机械效率与杠杆难题

机械效率计算（二）

一、教学目的：1、掌握杠杆、滑轮力的分析。

2、掌握滑轮组机械效率的计算方法。

3、掌握杠杆滑轮机械效率的几种典型题。

二、知识讲解：

1、使用杠杆、滑轮的目的就是为了省力或者费力省距离。对于省力滑轮，省力非距离。对于费力滑轮来说，它费力省距离。

已知：物体重力为G物、滑轮重力为G动、绳子股数n、物体移动的速度V物、人拉力移动的速度为V、物体移动的距离h、人拉力移动的距离为S。

则有：1、绳子的拉力F拉= 。2、V物与V的关系：

3、S与h。4、机械效率η。

2、使用杠杆时，杠杆受力分析，注意：杠杆一般只受拉力个压力，在做题前一定要先看看杠杆本身的质量是否忽略不计，要是没有忽略，则受分析时要分析重力。而且对杠杆不但要分析受力，也要分析对于杠杆的力臂关系。

3、在力学中，我们受力分析就是要列相应的方程。对物体受力分析得到力的方程，对杠杆受力分析等到杠杆平衡方程，对动滑轮受力分析等到两端的拉力方程。

例1．如图21所示为一种蓄水箱的放水装置，AOB是以O点为转轴的轻质杠杆，AB呈水平状态，AO = 40cm，BO= 10cm。Q是一个重为5N、横截面积为200cm2的盖板，它通过细绳与杠杆的A端相连。在水箱右侧的水平工作台上，有一台质量为60kg的电动机通过滑轮组拉动系在B点呈竖直状态的绳子，可以控制出水口上的盖板。若水箱中水深为50cm，当盖板恰好要被拉起时，电动机对绳子的拉力为F1，工作台对电动机的支持力为N1；若水箱中水深为100cm，当盖板恰好要被拉起时，电动机对绳子的拉力为F2，工作台对电动机的支持力为N2。已知N1与N2之比为69∶77，盖板的厚

度、绳重及滑轮的摩擦均可忽略不计，电动机对绳的

拉力与电动机所受重力在同一直线上，取g=10N/kg。

求：

（1）当水箱中水深为100cm时，盖板上表面所受水

的压强。

（2）电动机对绳子的拉力F1∶F2。

（3）电动机对绳子的拉力为F1时，滑轮组的

机械效率η1。

分析;本题有四个受力分析，分别是对Q受力分析，

对杠杆受力分析，对动滑轮受力分析，对电动机受力

分析。 图21

解题分析：设绳的拉力为FA1。首先对Q受力分析可知：第一次拉力FA1=F+GQ（水对Q的压力）有题可知：GQ=5N F= = = N。 所以：FA1= 。FA2= 。

对杠杆受力分析可知：因为杠杆平衡，

所以：OA×FA1=OB×FB1 同理OA×FA2=OB×FB2 求出FB1= N FB2= N。 因为绳重及滑轮的摩擦均可忽略不计，所以对动滑轮受力分析得：

5F1= FB1+G动 同理5F2= FB2+G动 带入数值F1 F1对电动机受力分析可的：N1=G电+ F。N2=G电+ F。

所以N1∶N2∶77。

通过分析可知只有动滑轮重力未知，所以可求出动滑轮重力。G动= N。

AO呈水平状态，A、O两点间距离为40cm，B、O两点的水平距离为10cm，B、O两点的竖直距离为7cm。A点正下方的Q是一个重为5N、横截面积为200cm2的盖板（盖板恰好能堵住出水口），它通过细绳与杠杆的A端相连。在水箱右侧的水平工作台上，有一质量为60kg的人通过滑轮组拉动系在B点呈竖直状态的绳子，从而可以控制水是否能从出水口流出。若水箱中水深为50cm，当盖板恰好要被拉起时，人对绳子的拉力为F1，工作台对人的支持力为N1；若水箱中水深为100cm，当盖板恰好要被拉起时，人对绳子的拉力为F2，工作台对人的支持力为N2。已知N1与N2之比为69：77，盖板的厚度、

绳重及滑轮的摩擦均可忽略不计，人对绳的拉力与人所受重力

在同一直线上，取g=10N/kg。求：

（1）当水箱中水深为50cm时，盖板上表面所受水产生的

压强；

（2）人对绳子的拉力F1的大小；

（3）若与杠杆A、B两端连接的细绳足够结实，而人拉滑

轮组的绳子所能承受的最大拉力为330N，则为能实现使用图中

的装置放水，水箱中水的最大深度不得超过多少。

变式题2．如图7所示装置中，杠杆和滑轮的重力及滑轮的摩擦均可忽略不计，杠杆AB可以绕O点在竖直平面内自由转动，A端通过竖直方向的轻绳与滑轮组相连，在B端用一轻绳沿竖直方向将杠杆拉住，使其始终保持水平平衡。在滑轮组的下方，悬挂一圆柱形的物体，此物体被浸在圆柱形容器内的液体中。已知杠杆O点两侧的长度关系为AO=2OB，圆柱形物体的底面积为10cm2、高为12 cm，圆柱形容器的底面积为50cm2。若容器中的液体为水，在水深为20cm时物体的上表面恰与水面相平，此时杠杆B端绳上的拉力为F1；打开圆柱形容器下方的阀门K，将水向外释放，直到物体露出水面的体积为其总体积的2/3时，将阀门K关闭，此时杠杆B端绳上的拉力为F2，且F1 ：F2=3：4。

若容器中液体为某种未知液体，其质量与最初容器中的水的质量相

等，此时未知液体的深度为18 cm，杠杆B端绳上的拉力为F3。取

g=10N/kg，则

A．圆柱形物体的密度为2 g/cm3

B．作用在B端的拉力F3 大小为1.52N

C．未知液体的密度为1.2 g/cm3

D．未知液体对圆柱形容器底部的压强为1980Pa

图7 图25

例2、图25是液压汽车起重机从水中打捞重物的示意图。A是动滑轮，B是定滑轮，C是卷扬机，D是油缸，E是柱塞。作用在动滑轮上共三股钢丝绳，卷扬机转动使钢丝绳带动动滑轮上升提曲种物，被打捞的重物体积V＝0.5 m3。若在本次打捞前起重机对地面的压强p1＝

772.0×10Pa，当物体在水中匀速上升时起重机对地面的压强p2＝2.375×10Pa，物体完全出水后起重机对地面的压强p3＝2.5×107Pa。假设起重时柱塞沿竖直方向，物体出水前、后柱塞对吊臂的支撑力分别为N1和N2，N1与N2之比为19：24。重物出水后上升的速度v＝0.45m/s。吊臂、定滑轮、钢丝绳的重以及轮与绳的摩擦不计。（g取10N/kg）求：

（1）被打捞物体的重力；

（2）被打捞的物体浸没在水中上升时，滑轮组AB的机械效率；

（3）重物出水后，卷扬机牵引力的功率。

P=F2 v＇=0.8×10N ×1.35m/ s =1.08×10W。

分析：一般我们看到压强时都要考虑是否有受力面积可求压力，本体的

受力分析有，车子受力分析、滑轮受力分析、杠杆受力分析。本题中因为车

子给的条件比较多，所以从车子受力分析开始。

解：1、对车子受力分析可得P1S=G车P2S=G车+G物—F浮 P3S=G车+G物的三元一次方程组：因为F浮＝ = .可求出S＝ m2 G车= N. G物N（浮力可求出）

2、对物体受力分析：F1= G物—F浮= N F 2=G物= N

对杠杆受力分析，因为杠杆平衡得：N1×L1=3 F拉1×L2 N2×L1=3 F拉2×L2 根据N1：N2=19：24。。。 所以机械效率η= = = 。

3、P=F2 v＇。

B是定滑轮，C是卷扬机，D是油缸，E是柱塞。通过卷扬机转动使钢丝绳带动A上升，打捞体积V＝0.5m3、重为G物的重物。若在打捞前起重机对地面的压强p1＝2×107Pa，当物体在水中匀速上升时起重机对地面的压强为p2，重物完全出水

后匀速上升时起重机对地面的压强p3＝2.5×107Pa。假设起

重时E沿竖直方向，重物出水前、后E对吊臂的支撑力分

别为N1和N2，重物出水前滑轮组的机械效率为80%，重物

出水后卷扬机牵引力的功率为11875W，吊臂、定滑轮、钢

丝绳的重以及轮与绳的摩擦不计。

（

g取10N/kg）求：

（1）重物在水中匀速上升时起重机对地面的压强p2；

（2）支撑力N1和N2之比；

（3）重物出水后匀速上升的速度。

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3．图3是液压汽车起重机提升重物的示意图。A是动滑轮，B是定滑轮，C是卷扬机，D是油缸，E是柱塞。卷扬机转动使钢丝绳带动动滑轮上升，同时提升重物。提升重物前，起重机对地面的压强 p1＝1.8×107Pa，当提升重物甲匀速上升时，起重机对地面的压强p2＝

2.175×107Pa，当提升重物乙匀速上升时，起重机对地面的压强p3＝2.3×107Pa。假设起重时柱塞沿竖直方向，提升重物甲、乙柱塞对吊臂的支撑力分别为N1和N2，N1=3.6×104N、N2=4.5×10 N。吊臂、定滑轮、钢丝绳的重以及轮与绳的摩擦不计。（g取10N/kg）求：（7分）

（1）被提升两物体的重力之比；

（2）提升重物乙匀速上升时，滑轮组AB的机械效率；

（3）如果匀速提升重物甲时卷扬机牵引力的功率为

4.56kw，重物甲上升的速度为0.4m/s，那么重物甲

的重力是多少？

例3．图25是一个建筑工地提升物体的装置示意图，其中AB是一个以O为支点的杠杆，且AO:OB=3:4，D是一个系在杠杆B端的配重物体，重为2580N。人可以通过固定在杠杆A端的滑轮组提升物体。有一质量为60kg的工人站在水平地面上，他对地面的压强p0=1.2×104Pa。他利用该装置匀速提升一块木材时，配重物体D受到的支持力为N1，工人对地面的压强p1=0.8×104Pa；他利用该装置匀速提升一块钢材时，配重物体D受到的支持力为N2，工人向下的拉力为F2；已知N1: N2=7:6，提升木材时滑轮组的机械效率η=90%，每个滑轮质量都相等，绳重及滑轮与轴的摩擦不计，不计杆的重力，g取10N/kg。

求：（1）工人提升木材时向下的拉力F1；

（2）工人提升钢材以0.3m/s的速度匀速上升需要的功率。

分析：本题有三个受力分析：1、物体受力分析、2、滑轮受力分析、3、

杠杆受力分析。4、对人受力分析。本题因为知道人的力比较多，所以从人

受力分析开始，让后是对物体受力分析，在利用机械效率计算、在对定滑轮

受力分析、在对杠杆受力分析。

解：首先因为人的质量为60kg，所以G人= N。对人受力分

析可得：F拉1= G人—F支 F支=F压=P×S S= = m2

F拉1 根据公式η利用机械效

率列方程得 。则可求出G物= N。G动= N。 所以G定=G动= N。

对定滑轮受力分析可求出对A点的拉力FA1= = N。 因为杠杆平衡，对杠杆受力分析得：FA1×LOA = FB1×LOB AO:OB=3:4 可求出FB1= N。对物体D受力分析得：N1=GD—FB1N。(GD=2580N) 已知N1: N2=7:6 所以N2= N。在对D受力分析可求出FB1= 。由于杠杆平衡，对杠杆受力分析可得：FA2×LOA = FB2×LOB

FA2。对定滑轮分析可求出F拉2N。

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物体移动的速度V物=0.3m/s 则拉力移动的速度V= m/s。

例4、如图28所示装置，重为GM=100N的物体M放置在水平桌面上，两侧用水平细线拴住，左侧水平细线通过定滑轮悬挂重为GA=80N的物体A，A浸没在一个足够大的盛水容器中，右侧通过滑轮组拉着重为GB=150N的物体B，恰好使物体M在水平桌面上匀速向右运动（物体A未露出水面）；撤去盛水容器，用一个竖直向下的力F1拉物体A，使物体B匀速上升时，滑轮组的机械效率为η1 ；当把盛水容器放在右侧使物体B浸没在水中，此时在再用一个竖直向下的力F2拉物体A，使物体B在5s内匀速上升10cm（物体B未露出水面）时，滑轮组的机械效率为η2；已知物体A、B和水的密度之比为ρA∶ρB∶ρ水=2∶5∶1，两次拉力之比为

F1∶F2=3∶2。若不计绳重、滑轮组装置的摩擦及物体A、B在水中的阻力，g取10N/kg。求：

（1）物体B所受浮力；

（2）η1与η2的比值；

（3）物体B没有露出水面时，拉力F2

的功率P2 。

分析:本题用到了浮力的一个推论

原理、受力分析比较多，M的受力分析

要注意摩擦力方向改变，大小不变的原

理。通过前面的题型练习，我们要具备

几个能力，

1、我们能直接看清的受力分析情况，可以不用画受力受力分析图，直接列等

式（方程）例如求A对M的拉力，滑轮

组自由多的垃圾等。 M 图28

2、有些受力分析我们可以总结成公式的形式记住，比如说对动滑轮受力分析。

3、在分析题时，一般题中会分几种情况分析，我们在做题时要注意分清没种情况中的力，相等的力可以用同一个字母，不等的力，一定要用不同字母，如果情况很多时，我们可以通过角标区分力的不同。

解：（1）、当物体浸没在液体中时有：V物=V排。所以有G物/F浮= = 已知ρA∶ρB∶ρ水=2∶5∶1，所以当物体A、B浸没在水中时F浮A= GA F浮B= GB GA=80N GB=150N 所以F浮A= N F浮B= N

（2）、第一过程物体M自由向右运动、对M受力分析得、FA1+ f= FB1

由于FA1= = N FB1= .。 f= 。(有含有G动的式子表示)

第二个过程去掉A下面的水，用F1拉物体A，使物体B匀速上升时，对物体M受力分析得：F1= f+ FB1= (有含有G动的式子表示)

第三个过程当把盛水容器放在右侧使物体B浸没在水中，此时在再用一个竖直向下的力F2拉物体A，使物体B匀速上升时：FB2= 。对物体M受力分析可得：F2= f+ FB1= (有含有G动的式子表示)

所以根据F1∶F2=3∶2 G动

N.

η1∶η2 （3）F2= f+ FB1 VB= = 。VM=

W。

变式1： 如图21所示装置，物体B重为50N，体积VB=1.0×10-3m3，B在水中匀速下沉时，通过滑轮组拉着物体A在水平面上向左匀速运动，此时滑轮组的机械效率为80%。若将物体B换成与物体B体积相同的物体C后，用水平向右的力F

拉物体A，使物体C在水中4s内匀速上升0.4m（物体Ｃ未露

出水面），此时滑轮组的机械效率为60%。不计绳重、滑轮

轴处摩擦及水的阻力，g取10N/kg，计算结果保留１位小数。

求：

（1）物体B在水中受到的浮力F浮。

（2）水平面对物体A的摩擦力fA 。

（3）物体C所受重力GC与拉力F的比值。

（4）拉力F的功率P 。

变式2：．如图25所示装置，物体B重为100N，它在水中匀速下沉时，通过滑轮组拉着重200N的物体A在水

平面上匀速运动。当用一个水平向左的力F1拉物体A，使物体B在水

中匀速上升（物体B未露出水面）时，滑轮组的机械效率为η1 ；当

物体B完全露出水面后，用另一个水平向左的力F2拉物体A，在4s内

使物体B匀速上升0.4m，此时滑轮组的机械效率为η2 。

已知：物体B的密度ρB=5ρ水 ，两次拉力F1∶F2=9∶10。若不计绳重、

滑轮组装置的摩擦及水中的阻力，g取10N/kg。求：

（1）水平面对物体A的摩擦力f ；

（2）η1与η2的比值；

(3) 在物体B完全露出水面后，拉力F2的功率P2 。

（请画出相关受力分析图） ．．．．．．．

图21

练习

1、.图22是小明设计的一个通过简单机械检测水位的装置示意图，该装置主要由滑轮C、物体A、B以及杠杆DE组成，物体B通过细绳与滑轮相连，物体A通过细绳与杠杆相连。杠杆可以绕支点O在竖直平面内转动，杠杆始终在水平位置平衡OD:OE=1:2。物体A受到的重力为800N. B的底面积为2m2，当容器内装满水时，物体B恰好浸没在水中, 物体A对地面的压强为P1；在使用过程中放水阀门打开，当物体B完全露出水面时, 物体A对地面的压强为P2,此时容器底部受到的压强与物体B恰好浸没在水中底部受到压强的变化量为200Pa。已知：滑轮的重力为120N，P1﹕P2=3﹕1。杠杆和细绳的质量均忽略不计，滑轮与转轴的摩擦、杠杆与轴的摩擦均忽略不计，g取

求：⑴物体B的重力；⑵物体B的密度

2．图 26是一个上肢力量健身器示意图。配重A受到的重力为1600N，配重A上方连有一根弹簧测力计D，可以显示所受的拉力大小，但当它所受拉力在0～2500N范围内时，其形变可以忽略不计。B是动滑轮，C是定滑轮；杠杆EH可绕O点在竖直平面内转动，OE:OH=1:6.小阳受到的重力为700N，他通过细绳在H点施加竖直向下的拉力为T1时，杠杆在水平位置平衡，小阳对地面的压力为F1,配重A受到绳子的拉力为FA1,配重A上方的弹簧测力计D

显示受到的拉力FD1为2.1×103N；小阳通过细绳在H点施加竖直向下的拉力为T2时，杠杆仍在水平位置平衡，小阳对地面的压力为F2,配重A受到绳子的拉力为FA2,配重A上方的

弹簧测力计D显示受到的拉力FD2为2.4×103N.已知F1:F211:9。（杠杆EH、弹簧D和

细绳的质量均忽略不计,不计绳和轴之间摩擦）。求：

（1）配重A受到绳子的拉力为FA1;

（2动滑轮B受到的重力GB ；

（3）拉力为T2.

图26