泰勒级数的启示
我的标题是《泰勒级数及给我的启示》。关于级数，你已经知道一些例子了，注意，它一定是无穷项。例如:∑1/n*n，即所有正整数的倒数平方和。
先说一说微积分之前的事情吧。高中时的二项式公式可以用很初等的方法得到，因为展开后，它只包含有限项，如(a+b)^n展开后只有n+1项。容易看出，该公式的推导过程中利用了n为自然数这个性质，现在问当n取分数或无理数时，为了计算的方便，我们总想将其展开成∑Z*a^x*b^y的形式。而牛顿就发现了一般的二项式定理，完全解决了这个问题，在那个时代是伟大的。我们现在知道该定理只是函数y=(1+x)^α的泰勒展开式。
正是工业上计算的需要，一部分人开始研究估计、逼近。若f在a处一阶连续可微，则在a的小邻域内可用y=f'(a)*(x-a)估计y=f(x)。自然地，若f二阶连续可微，就可以用二阶导数来估计，而且更精确些。于是我们研究用n阶导数逼近的情况。利用中值定理，可得到带有余项的展开式。有了这些理论就解决了当时的大部分计算问题。
当余项→0时，其泰勒级数在收敛域内收敛于f(x)。这是一个划时代的结论。它并不困难，但意义重大。它直接指明了各类函数的实质，如y=e^x的展式为它的实质，因为从展式形式上看，它不需要任何定义。我们可利用它得到一些有趣的结论，如e^xi=cosx+isinx，其中i为虚数单位(两边将x带入各自展开式即可得到)。
于是在复数域中看这些问题，可直接可到很多精彩的结果。复变函数中，函数级数是一个重要工具。同时它给出了我们一种构造无穷可微且非初等函数的方法，这大大扩展了我们的视野。它暗示了一类问题，如函数项级数问题。它能将复杂函数转换成简单的多项式问题(如，有些广义积分，将被积函数展开，问题重心转移，从而将问题大大化简)。
当然它的作用远不限于此，它还给了我们一个直接推论：一类无穷阶光滑函数空间的维数是可数无穷。(数学已经对无穷进行了明确的分类，可数无穷是最小的无穷，如：自然数集元素的个数为可数无穷；实数集元素个数为不可数无穷(正如你的意识：实数要比自然数多的多))。
需要指明一点，该函数空间是实数上的线性空间。
所谓线性空间V，首先V是一个集合，元素间有种运算“+”，元素与某域间有数乘运算“*”(并不是特指通常的加法，乘法)，V中的任意元素α,β,γ及域中数x,y关于“+，*”满足交换律，结合律，左右分配律。例如：n维向量空间在通常加法及乘法意义下是实数域上的线性空间。
回到原问题，原函数空间的确是实数域上的线性空间。泰勒展式明确给出了该空间的一组基，即1,x,x^2,…
,x^n,…，显然它是可数无穷的。而线性空间的基存在无穷多组，这就给人一个提示～找非多项式构成的基。自然地人们想到三角函数列，即1,sinx,cosx,…,sin(nx),cos(nx),…验证性地，容易可到另一类级数～傅利叶级数。这又是一个划时代的结论，它的出现震耳欲聋，只说现在，现在所有信号生成，信号传输，信号接收等信号问题都完全利用傅利叶的成果(信息时代，其价值可想而知)。单说其在数学中的价值，由傅利叶级数可以导出一种变换，叫傅利叶变换，它大量应用在偏微分方程中。由傅利叶变换还可得到其他一系列变换(数学中称为算子，范函分析专门研究这个)，都有效地运用在微分方程，积分方程，中(信号加密也大量运用)。
扯得有点远了！泰勒级数的重要性是不言而喻的。
从全文来看，你容易发现，任何一个好理论的出现不仅几乎完美地解决一些问题，而且推动了其他学科分支的发展。从发展的眼光来看，最为重要的一点是，它引导我们思考更多的问题，这才有了数学的进步。
尽管级数理论发展好像完美，数学家们从没停止过对它的研究……