初中数学教师基本功比赛专业技能比赛试题

初中数学教师基本功比赛专业技能比赛试题

1. 试求证：圆的切线垂直于经过切点的半径. (书本定理的证明)

2. 如图，已知AB =1，点C 是线段AB 的黄金分割点，试用一元二次方程求根公式验证黄金 比

3. 三座城市A 、B 、C 分别位于一个等腰三角形ABC 的三个顶点处，且AB =AC =50km，BC =80km，要在这三个城市之间铺设通讯电缆，现设计了三种连接方案. 方案一：沿AB 、BC 铺设；

方案二：沿BC ，和BC 边上的中线AD 铺设；

方案三：在∆ABC 内找一点O ，使OA =OB =OC ，沿OA =OB =OC 铺设. (1)请你用尺规画出三种方案的示意图；

（2）请你在这三种方案中选择最短的方案，并加以说明.

1

4. 如图，在△ABC 中，∠ABC =45 ，点D 在边BC 上，∠ADC =60 ，且BD =．将△

2

AC -1

. （书本习题） =

AB 2

ACD 以直线AD 为轴做轴对称变换，得到△AC 'D ，连接BC '，

（1）求证BC '⊥BC ； （2）求∠C 的大小．

C /

B D C

5. 已知抛物线①经过点A （-1,0）、B （4,5）、C （0,-3），其对称轴与直线BC 交于点P 。 （1）求抛物线①的表达式及点P 的坐标；

（2）将抛物线①向右平移1个单位后再作上下平移，得到的抛物线②恰好过点P ，求上下

平移的方向和距离；

（3）设抛物线②的顶点为D ，与y 轴的交点为E ，试求∠EDP 的正弦值.

参考答案：

4. （1）∵△AC 'D 是△ACD 沿AD 做轴对称变换得到的，

∴△AC 'D ≌△ACD .

有C 'D =CD ，∠ADC '=∠ADC ．………………3分 1

∵BD =CD ，∠ADC =60 ，

2

1

∴BD =C 'D ，∠BDC '=180 -∠ADC '-∠ADC =60 ．……5分

2B

A

C D

取C 'D 中点P ，连接BP ，则△BDP 为等边三角形，△BC 'P 为等腰三角形，…8分 11

有∠BC 'D =∠BPD =∠BDC '=30︒．∴∠C 'BD =90 ，即BC '⊥BC ． ……10分

22

（2）如图，过点A 分别作BC , C 'D , BC '的垂线，垂足分别为E , F , G ．

∵∠ADC '=∠ADC ，

即点A 在∠C 'DC 的平分线上， ∴AE =AF ．……13分 ∵∠C 'BD =90 ，∠ABC =45 ， ∴∠GBA =∠C 'BC -∠ABC =45 ，

B

A

C 'D

即点A 在∠GBC 的平分线上，∴AG =AE ．……16分

于是，AG =AF ，则点A 在∠GC 'D 的平分线上．…………………………18分 又∵∠BC 'D =30︒, 有∠GC 'D =150 ． ∴∠AC 'D =

1

∠GC 'D =75 ．∴∠C =∠AC 'D =75 ．………………………20分 2

2

解：（1）据题意设抛物线的表达式为y =ax +bx -3，

⎧0=a -b -3⎧a =12则⎨，解得⎨，∴抛物线的表达式为y =x -2x -3

⎩b =-2⎩5=16a +4b -3

∴对称轴为直线x =1

据题意设直线BC 的解析式为y =kx -3，则5=4k -3, k =2， ∴直线BC 的解析式为y =2x -3，∴P （1，-1）

（2）设抛物线①向右平移1个单位后再向上平移m 个单位得抛物线②， 则抛物线②的表达式为y =(x -1-1) -4+m

∵抛物线②过点P ，∴-1=(1-1-1) -4+m ，∴m =2 ∴再将它向上移动2个单位可得到抛物线②

（3）∵抛物线①向右移动1个单位，再向上平移2个单位得到抛物线②，

∴抛物线②的表达式是y =(x -1-1) -4+2即

2

22

x

y =(x -2) 2-2，∴D （2,-2），E （0,2）

∵P(1,-1)，∴直线DP 过点O ，且与x 轴夹角为45°， 过点E 作EH ⊥DP 于点H ，∴∠EOH= 45°

∵E （0,2）, ∴

，而

=∴sin ∠

EDP=

EH == DE 10

备用：

某一学生把一座正确的时钟的时针装在分针的轴上，把分针装在时针的轴上，问这座时钟一天中有 次显示正确的时刻.22

1、设a 为质数，并且7a 2+8和8a 2+7也都是质数，若记x =77a +8, y =88a +7，

则在以下情况中，必定成立的是（ ）．

(A )、x , y 都是质数； (B )、x , y 都是合数；

(C )、x , y 一个是质数，一个是合数； (D )、对不同的a ，以上各情况皆可能出现．

答案：A ．

解：当a =3时，7a +8=71与8a +7=79皆为质数，而x =77a +8=239，

2

2

y =88a +7=271都是质数；

当质数a 异于3时，则a 被3除余1，设a =3n +1，于是7a +8=21n +15，

2

2

2

8a 2+7=24n +15，它们都不是质数，与条件矛盾！

绕圆周填写了十二个正整数，其中每个数取自{1, 2,3, 4,5,6,7,8,9}之中（每一个数都可以多次出现在圆周上），若圆周上任何三个相邻位置上的数之和都是7的倍数，用S 表示圆周上所有十二个数的和，那么数S 所有可能的取值情况有 种． 答案：9种．

解：对于圆周上相邻的三个数{a k , a k +1, a k +2}，a k +a k +1+a k +2可以是7，或14，或21，例如，当三数和为7时，{a k , a k +1, a k +2}可以取{1, 2, 4}或{1,1,5}或{2, 2,3}；又对于圆周上任意相邻的四数，若顺次为a k , a k +1, a k +2, a k +3，由于a k +a k +1+a k +2和a k +1+a k +2+a k +3都是7的倍数，那么必有7a k +3-a k ，于是a k 与a k +3或者相等，或者相差7；

又在圆周上，1与8可互换，2与9可互换；现将圆周分成四段，每段三个数的和皆可以是7，或14，或21，因此四段的总和可以取到{28,35, 42, 49,56,63,70,77,84}中的任一个值，总共九种情况．

（其中的一种填法是：先在圆周上顺次填出十二个数：1,2,4,1,2,4,1,2,4,1,2,4，其和

为28，然后每次将一个1改成8，或者将一个2改成9，每一次操作都使得总和增加7，而这样的操作可以进行八次）．

变式：求S =35的概率是多少？

众所周知，菠萝味道鲜美，很受大家喜爱. 某超市为方便顾客，把菠萝去皮后出售，但由于定价不合理而无人问津. 现根据如下统计数据重新定价，你认为如何划定去皮菠萝的价

为庆祝“神州五号”载人飞行成功返航，

某学校科技小组要举行科技小作品展，小东在制作一件参展作品过程中，遇到这样一个问题：如图1，一块金属板上有三个圆洞，现要作一个与这三个圆洞都相切的圆板（大小不限），请你帮助他提供6种不同方案

.

图1

20．

在某省举行的中学教师课件及观摩课比赛中，其中一个参赛课件是这样的：

在平面上有n 个过同一点P 且半径相等的圆，其中任何两个圆都有两个交点，任何三个圆除P 点外无其它交点，演示探索这样的n 个圆把平面划分成几个平面区域的问题. 大屏幕上首先依次显现了如下几个场景：

场景一 场景二 场景三 场景四 场景五

试问：当有n 个圆按此规律相交时，可把平面划分成多少个平面区域？这n 个圆共有几个交点？

答案：平面区域：

n (n +1) n (n -1)

，交点个数：+1 22