直线的倾斜角与斜率直线的方程练习
第八章 平面解析几何
第一节 直线的倾斜角与斜率、直线的方程
时间:45分钟 分值:75分
一、选择题(本大题共6小题,每小题5分,共30分) π
1.直线x 3( ) A .0 πC. 2
πB. 3 D .π
πππ
解析 直线x =3与x 轴垂直,因此直线x =3的倾斜角为2答案 C
2.(2014·大连测试) 已知过点A (-2,m ) 和B (m, 4) 的直线与直线2x +y -1=0平行,则实数m 的值为( )
A .0 C .2
B .-8 D .10
4-m 解析 2,解得m =-8.
m -(-2)答案 B
m 1
3.(2014·长春三次调研) 一次函数y n x +n 的图象同时经过第一、三、四象限的必要不充分条件是( )
A .m >1,且n 0,且n
B .mn
m 1m 1
解析 因为y =-n +n 三、四象限,故-n n ,即m >0,n
1
故选B.
答案 B
4.设直线ax +by +c =0的倾斜角为α,且sin α+cos α=0,则a ,b 满足( )
A .a +b =1 C .a +b =0
B .a -b =1 D .a -b =0
解析 ∵sin α+cos α=0,α是倾斜角,∴tan α=-1. a
∴k =-b tan α=-1,∴a -b =0. 答案 D
5.(2014·郑州月考) 直线l 1:3x -y +1=0,直线l 2过点(1,0),且它的倾斜角是直线l 1的倾斜角的2倍,则直线l 2的方程为( )
A .y =6x +1 3
C .y =4x -1)
B .y =6(x -1) 3
D .y =-4x -1)
解析 由tan α=3可求出直线l 2的斜率 2tan α3
k =tan2α==-4
1-tan α
3
再由l 2过点(1,0)即可求得直线方程为y =-4x -1) . 答案 D
6.(2014·德强期末) 已知角α是第二象限角,直线2x +(tanα) y +18
=0的斜率为3,则cos α等于( )
3A. 5 4C. 5
2
3B .-5 4D .-5
-2-28-31
解析 y =tan α-tan α,tan α3,tan α=4, 4
cos α5,选D. 答案 D
二、填空题(本大题共3小题,每小题5分,共15分)
7.直线l 1:3x -y +1=0,l 2:x +5=0,则直线l 1与l 2相交所成的锐角为________.
解析 直线l 13,所以倾斜角为60°,而直线l 2的倾斜角为90°,所以两直线的相交所成的锐角为30°.
答案 30°
8.过点P (-1,2) ,且在x 轴上的截距是在y 轴上的截距的2倍的直线方程是________.
解析 当直线过原点时,方程为y =-2x ;当直线不经过原点时,x y 3
设方程为2a +a 1,把P (-1,2) 代入上式,得a =2,所以方程为x +2y -3=0.
答案 y =-2x 或x +2y -3=0
9.直线2x +my =1的倾斜角为α,若m ∈(-∞,-23) ∪[2,+∞) ,则α的取值范围是________.
2
解析 依题意tan α=-m ,因为m ∈(-∞,-23) ∪[2,+∞) ,π⎫⎡3π⎫⎛3
⎪⎢⎪0,所以0
π⎫⎡3π⎫⎛
⎢⎪0,答案 6⎭∪⎣4,π⎭ ⎝
三、解答题(本大题共3小题,每小题10分,共30分)
10.过点P (-1,-1) 的直线l 与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点,
3
若P 恰为线段AB 的中点,求直线l 的斜率和倾斜角.
⎧
解 设A (a, 0) ,B (0,b ) ,则⎨0+b
⎩2=-1,
⎧⎪a =-2,∴⎨即A (-2,0) ,B (0,-2) . ⎪b =-2,⎩
a +0
2=-1,
-2-0
∴k AB =1,故直线l 的倾斜角为135°.
0-(-2)11.已知△ABC 中,A (1,-4) ,B (6,6),C (-2,0) .求: (1)△ABC 的平行于BC 边的中位线的一般式方程和截距式方程; (2)BC 边的中线的一般式方程,并化为截距式方程. 解 (1)平行于BC 边的中位线就是AB 、AC 中点的连线.
⎛7⎫⎛1⎫
⎪ 因为线段AB 、AC 中点坐标为2,1,-2,-2⎪, ⎝⎭⎝⎭
y +2
1+271
2+2整理得6x -8y -13=0, x y
化为截距式方程为13+13=1.
6-8(2)因为BC 边上的中点为(2,3), y +4x -1
所以BC 边上的中线方程为=,
3+42-1即7x -y -11=0,
x y
化为截距式方程为11+1.
-117
4
1x +2
12.过点A (1,4)引一条直线l ,它与x 轴,y 轴的正半轴交点分别为(a, 0) 和(0,b ) ,当a +b 最小时,求直线l 的方程.
解 解法1:由题意,设直线l :y -4=k (x -1) ,k
则a =1-4
k b =4-k .
∴a +b =5+(-4
k k ) ≥5+4=9. 当且仅当k =-2时,取“=”. 故得l 的方程为y =-2x +6. 解法2:设l :x y
a +b 1(a >0,b >0), 由于l 经过点A (1,4),∴14
a +b 1, ∴a +b =(a +b (144a b
a b ) =5+b a ≥9,
当且仅当4a b
b a 时,即b =2a 时,取“=”即a =3,∴所求直线l 的方程为x y
36=1,即y =-2x +6.
5
b =6.