中新"勾股定理"教材内容比较研究

作者：章健楠叶立军

中国数学教育：初中版 2014年08期

　　一、问题的提出

　　2003年，“国际数学与科学研究趋势”（Trends in International Mathematics and Science Study，简称TIMSS）对38个国家的数学教学进行评估，新加坡名列第一.新加坡被认为“已经逐步形成稳定的、具有自身特色的数学课程体系”.而要了解一个国家教育改革的理念和实质，分析课程（教材）的改革是很好的切入点和突破口，因此，对于同处东亚地区、与其文化背景极为相似的中国来说，比较、研究中新两国数学教材，有利于我们取长补短，同时也能够为数学教育打开新思路.

　　从古至今，人们一直在不断探究和发现勾股定理新的证明方法.1940年出版的《毕达哥拉斯命题》中就收集了367种不同的证明方法，而实际上有资料表明勾股定理的证明方法已逾500种.勾股定理作为几何学中的一颗明珠，是整个平面几何的基础，在现实生活中也被广泛应用.而“勾股定理”作为初中阶段由具体思维向形式化思维转变时期的重要一课，更是渗透了数形结合、转化等多种数学思想方法，颇具研究、学习价值.因此，本文选取了勾股定理部分作为比较内容.

　　二、教材整体内容比较

　　本文对人教版教材以及新加坡Multimedia Communications Press出版社出版的New Express Mathematics（以下简称NEM教材）中的“勾股定理”进行比较研究.两套教材在各自国家中都被广泛使用，具有一定的代表性.

　　为了从整体上把握教材，我们首先比较两套教材的背景信息（见表1），以体现不同国家课程设置和课程目标的不同.

　　此外，为了更好地说明两本教材在“勾股定理”（新加坡教材中称为“毕达哥拉斯定理”）这部分内容上的差异，笔者还将我国人教版教材八年级的第十八章，与新加坡NEM教材Mathematics 2的第七章，从整体内容上进行了对比（见表2）.

　　

　　

　　可以发现，两本教材在“勾股定理”内容的选编上大致相同.有所区别的是，NEM教材将“勾股定理”与直角三角形编写在同一章节内，并把“运用定理解决问题”单独列为一小节内容；而人教版教材是将“勾股定理”独立设为一章，其中“解决问题”部分安排在每小节的例题和习题中出现.另外，人教版教材中“勾股定理”的下一章为平面几何中的“四边形”，而NEM教材中将下一章内容跨越至立体几何中的“棱锥体，圆锥体和球体”，这一内容在中国学生的高中教材中才出现.

　　三、教材具体内容比较

　　1.相同知识点呈现方式比较

　　勾股定理的内容主要为勾股定理及其逆定理的发现、证明与应用.两本教材在知识点选择上基本相同，但是呈现方式上各有特点.以下是笔者对两本教材本章相同知识点的呈现方式从知识导入、知识体验、严密证明、知识表征、知识运用这5个方面进行的比较研究（见表3、表4）.

　　

　　

　　在处理“发现并证明勾股定理”这一内容时，NEM教材安排了一个“课堂活动（In-class Activity）”，先由学生自己画直角三角形，测量三边长并猜想其数量关系.再通过让学生观察以直角三角形两直角边为边长的小正方形面积的和与以斜边为边长的正方形面积之间的关系，引导学生去发现勾股定理.人教版教材则省略了对线段数量关系的探究，直接进行第二步.而在证明该定理时，两者都采用了“拼补法”，将数量关系由线转化到面，再由符号运算得出等式关系成立.

　　而对于逆定理的发现与证明，NEM教材延续了前一小节的画图猜想的方式来发现逆定理，但没有给予证明.人教版教材在以“古代埃及人确定直角的故事”导入后，引入了逆命题的概念，使本章内容的逻辑结构更加清晰.而与NEM教材简化了证明过程不同的是，人教版教材通过三角形全等巧妙证明了勾股定理的逆定理是正确的.

　　另外，NEM教材在内容呈现上多用符号，简洁且严谨；人教版教材则以语言描述定理的发现与证明过程，便于学生阅读和理解.

　　2.教材知识背景比较

　　教材知识背景主要包括生活背景、文化背景、科学背景、数学背景4种.通过对中新两本教材“勾股定理”一章内容进行比较后可知：NEM教材十分注重数学背景，并以此为依托加入了生活背景.教材中实际问题的插图也简洁直观，与人教版教材的具象化有所不同.而人教版教材在内容上更强调文化背景，如在内容中设置毕达哥拉斯小档案、介绍“赵爽弦图”和大禹治水测量工程等.

　　3.教材例题与练习题比较

　　（1）例题与习题难度水平比较.

　　用SOLO标准将教材中的例题及习题难度水平界定为5个等级.水平1：单点结构.学习者只需利用单个素材就可以解决问题，无所谓理解.水平2：多点结构.学习者需要联系多个孤立的素材解决问题，但尚未形成知识网络.水平3：关联结构.学习者需联想多个事件，并把这些事件联系起来.水平4：拓展抽象水平.水平5：严密性.学习者回答问题时需要进行抽象概括，且问题结论具有开放性，使得问题本身的意义得到拓展.

　　根据以上界定标准，我们对两本教材勾股定理内容的例题与习题进行了比较（见表5）.

　　

　　可以看出，人教版教材题目难度水平分布较平均，且有水平4这类开放性题目，对学生知识的运用能力总体要求较高.而NEM教材的题目设置上虽然数量多一些，但水平1难度的问题较多，更有层次性.

　　（2）例题与习题类型比较分析.

　　按照学生解答问题时需要联系的相关知识，我们把两本教材例题与习题的类型进一步分类，并进行了比较研究（见表6）.

　　

　　（注：部分题目于以上分类有交叉.）

　　可以看出，人教版教材在题目类型的选择上较为平均，更注重培养学生运用所学知识解决实际问题的能力.NEM教材中则更注重所学知识间的融会贯通，如在运用勾股定理时设置了许多直角三角形与各种不同平面几何图形组合的题型.两本教材均对勾股定理做了从二维到三维的推广，NEM教材中结合立体几何的部分较人教版教材更多一些.

　　四、结论与启示

　　（1）NEM教材的编写采用的是“直线前进”的设计.

　　例如，在证明勾股定理时，由学生自己画直角三角形，测量三边长并猜想其数量关系，引导学生去发现勾股定理.让学生相对连贯地经历直观感知、操作确认、思辨论证、度量计算的认知过程，符合学生的认知规律.人教版教材遵循“螺旋上升”的编排顺序，循序渐进、逐层深入.教材中对本章内容中的两个定理都给出了证明，更具严密性，利于学生对知识的理解和接受.

　　（2）教材的知识背景是否丰富，已逐渐成为判定其优劣的重要标准.

　　一本好的数学教材不仅要有数学知识，还要能结合生活实际，并能将人文知识、创新思维渗透其中.相比之下，人教版教材在数学背景的基础上，相比NEM教材加入了更多文化背景、生活背景知识，展现了多元文化背景下的数学内容.

　　（3）从教材例题与练习题的难度水平来看，人教版教材比NEM教材的难度更大.

　　从题目类型上分析，人教版教材更注重培养学生解决实际问题的能力；而NEM教材的题目更多地结合了本章以外的知识，虽然难度不大，但题型更为灵活多变.

　　2.对教材编写及教学的启示

　　NEM教材在“勾股定理”中设置了许多直角三角形在圆、长方体、锥体中应用的题目，将平面几何放到立体几何中来呈现，降低了下一章的学习难度.而人教版教材在该章中甚少涉及立体几何的知识.这可能使得学生在今后学习立体几何时，脑海中对立体几何知识只有零星的记忆，知识结构出现断层，影响解题.因此，在教材内容编排中，我们应该在“螺旋上升”的基础上，结合“直线前进”的优点，注重知识呈现的整体性与连续性.

　　中新两本教材均淡化了勾股定理的证明，选择增加实际应用问题的数量.可见，在数学教学中，如何将所学知识更好地运用于生活，提高学生的实际应用能力已越来越受到关注，这一理念也应在今后的数学教材中得到更为深入和广泛的体现.

　　NEM教材的难度不及人教版教材，习题设置以基础题为主，但新加坡的数学教育质量却很高.可见，在实行新课程改革的过程中，培养学生数学基础知识和基本技能依旧是教师的着重点.另外，NEM教材在本章节中还需要教师使用图形软件来进行教学.将信息技术与数学课程进行整合可以说是数学教育发展的必然趋势，在我国今后的教材编写中，应该更多地引入诸如此类的新兴领域知识.

作者介绍：章健楠，杭州师范大学经亨颐学院；叶立军，杭州师范大学理学院.