最新小学奥数平面几何五种面积模型(等积-鸟头-蝶形-相似-共边)
小学奥数平面几何五种模型（等积，鸟头，蝶形，相似，共边）
目标：熟练掌握五大面积模型等积，鸟头，蝶形，相似（含金字塔模型和沙漏模型），共边（含燕尾模型和风筝模型）， 掌握五大面积模型的各种变形 知识点拨
一、等积模型
A B
①等底等高的两个三角形面积相等； ②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； S S 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；
C D
如右图S 1:S 2=a :b
1
2
③夹在一组平行线之间的等积变形，如右图S △ACD =S △BCD ； 反之，如果S △ACD =S △BCD ，则可知直线AB 平行于CD ．
④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形) ；
⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；
⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比． 二、鸟头定理
两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形． 共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角) 两夹边的乘积之比． 如图在△ABC 中，D , E 分别是AB , AC 上的点如图 ⑴(或D 在BA 的延长线上，E 在AC 上) ，
则S △ABC :S △ADE =(AB ⨯AC ) :(AD ⨯AE )
A
A
D
E
E
D
C
A S 1
图⑴ 图⑵ S 4
S 2
三、蝶形定理
S 3
任意四边形中的比例关系(“蝶形定理”) ：
B
①S 1:S 2=S 4:S 3或者S 1⨯S 3=S 2⨯S 4②AO :OC =(S 1+S 2):(S 4+S 3)
蝶形定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造
B
C
B
C
a 模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边A D S 1
形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积S 2S 4
对应的对角线的比例关系．
S 3梯形中比例关系(“梯形蝶形定理”) ：
①S 1:S 3=a 2:b 2 B
b
22
②S 1:S 3:S 2:S 4=a :b :ab :ab ； ③S 的对应份数为(a +b )2．
四、相似模型
(一) 金字塔模型 (二) 沙漏模型
C
A
E
F D
D B
AB
AC
F G
BC
AG
E C
B G C
①AD =AE =DE =AF ；
②S △ADE ：S △ABC =AF 2:AG 2．
所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形(只要其形状不改变，不论大小怎样改变它们都相似) ，与相似三角形相关的常用的性质及定理如下：
⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比；
⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方；
⑶连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．
三角形中位线定理：三角形的中位线长等于它所对应的底边长的一半． 相似三角形模型，给我们提供了三角形之间的边与面积关系相互转化的工具．
在小学奥数里，出现最多的情况是因为两条平行线而出现的相似三角形． 五、共边定理（燕尾模型和风筝模型）
在三角形ABC 中，AD ，BE ，CF 相交于同一点O ，那么A S ∆ABO :S ∆ACO =BD :DC ．
上述定理给出了一个新的转化面积比与线段比的手段，因E
F
为∆ABO 和∆ACO 的形状很象燕子的尾巴，所以这个定理被称
为燕尾定理．该定理在许多几何题目中都有着广泛的运用，
C D 它的特殊性在于，它可以存在于任何一个三角形之中，为B
三角形中的三角形面积对应底边之间提供互相联系的途径. 典型例题
【例 1】 如图，正方形
ABCD 的边长为6，AE =1. 5，CF =2．长方形EFGH 的面
积为 ．
_A _E
_G
_A
_E
_G
_B
_F
_C
_B
_F
_C
【解析】 连接DE ，DF ，则长方形EFGH 的面积是三角形DEF 面积的二倍．
三角形DEF 的面积等于正方形的面积减去三个三角形的面积，
S △DEF =6⨯6-1.5⨯6÷2-2⨯6÷2-4.5⨯4÷2=16.5, 所以长方形EFGH
面积为33．
【巩固】如图所示，正方形ABCD 的边长为8厘米，长方形EBGF 的长BG 为10厘
米，那么长方形的宽为几厘米？
__ F
_ D
_ G
_ C _ B
_ F
_ D
_ C
__ B
_ G
【解析】 本题主要是让学生会运用等底等高的两个平行四边形面积相等(长方
形和正方形可以看作特殊的平行四边形) ．三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半． 证明：连接AG ．(我们通过△ABG 把这两个长方形和正方形联系在一
起) ．
∵在正方形ABCD 中，S △AB G =⨯AB ⨯AB 边上的高，
∴S △ABG =S ABCD (三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积
的一半)
1
S =S EFGB ． 同理，△ABG
2
=8⨯8
12
12
∴正方形A B C D 与长方形÷10=(6厘米. ) ．
E F G B 面积相等． 长方形的宽
【例 2】 长方形ABCD 的面积为
36cm 2，E 、F 、G 为各边中点，H 为AD 边上任
意一点，问阴影部分面积是多少？
E
【解析】 解法一：寻找可利用的条件，连接BH 、HC ，如下图：
E
可得：S ∆EHB =S ∆AHB 、S ∆FHB =S ∆CHB 、S ∆DHG =S ∆DHC ，而
S ABCD =S ∆AHB +S ∆CHB +S ∆CHD =36
1
2
12
12
即S ∆EHB +S ∆BHF +S ∆DHG =(S ∆AHB +S ∆CHB +S ∆CHD ) =⨯36=18； 而
S ∆EHB +S ∆BHF +S ∆DHG =S 阴影+S ∆EBF
1212
，
11111
S ∆EBF =⨯BE ⨯BF =⨯(⨯AB ) ⨯(⨯BC ) =⨯36=4.5．
22228
所以阴影部分的面积是：S 阴影=18-S ∆EBF =18-4.5=13.5
解法二：特殊点法．找H 的特殊点，把H 点与D 点重合，
那么图形就可变成右图：
(H )
E G
这样阴影部分的面积就是∆DEF 的面积，根据鸟头定理，则有：
1111111
S 阴影=S ABCD -S ∆AED -S ∆BEF -S ∆CFD =36-⨯⨯36-⨯⨯⨯36-⨯⨯36=13.5．
2222222
【巩固】在边长为6厘米的正方形ABCD 内任取一点P ，将正方形的一组对边
二等分，另一组对边三等分，分别与P 点连接, 求阴影部分面积．
【解析】 （法1）特殊点法．由于P 是正方形内部任意一点，可采用特殊点法，
假设P 点与A 点重合，则阴影部分变为如上中图所示，图中的两个阴
影三角形的面积分别占正方形面积的1和1，所以阴影部分的面积为
4
6
11
62⨯(+) =15平方厘米．
46
（法2）连接PA 、PC ．
由于∆PAD 与∆PBC 的面积之和等于正方形ABCD 面积的一半，所以上、下两个阴影三角形的面积之和等于正方形ABCD 面积的1，同理可知
4
左、右两个阴影三角形的面积之和等于正方形ABCD 面积的1，所以阴
6
影部分的面积为62⨯(1+1) =15平方厘米．
4
6
【例 3】 如图所示，长方形ABCD 内的阴影部分的面积之和为
AD =15，四边形EFGO 的面积为．
70，AB =8，
B
【解析】 利用图形中的包含关系可以先求出三角形AOE
、DOG 和四边形EFGO 的
面积之和，以及三角形AOE 和DOG 的面积之和，进而求出四边形EFGO 的面积．
由于长方形ABCD 的面积为15⨯8=120，所以三角形BOC 的面积为
4
11⎫
又三角形AOE 、DOG 和四边形EFGO 的面积之和为120⨯⎛ -⎪=30，所以⎝24⎭1
120⨯=30，所以三角形AOE
4
和DOG 的面积之和为120⨯3-70=20；
四边形EFGO 的面积为30-20=10．
另解：从整体上来看，四边形EFGO 的面积=三角形AFC 面积+三角形BFD 面积-白色部分的面积，而三角形AFC 面积+三角形BFD 面积为长方形面积的一半，即60，白色部分的面积等于长方形面积减去阴影部
分的面积，即120-70=50，所以四边形的面积为60-50=10．
【巩固】如图，长方形ABCD 的面积是36，E 是AD 的三等分点，AE =2ED ，则
阴影部分的面积为 ．
B
【解析】 如图，连接OE ．
B
根据蝶形定理，ON :ND =S ∆COE :S ∆CDE =S ∆CAE :S ∆CDE =1:1，所以
S ∆O
1
=E N S ∆
2
12
；O E
D
11
OM :MA =S ∆BOE :S ∆BAE =S ∆BDE :S ∆BAE =1:4，所以S ∆OEM =S ∆OEA ．
52
11
又S ∆OED =⨯S 矩形ABCD =3，S ∆OEA =2S ∆OED =6，所以阴影部分面积为：
34
11
3⨯+6⨯=2.7． 25
【例 4】 已知ABC 为等边三角形，面积为
400，D 、E 、F 分别为三边的中点，已知甲、乙、丙面积和为143，求阴影五边形的面积．(丙是三角形HBC
)
B
【解析】 因为D 、E 、F 分别为三边的中点，所以DE 、DF 、EF 是三角形ABC 的
中位线，也就与对应的边平行，根据面积比例模型，三角形ABN 和三角形AMC 的面积都等于三角形ABC 的一半，即为200．
根据图形的容斥关系，有S ∆ABC -S 丙=S ∆ABN +S ∆AMC -S AMHN ，
即400-S 丙= 200+200-S AMHN ，所以S 丙=S AMHN ． 又S 阴影+S ∆ADF =S 甲+S 乙+S AMHN ，所以
1
S 阴影=S 甲+S 乙+S 丙-S ∆ADF =143-⨯400=43．
4
【例 5】 如图，已知CD =5，DE =7，EF =15，FG =6，线段AB 将图形分成两部
分，左边部分面积是38，右边部分面积是65，那么三角形ADG 的面积是 ．
A
C D
E G
C G
【解析】 连接AF ，BD ．
根据题意可知，CF =5+7+15=27；DG =7+15+6=28；
15
S ∆CBF ，S ∆BE C =12S ∆CBF ，S ∆AEG =21S ∆ADG ，S ∆AED =7S ∆ADG ， 27282728
7122115
S +S ∆CBF =38； S +S =65于是：；∆ADG ∆ADG ∆CBF
28272827
可得S ∆ADG =40．故三角形ADG 的面积是40．
所以，S ∆BE F =
AE :AC =4:7，D , E 分别是AB , AC 上的点，【例 6】 如图在△ABC 中，且AD :AB =2:5，
S △ADE =16平方厘米，求△ABC 的面积．
A
A
D
E
D
E
B
C
B
C
【解析】 连接BE ，S △ADE :S △ABE =AD :AB =2:5=(2⨯4) :(5⨯4) ，
S △ABE :S △ABC =AE :AC =4:7=(4⨯5) :(7⨯5)
=C (2⨯4) :⨯(7，设，所以S △A D E :S △A B
S △ADE =8份，则S △ABC =35份，S △ADE =16平方厘米，所以1份是2平方厘米，35份就是70平方厘米，△ABC 的面积是70平方厘米．由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角) 两夹边的乘积之比 ．
【巩固】如图，三角形ABC 中，AB 是AD 的5倍，AC 是AE 的3倍，如果三角
形ADE 的面积等于1，那么三角形ABC 的面积是多少？
C
C
B
【解析】 连接BE ．
B
∵EC =3AE
∴S ABC =3S ABE 又∵AB =5AD
∴S ADE =S ABE ÷5=S ABC ÷15，∴S ABC =15S ADE =15．
【巩固】如图，三角形ABC 被分成了甲(阴影部分) 、乙两部分，BD =DC =4，
BE =3，AE =6，乙部分面积是甲部分面积的几倍？
E B
甲
D
E
乙
C
【解析】 连接AD ．
B
甲
D
乙
C
∵BE =3，AE =6
∴AB =3BE ，S ABD =3S BDE 又∵BD =DC =4，
∴S ABC =2S ABD ，∴S ABC =6S BDE ，S 乙=5S 甲．
【例 7】 如图在△ABC 中，D 在BA 的延长线上，E 在AC
上，且AB :AD =5:2，
AE :EC =3:2，S △ADE =12平方厘米，求△ABC 的面积．
D
A
A
E
B
C
E
【解析】 连接BE ，S △ADE :S △ABE =AD :AB =2:5=(2⨯3) :(5⨯3)
S △ABE :S △ABC =AE :AC =3:(3+2) =(3⨯5) :[(3+2) ⨯5]，
S △A D E =6份，则S △ABC =25份，5(3+]2) =6:，设25所以S △A D E :S △A B C =(3⨯2) [:⨯
△ABC 25份就是50平方厘米，S △ADE =12平方厘米，所以1份是2平方厘米，
的面积是50平方厘米．由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角) 两夹边的乘积之比
B C
【例 8】 如图，平行四边形ABCD ，BE =AB ，CF =2CB ，GD =3DC ，HA =4AD ，平
行四边形ABCD 的面积是2， 求平行四边形ABCD 与四边形EFGH 的面积比．
H
H
A
G
D F
B E
A
G
D F
B E
【解析】 连接AC 、BD ．根据共角定理
∵在△ABC 和△BFE 中，∠ABC 与∠FBE 互补，
∴S △ABC =AB ⋅BC =1⨯1=1．
S △FBE
BE ⋅BF
1⨯3
3
又S △ABC =1，所以S △FBE =3．
同理可得S △GCF =8，S △DHG =15，S △AEH =8．
所以S EFGH =S △AEH +S △CFG +S △DHG +S △BEF +S ABCD =8+8+15+3+2=36． 所以S ABCD
S EFGH
=
21
=． 3618
【例 9】 如图所示的四边形的面积等于多少？
13
12
13
D
【解析】 题目中要求的四边形既不是正方形也不是长方形，难以运用公式直接
求面积.
我们可以利用旋转的方法对图形实施变换：
把三角形OAB 绕顶点O 逆时针旋转，使长为13的两条边重合，此时三角形OAB 将旋转到三角形OCD 的位置. 这样，通过旋转后所得到的新图形是一个边长为12的正方形，且这个正方形的面积就是原来四边形的面积.
因此，原来四边形的面积为12⨯12=144.(也可以用勾股定理)
【例 10】 如图所示，∆ABC 中，∠ABC =90︒，AB =3，BC =5，以AC 为一边向∆ABC
外作正方形ACDE ，中心为O ，求∆OBC 的面积．
12
B
【解析】 如图，将∆OAB 沿着O 点顺时针旋转90︒，到达∆OCF 的位置．
由于∠ABC =90︒，∠AOC =90︒，所以∠OAB +∠OCB =180︒．而∠OCF =∠OAB ， 所以∠OCF +∠OCB =180︒，那么B 、C 、F 三点在一条直线上．
由于OB =OF ，∠BOF =∠AOC =90︒，所以∆BOF 是等腰直角三角形，且斜边
1
BF 为5+3=8，所以它的面积为82⨯=16．
4
根据面积比例模型，∆OBC 的面积为16⨯5=10．
8
【例 11】 如图，以正方形的边AB 为斜边在正方形内作直角三角形ABE ，
、BD 交于O ．已知AE 、BE 的长分别为3cm 、5cm ，求
三角形OBE 的面积．
∠AEB =90︒，AC
F
【解析】 如图，连接DE ，以A 点为中心，将∆ADE 顺时针旋转90︒到∆ABF 的位置．
那么∠EAF =∠EAB +∠BAF =∠EAB +∠DAE =90︒，而∠AEB 也是90︒，所以四边形AFBE 是直角梯形，且AF =AE =3， 所以梯形AFBE 的面积为：
1
(3+5)⨯3⨯=12(cm 2) ．
2
又因为∆ABE 是直角三角形，根据勾股定理，AB 2=AE 2+BE 2=32+52=34，
2
所以S ∆ABD =AB =17(cm 2) ．
12
那么S ∆BDE =S ∆ABD -(S ∆ABE +S ∆ADE )=S ∆ABD -S AFBE =17-12=5(cm 2) ， 所以S ∆OBE =S ∆BDE =2.5(cm 2) ．
12