线代作业纸1-3章答案
第一章 行列式
一、填空题
1. 按自然数从小到大为标准次序,则排列3421的逆序数为 5 ,32514的逆序数 为 5 .
2. 四阶行列式中含有因子a 11a 23的项-a 11a 23a 32a 44,a 11a 23a 34a 42. 3. 按定义,四阶行列式有4! 项,其中有12项带正号,有12项带负号.
2x
1-1
4.在函数f (x ) =-x
-x x 中,x 3
的系数是-2. 1
2
x
1
11
5. a
b
c =(b -a )(c -a )(c -b ) .
a 2
b 2
c
2
3
-11
6.设D =-2
-31,A ij 为元素a ij 的代数余子式(i , j =1, 2, 3) ,0
1
2
2A 13+A 23-4A 33=37.
二、选择题
a 1
b 1
1. 四阶行列式
0a 2b 200
的值等于( D )
b 3
a 3
b 40
a 4
(A ) a 1a 2a 3a 4-b 1b 2b 3b 4 (B ) a 1a 2a 3a 4+b 1b 2b 3b 4
(C ) (a 1a 2-b 1b 2)(a 3a 4-b 3b 4) (D ) (a 2a 3-b 2b 3)(a 1a 4-b 1b 4)
x
1122. 设f (x ) =
1x 1-13
32x 1,则x 的系数为 ( C )
1
1
2x
1
则
(A )2 (B )1 (C )-1 (D )-2 3. 在五阶行列式det(a ij ) 中,下列各项中不是det(a ij ) 的项为 ( A ) (A )a 31a 43a 21a 52a 55 (B )-a 31a 23a 45a 12a 54 (C )a 12a 23a 34a 45a 51 (D )a 41a 14a 25a 52a 33
1
-1-1x -1-1
1x +111
2
x -1-1-1-1
2
2
4
4. 行列式
11x +1
的值为 ( D )
(A )0 (B )(x +1) (x -1) (C )x (D )x
三、计算题
2
1-120
4236
11
2
1020
4636
1222
315
1.
r 2+r 15 =====21
2
; =0(因有两行相同)
5
-ab
ac -cd cf
-b r 1÷a
de =====adf b
r 2÷d
-ef b
r 3÷f ae
c -c c
2. bd
bf
c 1÷b -1e =====1
c ÷c -e 21
c 3÷e
e 1-11
11 -1
r 2+r 1
=====abcdef r 3+r 1 a
1b -10
01c -1
00
1+ab b -10
a 1c -1
001d
-100
102
1
2=4abcdef 0
;
3.
-100
r 1+ar 2-1 =====10
d
+ab
c 1
-1=====
a c -1
01 d
c ab
a ad
3+dc +2r 3
=====
-1c 1+cd =====
+ab
ad +ab )(1+cd ) +ad ;
-10
-1
1+cd
=(1
四、证明题
a
2
ab b
2
1. 2a
a +b 2b =(a -b ) 3
1
11
a
2
ab b
2
2
c a 2-b
2
ab -b 2
b
2
1-c 3
c (a -b )
2
ab -b 证 1-2c 2
2a
a +b 2b =====2(a -b )
a -b 2b =====
0a -b 1
1
1
c 2-c 3
00
1
=(a -b ) 3
;
a
2
(a +1) 2
(a +2) 2
(a +3) 2
2(b +1) 2(b +2) 2(b +3) 2
2.
b c 2(c +1) 2(c +2) 2(c +3) 2
=0
d 2(d +1) 2(d +2) 2(d +3) 2
a
2(a +1) 2(a +2) 2(a +3) 2
a
2
2a +12a +32a +52(b +1) 2(b +2) 2(b +3) 2
c 4-c 3证
b b 22b +12b +32b +5c 2(c +1) 2(c +2) 2(c +3) 2
======2c +1
c 2
3-c 2c 2c +32c +5d
2(d +1)
2(d +2)
2(d +3)
2
c 2-c 1d
2
2d +1
2d +3
2d +5
a
2
2a +122c 4-c 3=====b 2
2b +122c 23-c 2c
2c +122=0(因有两列相同);
d
2
2d +1
2
2
b
2
2b 1
x 0
-1x 0a 1
0-1 0a 2
00
00
=a n x +a n -1x -1a n
n
n -1
3.
0a 0
+ +a 1x +a 0
x a n -1
证 递推法,按第一列展开,建立递推公式
-1x
D n +1=xD n +(-1)
n +2
-1 *
=xD n +(-1)
2n +2
a 0a 0=xD n +a 0
x -1
又 D 1=a n ,于是
D n +1=xD n +a 0=x (xD n +1+a 1) +a 0=x D n -1+a 1x +a 0
2
= =x D 1+a n -1x =a n x +a n -1x
n n
n -1
+ +a 1x +a 0 + +a 1x +a 0.
n -1
五、计算题
x
a x a a x a
a a x a a
1
1x a
1a x
a a x
1. D n =
解D n =
a a
r 1+r 2+ +r n
a
=====[x +(n +1) a ]
r ÷[x +(n -1) a ] 1
a
x
c i -ac 1
=====[x +(n +1) a ]i =2, , n
1x -a
1
=(x -a )
n -1
x -a
[x +(n -1) a ].
a a
n
(a -1) (a -1)
a -11
n
(a -n ) (a -n )
n
n -1n -1n -1
2. D n +1=
a 1
,提示:利用范德蒙德行列式的结果
a -n 1
解 将行列式上下翻转,即为范德蒙德行列式,若再将行列式左右翻转,由于上下翻转与左右翻转交换次数相等,故行列式于上下翻转再左右翻转其值不变. 于是,利用范德蒙德行列式的结果,可得
1
D n +1=
a -n (a -n )
n
1a -n +1
(a -n +1)
n
1a
n
=
∏(i -j ).
1≤j
a
a n
a 1c 1
c n
r 2r 2n a n =====c n c 2c 2n
b n
b 1d 1
d n
3. D 2n =
,其中未写出的元素都是0
b n d n
=(a n d n -b n c n ) D 2(n -1)
解 D 2n
D 2(n -1)
即有递推公式
D 2n =(a n d n -b n c n ) D 2(n -1)
又D 2=
a 1c 1
b 1d 1
=a 1d 1-b 1c 1,利用这些结果递推得
n
D 2n =(a n d n -b n c n ) (a 1d 1-b 1c 1) =∏(a k d k -b k c k ) .
k =1
+a 1
11+a 2
1
11 1+a n
4. D n =
1 1
,其中a 1a 2 a n ≠0
a 1-a 2
c 1-c 20
解 D n =====
c 2-c 3
0100
=a 1a 2 a n
00
010 00
n
0a 2-a 3 00001 001
i
00a 3 00
000
000 10
000 -a n -1
a 1
000 a n -1-a n
-1-1-1
111 11+a n
a 2a 3
00
a n -1
n -1
-1
i
1+
∑a
i =1
=(a 1a 2 a n )(1+
∑a
i =1
)
⎧λx 1+x 2+x 3=0⎪
5. 问λ,μ取何值时,齐次线性方程组⎨x 1+μx 2. +x 3=0有非零解?
⎪x +2μx +x =0
23⎩1
解 方程组的系数行列式必须为0
λ
D =1
1
1
1r -r λ
32
1=====11
1
1
1=-μ(λ-1) 0
μ
2μ
μμ
故只有当μ=0或λ=1时,方程组才可能有非零解.
当μ=0,原方程组成为
⎧⎪λx 1+x 2+x 3=0
⎨
x +x 3=0⎪⎩1
显然x 1=1, x 2=1-λ, x 3=-1是它的一个非零解. 当λ=1,原方程组成为
⎧x 1+x 2+x 3=0⎪
⎨x 1+μx 2. +x 3=0 ⎪x +2μx +x =0
23⎩1
显然x 1=-1, x 2=0, x 3=1是它的一个非零解. 因此,当μ=0或λ=1时,方程组有非零解.
第一章 练习题
2
0-48
1-1 3
1. 1
-1
解 利用对角线法则
D =2⨯(-4) ⨯3+0⨯(-1) ⨯(-1) +1⨯1⨯8-1⨯(-4) ⨯(-1) -2⨯(-1) ⨯8-0⨯1⨯3
=-4;
x
y x +y x
x +y x y
2. y x +y
解 利用对角线法则
D =x (x +y ) y +yx (x +y ) +(x +y ) yx -(x +y ) -x -y =-2(x +y ) ;
3
3
3
3
3
41243.
1202520
1
1
71
202
1
202r 1r 解 2
124r 2-4r 1D =====-4
0-72-4520=====--152-20
r 3-10r 10
1
1
7
1
1
7
1
2021
202r 4r 2117
r 3+15r 2=====
01170-152-20=====04+7r 2
01785=0;
r
-7
2
-4
9
45
123452
34514. 34512 451235
1
2
3
4
解 从最后一行开始,后行减去前行
2345123111-4c -c 000i 1
D =11-41=====D =00-51-411i =2, , 5
0-50-4111
-5
5
3
124c 1
31+
∑5i
0000-5i =2
=====000-50=3⨯(-5) 4
=1875;
0-500
-5
4-5000
a b b b
23
c c c
23
d d d
23
5. 利用范德蒙德行列式计算四阶行列式
a a
2
3
b +c +d a
2r 4+r 1
a
解 D (a +b +c +d ) 3=====
a r 4÷(a +b +c +d )
a +c +d c c c
23
a +b +d a +b +c
b b b
23
d d d
23
1111
把行列式的最后一行依次与前面的行交换,共交换三次得
1
D =-(a +b +c +d )
a a a
23
1b b b
23
1c c c
23
1d d d
23
=-(a +b +c +d )(b -a )(c -a )(d -a )(c -b )(d -b )(d -c )
a 1
1a 20
a n
10
n
6. 证明
1 1
=a 2a 3 a n (a 1-∑
i =2
1a i
) ,其中 a 1a 2 a n ≠0
证 化行列式为下三角形行列式
r 1-
1r i
b 0a 2
00
a i
D =====i =2, n n
n
*
a n
=ba 2a 3 a n
其中,b =a 1-∑
i =2
1a i
n
,于是D =a 2a 3 a n (a 1-∑
i =2
1a i
).
7. D n =det(a ij ) ,其中a ij =i -j
01
101 n -2n -20 0
210 n -3
n -1n -2
01-11 1
n -2-1-1
n -1-1-1 -1
解 D n =
2 n -1n -1
r n -r n -11
n -3=====1
r n -1-r n -2
r 2-r 1
01
1
2n -3-2-2 0
n -1-1-1=(-1) -1
n -1
n -2
c 1+c n =====c 2+c n
00 0
(n -1) 2.
8. 求满足下列方程的实数x , y , z :
1
x 100
y 010
z 001
2
2
2
x y z
=1
解 将D 按第一行展开得,x +y +z =0, 解得x =y =z =0.
⎧(1-λ) x 1-2x 2+4x 3=0⎪
9. 问λ取何值时,齐次线性方程组⎨2x 1+(3-λ) x 2. +x 3=0有非零解?
⎪x +x +(1-λ) x =0
123⎩
解 方程组的系数行列式必须为0
-λD =
21
-23-λ1
411-λ
r 1r 3
=====-
12-λ
13-λ-2
1-λ14
1r 2-2r 1
-0=====
r 3-(1-λ) r 1
11-λ-3+λ
1-λ2λ-14-(1-λ)
2
=-
1-λ-3+λ
2λ-14-(1-λ)
2
c 2+c 1
1-λ
=====-
λ-3
λ3λ-λ
2
=-λ(λ-2)(λ-3)
x 1=-2,x 2=1,x 1=-2,x 2=3,故λ=0, 2或3,并且当λ=0时,当λ=2时,x 3=1;
x 3=1;当λ=3时,x 1=-1,x 2=5,x 3=2;均是原方程组的非零解. 因此,当
λ=0, 2或3时,方程组有非零解.
第二章 矩阵及其运算 (一)
一.填空题
⎛a 1
1. 设A = a 2
a ⎝3
⎫⎪
⎪ ,B =(b 1⎪⎭
⎛a 1b 1
,则AB = a 2b 1
a b ⎝31
a 1b 2a 2b 2a 3b 2
a ⎫1b ⎪a 2b ;BA = ⎪3a ⎪⎭3b 3
b 2
b 3)
⎛a 1b 1
T
(a 1b 1+a 2b 2+a 3b 3) ;(AB ) =a 1b 2
a b ⎝13
a 2b 1a 2b 2a 2b 3a 3b 1⎫
⎪T T T T T T
a 3b 2;A B =(BA ) ;B A = (AB ) .
⎪a 3b 3⎪⎭
⎡1
2. 设A =⎢
⎣x 2⎤⎡2
,B =⎥⎢-1⎦⎣1y ⎤
⎥,若AB =BA ,则x = 1 ;y = 2 . 0⎦
2T *
3. 设A 为3阶方阵,且A =-2,则A = ;-2A =;A ⎡1
4. 设A =⎢
⎣λ
⎡1⎢
5. 设A =0
⎢⎢⎣1
3
0⎤⎡1k
A =,则⎥⎢
1⎦⎣k λ
020
0⎤
⎥ . 1⎦
1⎤⎥n n -1
0,而n ≥2为正整数,则A -2A ⎥1⎥⎦
-1
2
6. 已知A =E ,则A =A .
二.选择题
1. 设n 阶方阵A , B , C 满足关系式ABC =E ,其中E 为n 阶单位矩阵,则必有( D ). (A ) ACB =E (B )CBA =E (C) BAC =E (D )BCA =E
2. 设A 、B 均为n 阶方阵,满足AB =0,则必有 ( C ) (A ) A =0或B =0 (B )BA =0 (C) A =0或B =0 (D )A +B =0 3. 设A 、B 都是n 阶方阵,则下列命题中正确的是 ( D )
(A )若A ≠0且B ≠0,则AB ≠0 . (B )若A 、B 都是对称阵,则AB 是对称阵. (C)若AB 不可逆,则A 、B 都不可逆. (D )若AB 可逆,则A 、B 都可逆.
三.计算与证明题
⎛111⎫⎛1
23⎫1. 设A =
1
1-1⎪
B = ⎪, -1
-24⎪⎪,求3AB -2A 及A T
B . ⎝
1-1
1⎪⎭
⎝
05
1⎪⎭
⎛1
11⎫⎛123⎫⎛1
11⎫⎛-2
13解:3AB -2A =3
1
1-1⎪ ⎪ -1-24⎪⎪-2 11-1⎪ ⎪=
-2-17 ⎝1-1
1⎪⎭ ⎝05
1⎪ ⎭ ⎝1-1
1⎪⎭ ⎝4
29
⎛111⎫⎛1
23⎫⎛0
58⎫
A T
B = 1
1-1⎪ ⎪ -1-24⎪ ⎪=
0-56⎪
⎪⎝
1-1
1⎪⎭ ⎝05
1⎪⎭ ⎝2
9
0⎪⎭
⎛1
31⎫2. ⎛2140⎫ 0-12⎪
⎪-78⎫⎝1
-1
3
4⎪ ⎭ 1-31⎪=⎛
6 ⎝20-5
-6⎪
⎭
⎝4
0-2⎪⎭⎛a a 12a 13⎫⎛x ⎫
3. (x x 111
x 2
3) a 12
a a ⎪ 1
⎪2223⎪
⎝a 13
a ⎪ x
2⎪23
a ⎪33⎭⎝x 3
⎭
⎛x 1⎫=(a 11x 1+a 21x 2+a 31x 3
a 12x 1+a 22x 2+a 32x 3
a +a
⎪13x 1+a 23x 233x 3) x 2
⎪⎝x ⎪3
⎭
=a 2
2
2
11x 1+a 22x 2+a 33x 3+2a 12x 1x 2+2a 13x 1x 3+2a 23x 2x 3
4. 设A , B 为n 阶方阵,且A 为对称阵,证明B T
AB 也是对称阵. 证明:已知:A T
=A
则 (B T AB ) T =B T (B T A ) T =B T A T B =B T
AB 从而 B T
AB 也是对称阵.
22⎫
20⎪⎪ -2⎪⎭
第二章 矩阵及其运算 (二)
一.填空题
⎡1
1. 设A =⎢
⎣2
1⎤⎡1,B =⎥⎢1⎦⎣0
-1⎤⎡A
,C =⎥⎢1⎦⎣O
O ⎤
⎥,则 C =B ⎦
⎛1 a 1 = 0 ⎝
⎫⎪0⎪⎪⎪ ⎪1⎪⎪a n ⎭
⎛a 1
2. 设A =
0⎝
a 2
⎫0⎪⎪ ⎪⎪a n ⎭
1a 2
,(a 1a 2 a n
≠0). 则A
-1
3. 设A 为三阶可逆矩阵,且A
-1
⎡1
⎢=0⎢⎢⎣0
210
3⎤
*⎥
-2,则A =⎥-1⎥⎦⎛-1
0 0⎝
-2-10
-3⎫⎪2⎪1⎪⎭
⎡1
⎢
4. 设A =2
⎢⎢⎣3
024
0⎤
⎥*-1
0,则(A ) = A ;(A -1) *=A . ⎥5⎥⎦
⎡O
5. 设A 为m 阶方阵,且A =a B =b ,B 为n 阶方阵,C =⎢
⎣B A ⎤mn
,则C =(-1) ab . ⎥O ⎦
6.设A 为3阶矩阵,且A =
12
,则(2A )
-1
-5A
*
=-16 .
二.选择题
1. 设A 为n 阶可逆矩阵,A 为A 的伴随矩阵,则必有( A ) (A ) A =A
*
n -1
*
*-1*
(B ) A =A (C ) A =A (D ) A =A
*
n
2. 设A 、B 都是n 阶方阵,则下列等式中正确的是 ( D ) (A )AB =BA (B )(AB ) T =A T B T (C )(AB )
-1
=A B
-1-1
(D )AB =BA
-1
2
3. 已知A 为n 阶方阵,且满足关系式A +3A +4E =0,则(A +E )
=( C )
(A )A
-1
+E (B )E +
12
A (C ) -E -
12
A (D )A +4E
三.计算与证明题
1. 求下列方阵的逆阵
⎛5200⎫ (1)
2
100⎪⎪
001-2⎪⎝0
1
1⎪⎭
解:A ⎛5
2⎫⎛-2⎫⎛1-2⎫
11=
⎝2
1⎪,A -1
1⎭11= ⎝-2
5⎪,A =1⎛1⎭22= ⎝11⎪,A
-1⎭
22
3 ⎝-1⎛1-200⎫
-2500⎪⎪A
-1
= 0012⎪. 33⎪ ⎝
00-11⎪⎪3
3⎪⎭
⎛1
2-1⎫(2)
3
4-2⎪ ⎪
⎝5-4
1⎪⎭
⎛-2
10⎫ ⎪解:A =2, 故A -1存在 .
A
-1
=1
A A *= 13 -2
3-1⎪2⎪. ⎝
-167
-1⎪⎭
2. 解下列矩阵方程 (1) ⎛2
5⎫
⎝1
3X =⎛4-6⎫
⎪⎭ ⎝21⎪
⎭
解:X =⎛2
5⎫
-1
⎛4-6⎫⎛3-5⎫⎛4-6⎫⎛2
-23⎫
⎝13⎪⎭ ⎝21⎪=⎭ ⎝-1
2⎪⎭ ⎝2
1⎪=⎭ ⎝08⎪. ⎭
⎛21-1⎫
(2)X
10⎪-13⎫ 2
⎪
=⎛1 1⎪3
2⎪ ⎝
1-1
⎭
⎝4⎭
2⎫
1⎪, ⎭
⎛1
解:X =
⎝4
⎛0 (3) 1
0⎝
100
-13
⎛23⎫ ⎪22⎭ 1⎝
001
11-1
-1⎫⎪0⎪1⎪⎭
-1
⎛-2
= 8 -⎝3-40-2
25
1⎫⎪2. -⎪⎪3⎭
0⎫⎛1⎪ 0X 0⎪
1⎪⎭⎝00⎫⎛1
⎪ 1=2⎪
0⎪⎭⎝13⎫
⎪-1 ⎪0⎪⎭
⎛0
解:X =1
0⎝
100
0⎫⎪0⎪1⎪⎭
-1
⎛1
2 1⎝
-40-2
3⎫⎛1⎪ -10⎪ 0⎪⎭⎝0
110
001
0⎫
⎪1⎪0⎪⎭
-1
⎛2
=1 1⎝
-130
0⎫⎪-4⎪-2⎪⎭
⎡0
⎢
(4) 设AX +B =X , 其中A =-1
⎢⎢⎣-10⎤⎡1
⎥⎢1, B =2⎥⎢
⎢-1⎥⎦⎣5-1⎤
⎥
0, 求X . ⎥-3⎥⎦
解:由AX +B =X , 得 (E -A ) X =B
⎛0
=-1 0⎝
323
故 X =(E -A ) -1B . 而 (E -A )
-1
-
13
⎫1⎪ 3⎪1⎪3⎭
3
⎛0
所以 X = -1
0⎝
2323
-
13
⎫⎛11⎪ 23⎪ 1⎪ 53⎭⎝
13
-1⎫⎛3⎪ 0=2⎪
-3⎪⎭⎝1-1⎫
⎪
0. ⎪-1⎪⎭
3. 设P AP =Λ
-1
,
⎛-1
其中P =
⎝1
-1
-4⎫⎛-1⎪, Λ= 1⎭⎝0
11
0⎫11
⎪, 求A . 2⎭
解:P AP =Λ故A =P ΛP
-1
所以A =P ΛP
11-1
4⎫⎪ 1⎭
P =3
⎛1*
P =
⎝-1
0⎫⎪2⎭
11
4⎫⎪ 1⎭
P
-1
=
1⎛1
3⎝-1
而 Λ
11
⎛-1= ⎝0⎛-1= ⎝00⎫
11⎪2⎭
故A
11
⎛-1= ⎝14⎫⎛-1⎪ -1⎭⎝0
⎛10⎫ 3
11⎪
2⎭ 1
-⎝34⎫
3⎪⎛2731⎪=
1⎪⎝-683-⎪3⎭
2732⎫
⎪. -684⎭
4. 设A 为n 阶方阵,并且满足A 2-A -2E =0, 证明:A 及A +2E 都可逆,并求A 及(A +2E )
-1
-1
.
12
解:由已知得:A ⋅
12
(A -
E
)=
E ,故A 可逆,且A
-1
=
(A -E )
又(A +2E )(A -3E )=-4E ,
-1
故A +2E 可逆,且(A +2E )
=-
14
(A -3E ).
5. 设A k =0(k 为正整数), 证明 (E -A )
-1
=E +A +A + +A
2k -1
证明: 由 A k =0
有 (E +A +A + +A
2
2k -1
)(E -A )
-A -A - A
2
k -1
=E +A +A + +A
=E
k -1
-A
k
因此 (E -A )
-1
=E +A +A + +A
2k -1
第二章 练习题
1. 设A 为4阶方阵,A =解: A =A A
*
-1
13
, 求3A -4A
*-1
.
*-1
=
13
13
A
A ,
-1
∴3A -4A =3⋅
-1
-4A
-1
=-3A
-1
=(-3)
4
1A
=81⋅
1
13
=243.
⎛-5
2. 已知A = 0
0⎝
0-13
0⎫⎪-1
2⎪,求A . 1⎪⎭
⎛A 11
解: A = O
⎝A 11
-1
O ⎫
⎪ A 22⎪⎭
=-
15
1
*
⎛1
-2⎫ -7
⎪= ⎪-1⎭ 3
⎝7
0-1
A 22
-1
=
A 22
A 22
1⎛1 =
-7 ⎝-3
2⎫
⎪
7⎪ 1⎪⎪7⎭
∴
A
-1
⎛A 11-1= O ⎝
⎛1 - 5
O ⎫
⎪=0-1⎪A 22⎭
0⎝
73
7
⎫0⎪⎪2⎪
. ⎪71⎪⎪7⎭
⎡2⎢
3. 设A =1
⎢⎢⎣-1
*
*
2-12
3⎤
⎥
0,解矩阵方程AXA ⎥1⎥⎦
*
*
=E (其中A 是矩阵A 的伴随矩阵).
*
解: AA =A A =|A |E ∴AXA A =A AX |A |=A X =
2
2
1|A |
E
又 |A |=
1-1
⎡-1
⎢
-10=- 1 ∴ X =0
⎢⎢2⎣00⎤
⎥
-10
⎥⎥0-1⎦
⎡13⎢
4. 设三阶矩阵A ,B 满足关系式A -1BA =6A +BA ,且A =
⎢⎢⎣
⎤
⎥
,求B . ⎥⎥7⎦
解:先化简,再计算,方程两边右乘A
-1
得 A B =6E +
-1
整理得 (A -1-E ) B =6E ,而
⎡3⎢
-E =
⎢⎢⎣
⎤⎡1
⎥⎢-⎥⎢7⎥⎦⎢⎣
⎤
⎥ ⎥1⎥⎦
A
-1
41
⎤⎡2
⎥⎢=⎥⎢1⎥⎣⎦⎢
3
⎤
⎥ ⎥6⎥⎦
所以 B =6(A -1-E ) -1
⎡3
⎢=⎢⎢⎣
2
5. 设A 为n 阶方阵,并且满足A 2+A -E =0, 证明:A 及A -E 都可逆,并求A
-1
及
(A -E )
-1
.
-1
解:由已知得,A (A +E )=E 故A 可逆,且A 又 (A -E )(A +2E )=-E 故A -E 可逆,且(A -E )
∴A +E 可逆,且(A +E ) 4⎛3
4-3
6.设A =
O ⎝
4⎛3
4-3A =
O ⎝
-1
-1
=A +E
=-(A +2E ) 16
(A -3E ) .
=-
O 22O 22
⎫⎪
⎪, 求A 8及A 4. 0⎪⎪2⎭
⎫⎪
3
⎪,令A =⎛
1
0⎪⎝4⎪2⎭
解
4⎫⎪ -3⎭
⎛2
A 2=
⎝20⎫⎪ 2⎭
⎛A 1
则A =
⎝O ⎛A 18
故A =
⎝O
A
8
8
8
O ⎫⎪ A 2⎭O ⎫⎛A 18⎪= A 2⎭⎝O
8
8
O ⎫
8⎪A 2⎭
=10
16
=A 1A 2=A 1A 2
8
O ⎫⎪⎪0⎪⎪4⎪2⎭
⎛A 14
A =
⎝O
4
⎛540 4
O ⎫ 05
=4⎪A 2⎭
O ⎝
22
46
.
⎛O
7.设n 阶矩阵A 及s 阶矩阵B 都可逆, 求
⎝B ⎛O
解 将
⎝B
A ⎫⎪O ⎭
-1
A ⎫⎪O ⎭
-1
.
⎛C 1
分块为
⎝C 3C 2⎫⎪ C 4⎭
其中 C 1为s ⨯n 矩阵, C 2为s ⨯s 矩阵
C 3为n ⨯n 矩阵, C 4为n ⨯s 矩阵
⎛O
则 ⎝B s ⨯s A n ⨯n ⎫
⎪O ⎭⎛C 1 ⎝C 3C 2⎫⎛E n
=E =⎪ C 4⎭⎝O O ⎫
⎪ E s ⎭
⎧A C 3=E n ⇒C 3=A -1
⎪
⎪A C 4=O ⇒C 4=O
由此得到⎨
⎪B C 1=O ⇒C 1=O ⎪B C =E ⇒C =B -1
2s 2⎩
(A 、B 均可逆)
故
⎛O ⎝B A ⎫⎪O ⎭
-1
⎛O = -1
⎝A
B
⎫
⎪. O ⎭
-1
8. 设x 为n 维列向量,x T x =1,令H =E -2xx T ,证明H 是对称阵,且H H
T
=E .
证明:因为 H T =(E -2xx T ) T =E -2(xx T ) T =E -2xx T =H ,所以H 是对称阵. 又 HH
T
=H
2
=(E -2xx ) =(E -2xx )(E -2xx ) =E +4(xx )(xx ) -4xx
T
T 2T T T T T
=E +4x (x x ) x
T
-4xx
T
=E +4xx
T
-4xx
T
=E
证毕.
第三章 矩阵的初等变换与线性方程组(一)
一、
填空题
1. 设A 为n 阶方阵,若有n 阶初等方阵P 1, P 2, P s ,使 P 1P 2 P s (A , E ) =(E , B ) ,
则A
-1
=P 1P 2 P s
020
2⎫⎪
0⎪, 则R (AB ) =3⎪⎭
⎛1
2. 设A 是4⨯3矩阵,且A 的秩R (A ) =2,而B = 0
-1⎝
*
3. 设四阶方阵A 的秩R (A ) =2,则其伴随矩阵A 的秩为R (A *) = 0
二、 选择题
1. 从矩阵A 中划去一行得到矩阵B ,则A 、B 的秩的关系为( A ) (A) R (A ) ≥R (B ) ≥R (A ) -1 (B) R (A ) ≥R (B ) >R (A ) -1 (C) R (A ) >R (B ) >R (A ) -1 (D) R (A ) >R (B ) ≥R (A ) -1 2. 在秩是r 的矩阵中( C ) (A) 没有等于0的r -1阶子式 (B) 没有等于0的r 阶子式
(C) 等于0的r -1阶子式和等于0的r 阶子式都可能有 (D) 所有r -1阶子式等于0
三、 计算与证明题
1. 把矩阵化为行最简形矩阵
⎛1 2
1 1⎝⎛ 1 0解:
0 ⎝0
23100100
311-70010
-
4⎫⎪2⎪
⎪-1⎪-8⎪⎭17⎫⎪3⎪13⎪3⎪ 1⎪
⎪3⎪0⎭
2. 用初等变换求解矩阵方程
⎛1
AX =B , 其中A = -3
2⎝⎛7 -1
解:X =A B = 18
-12⎝
-120
-1⎫⎛1⎪ 1⎪, B = 3
21⎪⎭⎝
2⎫
⎪0⎪ 5⎪⎭
9⎫
⎪20⎪ -13⎪⎭
212
1⎫
⎪-1
5⎪的逆阵A 。 3⎪⎭
⎛3
3. 试利用矩阵的初等变换,求方阵A = 3
3⎝
解:A
-1
⎛7 6= -1 -1 2⎝
23-101-13
-
3⎫⎪2⎪2⎪ 1⎪2⎪⎭
2⎫
⎪
-1⎪的秩。 4⎪⎭
⎛3
4. 求矩阵A = 1
1⎝
02-4
解:秩为2
⎛1
5. 设A = -1
k ⎝
-22k -2
3k ⎫⎪
-3⎪,求k 为何值时可使R (A ) 等于: 3⎪⎭
(1) 1 ;(2) 2 ;(3) 3 。
⎛1
解:A ~ 0
0⎝
-22(k -1) 0
⎫⎪
3(k -1) ⎪ 3(1-k )(2+k ) ⎪⎭
3k
(1) 当k=1时,R(A)=1
(2) 当k=-2时,R(A)=2
(3) 当k ≠1且k ≠-2时,R(A)=3
第三章 矩阵的初等变换与线性方程组(二)
⎧x 1+x 2+2x 3-x 4=0⎪
一、求齐次线性方程组⎨2x 1+x 2+x 3-x 4=0的解。
⎪2x +2x +x +2x =0
1234⎩
⎛4⎫
⎪3 ⎪-3⎪ 解:C 4 ⎪ 3⎪ 1⎪⎝⎭
⎧
⎪⎪
二、求非齐次线性方程组⎨
⎪⎪⎩⎛-2⎫⎛-1⎫ ⎪ ⎪
解:C 1⎪+ 2⎪
1⎪ 0⎪⎝⎭⎝⎭
⎧(2-λ) x 1+2x 2-2x 3=1⎪
三、设有⎨2x 1+(5-λ) x 2-4x 3=2,问λ为何值时,次方程组有唯一解、无解
⎪-2x -4x +(5-λ) x =-λ-1
123⎩
2x +3y +z =4x -2y +4z =-53x +8y -2z =134x -y +9z =-6
的解。
或无穷解?并在有无穷解时求其解。 解:A =(λ-1) (10-λ)
(1)λ≠1且λ≠10时,有唯一解;
(2)λ=10时,无解;
2
⎛-2⎫⎛2⎫⎛1⎫ ⎪ ⎪ ⎪
(3)λ=1时,无穷解:C 1 1⎪+C 2 0⎪+ 0⎪
0⎪ 1⎪ 0⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
第三章 练习题
1. 求作一个秩是4的方阵,使它的两个行向量是
(1,0,1,0,0)和(1,-1,0,0,0) ⎛1 1解: 0
0 ⎝0
0-1000
10100
00010
0⎫⎪0⎪0⎪ ⎪0⎪⎪0⎭
2. 求下列矩阵的秩,并求一个最高阶非零子式:
⎛3 (1) 1
1⎝
1-13
02-4
2⎫⎪-1⎪ 4⎪⎭
解:秩为2,
31
1-1
-135
≠0
⎛3
(2) 2
7⎝
2-10
-31-1
-1⎫⎪-3⎪ -8⎪⎭
32-10
-1-3≠0 -8
解:秩为3,2
7
⎧x 1-2x 2+x 3=λ⎪
3. 非齐次线性方程组⎨x 1+x 2-2x 3=λ2,当λ取何值时有解?并求出它的通解。
⎪-2x +x +x =-2
123⎩
⎛1
B ~解: 0
0⎝
-2-30
130
⎫⎪
2(λ-1) ⎪ (λ+2)(λ-1) ⎪⎭
λ
⎛1⎫⎛2⎫ ⎪ ⎪
(1)当λ=-2时, C 1⎪+ 2⎪
1⎪ 0⎪⎝⎭⎝⎭⎛1⎫⎛1⎫ ⎪ ⎪
(2)当λ=1时, C 1⎪+ 0⎪
1⎪ 0⎪⎝⎭⎝⎭
4. 设A 为m ⨯n 矩阵,证明:
(1)方程AX =E m 有解的充分必要条件是R (A ) =m ; (2)方程YA =E n 有解的充分必要条件是R (A ) =n 。 解:(1)AX =E m 有解⇔R (A ) =R (A , E )
(必要性)显然,R (A ) ≤m ;另一方面,R (A , E ) ≥m ,故R (A ) =m (充分性)m =R (A ) ≤R (A , E ) ≤m (2)方程YA =E n 有解⇔方程A Y
T
T
⇔R (A ) =n =E n 有解⇔R (A T ) =n (由1)
5. 设A 为m ⨯n 矩阵,证明:若AX =AY ,且R (A ) =n ,则X =Y 证明:A (X -Y ) =Θ
因为R (A ) =n ,所以方程A (X -Y ) =Θ只有零解,即X -Y =Θ, 即X =Y 6. 证明R (A ) =1的充分必要条件是存在非零列向量α及非零行向量β,使A =α⋅β.
T
T
证明:(充分)R (A ) ≤R (α) =1, 另一方面A =α⋅β,α和β又都是非零向量,故R (A ) ≥1,因此R (A ) =1 ⎛1(必要)由于R (A ) =1故A ~ Θ
⎝
Θ⎫⎪, 所以⎪Θ⎭
T T
⎛1A =P Θ
⎝
⎛1⎫ ⎪
Θ⎫ 0⎪⎪(1Q =P ⎪ ⎪Θ⎭
⎪ 0⎪⎝⎭
0)Q =αβ
T
7. 已知三阶矩阵B ≠0,且B 的每一个列向量都是以下方程组的解:
⎧x 1+2x 2-2x 3=0⎪
⎨2x 1-x 2+λx 3=0⎪3x +x -x =0
23⎩1
(*)
(1) 求λ的值; (2) 证明B =0。
⎛1
解:(1)设A = 2
3⎝
2-11
-2⎫
⎪
λ⎪,由题设B ≠0, AB =0, 知 方程组(*)有非零解 -1⎪⎭
故A =-5(1-λ) =0 故λ=1
(2)由λ=1,知R (A ) =2, 由AB =0,知R (A ) +R (B ) ≤3, 故R (B ) ≤1 又已知R (B ) ≥1,因此R (B ) =1从而B =0 .