯πL⨯C
練習 9.10 ：某串聯電路含電阻量100Ω，電感量30 mH及電容量 6μ F。 諧振頻率是多少 ?
無電阻並聯諧振
圖 4.16 L-C 並聯電路
在諧振頻率fr, IL 及 IC 的數值相同但方向相反，所以由電源取得的合力電流是零，即是I = 0 A。這狀態只適用於無電阻電路。
當 IL = IC，
VSV
=S
XLXC
諧振頻率fr 亦以下式求得
fr=
12⨯πL⨯C
這電路的阻抗是無限大，因為它與所有流出電源的電流對抗。
練習 9.11：某並聯電路含有電感量3 mH及電容量20μ F。諧振頻率是多少 ?
2000年5月 第一一頁 交流電路.doc
交流電路 (堂課練習)
1. 圖中是一個RLC串聯交流電路，電感量L = 10mH、電容量
C = 4.7μF及電阻值R = 100Ω，電源頻率f = 1KHz及電路電流I = 0.15A。
ES
I
(a) 試計算電感器的電抗值XL
(c) 試計算電容器的電抗值XC
(e) 試計電阻器兩端的電壓VR
(g) 試求電源的電壓ES
(i) 試計算電路電流i與電源電壓之間的相角
2000年5月
第一二頁
交流電路.doc
(b) 試計電感器兩端的電壓VL
(d) 試計電容器兩端的電壓VC
(f) 繪畫這電路的相量圖，並標示電壓VL、VR、
VC及ES。
(h) 試計算電路的總阻抗Z
(j) 問電路電流i是 ES