七年级奥数讲座 第五讲二元一次方程和一次方程组
二元一次方程和一次方程组
知识点:
1、二元一次方程整数解存在的条件：在整系数方程ax+by=c中，
若a,b 的最大公约数能整除c, 则方程有整数解。即 如果（a,b ）|c 则方程ax+by=c有整数解 显然a,b 互质时一定有整数解。
例如方程3x+5y=1, 5x-2y=7, 9x+3y=6都有整数解。 反过来也成立，方程9x+3y=10和 4x-2y=1都没有整数解， ∵（9，3）＝3，而3不能整除10；（4，2）＝2，而2不能整除1。 一般我们在正整数集合里研究公约数，（a,b ）中的a,b 实为它们的绝对值。
2. 二元一次方程整数解的求法： 若方程ax+by=c有整数解，一般都有无数多个，常引入整数k 来表示它的通解（即所有的解）。k 叫做参变数。
方法一：整除法：求方程5x+11y=1的整数解
1-11y 1-y -10y 1-y
==-2y (1) , 5551-y
设，则y=1-5k (2) , =k (k 是整数）
5
解：x=
把（2）代入（1）得x=k-2(1-5k)=11k-2 ∴原方程所有的整数解是⎨方法二：公式法：
⎧x =11k -2
（k 是整数）
y =1-5k ⎩
⎧x =x 0⎧x =x 0+bk
设ax+by=c有整数解⎨则通解是⎨（x 0,y 0可用观察法）
y =y y =y -ak 00⎩⎩
3、 求二元一次方程的正整数解：
① 求出整数解的通解，再解x,y 的不等式组，确定k 值 ② 用观察法直接写出。 4. 二元一次方程组⎨
⎧a 1x +b 1y =c 1
的解的情况有以下三种：
⎩a 2x +b 2y =c 2
① 当
a 1b 1c 1
==时，方程组有无数多解。（∵两个方程等效） a 2b 2c 2
a 1b 1c 1
=≠时，方程组无解。（∵两个方程是矛盾的） a 2b 2c 2
a 1b 1
≠（即a 1b 2－a 2b 1≠0）时，方程组有唯一的解： a 2b 2
② 当
③ 当
⎧⎪x =⎪ ⎨⎪y =⎪⎩
c 1b 2-c 2b 1
a 1b 2-a 2b 1c 2a 1-c 1a 2a 1b 2-a 2b 1
（这个解可用加减消元法求得）
5. 方程的个数少于未知数的个数时，一般是不定解，即有无数多解，若要求整数解，可按二元一次方程整数解的求法进行。
6. 求方程组中的待定系数的取值，一般是求出方程组的解（把待定系数当已知数），再解含待定系数的不等式或加以讨论。
二、例题
例1求方程5x －9y=18整数解的通解
例2求方程5x+6y=100的正整数解
例3 解方程组
例4 解方程组
例5 已知
例6. a 取什么值时，方程组⎨
⎧x +y =a
的解是正数？
⎩5x +3y =31
⎧2x +my =4
例7. m 取何整数值时，方程组⎨的解x 和y 都是整数？
x +4y =1⎩
例8 已知关于x ，y 的方程组
分别求出当a 为何值时，方程组(1)有唯一一组解；(2)无解；(3)有无穷多组解．
例9 选择一组a,c 值使方程组⎨
⎧5x +y =7
ax +2y =c ⎩
① 有无数多解， ②无解， ③有唯一的解
例10 已知关于x ，y 的二元一次方程
(a-1)x+(a+2)y+5-2a=0，
当a 每取一个值时，就有一个方程，而这些方程有一个公共解，试求出这个公共解．
练习1
1、求下列方程的整数解
①公式法：x+7y=4, 5x-11y=3 ②整除法：3x+10y=1, 11x+3y=4
2、求方程的正整数解：①5x+7y=87 ②5x+3y=110
3、一根长10000毫米的钢材，要截成两种不同规格的毛坯，甲种毛坯长300毫米，乙种毛坯长250毫米，有几种截法可百分之百地利用钢材？
4、兄弟三人，老大20岁，老二年龄的2倍与老三年龄的5倍的和是97，求兄弟三人的岁数。
5、下列方程中没有整数解的是哪几个？答：________ （填编号）
①4x ＋2y=11, ②10x-5y=70, ③9x+3y=111,
④18x-9y=98, ⑤91x-13y=169, ⑥120x+121y=324.
6、一张试巻有20道选择题，选对每题得5分，选错每题反扣2分，不答得0分，小军同学得48分，他最多得几分？
练习2
1．解方程组
2．若x 1，x 2，x 3，x 4，x 5满足方程组
试确定3x 4+2x5的值．
3．将式子3x 2+2x-5写成a(x+1)2+b(x+1)+c
的形式，试求
4．k 为何值时，方程组
有唯一一组解；无解；无穷多解？
5．若方程组
的解满足x+y=0，试求m 的值．