七年级下册数学知识点整合

七年级下册数学知识点整合 第一章 整式的运算

一、单项式、单项式的次数：

只含有数字与字母的积的代数式叫做单项式。单独的一个数或一个字母也是单项式。

一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。

注意：1、单项式中的数与字母或者字母与字母之间都是乘积关系，如

x 2=12

⋅x ，所以

x 2

是单项式，而 不是单项式。

x

2

2、如果一个单项式只含有字母因数，则它的系数就是1或者-1，此

时“1”通常省略不写；π是常数，应作为单项式的系数；单项式的系数包括它前面的符号。

3、单项式的次数是所有字母的指数和，数的指数和π的指数不能与其

他字母的指数相加作为单项式的次数，如23πx 2y 4的次数是6（=2+4），而不是10.

4、非零常数的次数是0，而不是1。如，3是一个非零常数，这个单

项式中没有字母，因此次数为0.

二、多项式

1、多项式、多项式的次数、项

几个单项式的和叫做多项式。其中每个单项式叫做这个多项式的项。多项式中不含字母的项叫做常数项。多项式中次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数。

注意：1、多项式中的项包括它前面的符号。

2、对于一个多项式，知道了它的项数之后，我们可以称这个多项式

为几次几项式，如3x 2y -6xy +3称为三次三项式。

三、整式：单项式和多项式统称为整式。

注意：区分代数式中的整式的关键是看分母中是否含有字母，如

整式，但

解题方法总结：

1、 单项式的次数是把所有字母的指数相加，不包含数与π的指数；多项式的次数是把多项式中每项的次数都算出来，次数最高的单项式的次数就是这个多项式的次数。

2、 整式是单项式和多项式的统称，区分代数中的整式关键是分母中不能含有字母。

y x

x +y 2

22

是

的分母中含有字母，所以它不是整式。

四、整式的加减法：

整式加减法的一般步骤：（1）去括号；（2）合并同类项。

注意：1、去括号时，如果括号前面带“-”号，去括号时里边各项都要变号。 2、如果括号前面有倍数，往括号里乘时，各项都分别相乘。 五、幂的运算性质：

1、同底数幂的乘法：a m ∙a n =a m +n (m , n 都是正整数)

注意：1、三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一性质，如

a

m

⋅a ⋅a

n p

=a

m +n +p

（m 、n 、p 均为正整数）

2、此性质可以逆用

3、底数不同的幂相乘，不能应用此法则

4、底数是和、差或者其他形式的幂相乘，应把这些和或差看作一个整

解题方法归纳：

1、 确定好是否是同底数幂的乘法，如果底数不同，进行适当的转化，使之成为同底数幂。 2、 同底数幂的乘法要与合并同类项区分开，即a ⋅a =a

m

n

m +n

，a

m

+a

m

=2a

m

体，如(x +y ) 2⋅(x +y ) 3

n mn

2、幂的乘方： （a m ）=a (m , n 都是正整数)

注意：1、此公式可以拓展成为：[(a m ) n ]=a m ⋅n ⋅p （m 、n 、p 均为正整数）

p

2、区别幂的乘方与同底数的幂的乘法。这也是选择题、填空题、计算

题考察的重点。

3、此性质可以逆用

3、积的乘方：(ab ) n =a n b n (n 都是正整数)

注意：1、此公式可以拓展成为：(abc ) n =a n ⋅b n ⋅c n （n 为正整数） 2、此性质可以逆用

4、同底数幂的除法：a m ÷a n =a m -n (m , n 都是正整数, a ≠0)

六、零指数幂和负整数指数幂： 1、零指数幂：a 0=1(a ≠0); 2、负整数指数幂：a -p =

1a

p

(a ≠0, p 是正整数)

解题方法归纳：

1、 对于出现同底数幂的除法的式子可直接运用其除法法则计算，若不是同底数，则进行转化，使之成为同底数，有时逆用公式计算更简便。

2、 出现零指数幂和负整数指数幂时，直接套用公式，将其转化为正整数指数幂的形式。

七、整式的乘除法：

1、单项式乘以单项式：

单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余的字母连同它的指数不变，作为积的因式。

2、单项式乘以多项式：

单项式与多项式相乘，就是根据分配律用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。

3、多项式乘以多项式：

多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。

4、单项式除以单项式：

单项式相除，把系数、同底数幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式。

5

、多项式除以单项式：

解题方法归纳：

整式乘法实质上就是运用乘法交换律、结合律、分配律、有理数的乘法法则和同底数幂的乘法法则进行的计算。

多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加。

八、整式乘法公式：

1、平方差公式： (a +b )(a -b ) =a 2-b 2

注意：1、平方差公式中的a 、b 可以是具体的数，也可以是字母、单项式、

多项式，也就是说，a 、b 代表任一个代数式。如

(2a -1)(2a +1)(4a +1)

2

2、此公式可以逆用

2、完全平方公式： (a +b ) 2=a 2+2ab +b 2

(a -b ) 2=a 2-2ab +b 2

注意：1、公式中的a 、b 可以是具体的数，也可以是字母、单项式、多项式，

也就是说，a 、b 代表任一个代数式。

2、公式右边2ab 的符号取决于左边二项式中两项的符号。若左边的两

项同号，则2ab 的符号为“+”，若这两项异号，则2ab 的符号为“-”。 3、此公式可以逆用。

4、可以拓展为：(a +b +c ) 2=a 2+b 2+c 2+2ab +2ac +2bc

解题方法归纳：

完全平方公式可以变形成为以下几种：a 2+b 2=(a +b ) 2-2ab ； a 2+b 2=(a -b ) 2+2ab ；(a +b ) =(a -b ) +4ab ； (a -b ) =(a +b ) -4ab

2

2

2

2

九、整体代入求值法：如果从已知条件中不能够求出字母的值，但所求的代数式，如果对某些项添上括号或者拆项之后正好是已知条件，则可以利用整体思想代入求值。

例：已知x -y =3，xy =1，求(-2xy +2x +3y ) -(3xy +2y -2x ) -(x +4y +xy ) 的值。

第二章 平行线与相交线

一、余角和补角：

1、余角：

定义：如果两个角的和是直角，那么称这两个角互为余角。

性质：同角或等角的余角相等。 2、补角：

定义：如果两个角的和是平角，那么称这两个角互为补角。 性质：同角或等角的补角相等。

注意：1、互为余角、互为补角是针对两个角而言的，都是成对出现。 2、互为余角、互为补角是两个角的数量关系，与位置无关。 3、定义反过来也成立，可以逆用。 二、对顶角：

我们把两条直线相交所构成的四个角中，有公共顶点且角的两边互为反向延长线的两个角叫做对顶角。

对顶角的性质：对顶角相等。 注意：1、成对出现

2、对顶角反应两个角的位置关系 三、同位角、内错角、同旁内角：

直线AB ，CD 与EF 相交（或者说两条直线AB ，CD 被第三条直线EF 所截），构成八个角。

其中∠1与∠5这两个角分别在AB ，CD 的上方，并且在EF 的同侧，像这样位置相同的一对角叫做同位角；

∠3与∠5这两个角都在AB ，CD 之间，并且在EF 的异侧，像这样位置的两个角叫做内错角；

∠3与∠6在直线AB ，CD 之间，并侧在EF 的同侧，像这样位置的两个角叫做同旁内角。

注意：1、同位角、内错角、同旁内角都是成对出现，完全由相对位置决定。 2、上图中有4对同位角，2对内错角，2对同旁内角。 四、平行线的判定：

1、两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么两直线平行。简称：同位角相等，两直线平行。

2、两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么两直线平行。简称：内错角相等，两直线平行。

3、两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么两直线平行。简称：同旁内角互补，两直线平行。

补充平行线的判定方法：

（1）平行于同一条直线的两直线平行。

（2）在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行。

解题方法总结：

1、 由角的相等或互补的关系识别两直线平行。 2、 把复杂图形分解成简单图形在识别各种角。

（3）平行线的定义。

五、平行线的性质：

（1）两直线平行，同位角相等。 （2）两直线平行，内错角相等。

解题方法总结：

1、 若给了平行线，则利用平行线的性质得到角的关系。

2、 若给了角的相互关系，则利用平行线的判定得两直线平行的位置关系。

（3）两直线平行，同旁内角互补。

六、尺规作图：（考试中涉及较少，也常常融合到综合题中进行考察，需要用到这个作图的方法而已）

1、作一条线段等于已知线段。 2、作一个角等于已知角。

第三章 生活中的数据

一、科学记数法：

一般地，一个绝对值较小的数可以表示成a ⨯10n 的形式，其中1≤a

注意： n就是小数点移动的次数。 二、近似数和有效数字：

1、近似数：

利用四舍五入法取一个数的近似数时，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位。

2、有效数字：对于一个近似数，从左边第一个不是0的数字起，到精确到的数位止，所有的数字都叫做这个近似数的有效数字。

注意：1、有效数字与10n 无关，只与a 10n 中的a 有关。

解题方法归纳：10的指数和小数的关系是10的指数中n 的值恰好等于小数中从左数第一个不为0的数前面的0 的个数（包括小数点前面的0），按照这一关系就很容易把一个绝对值小于1的数用科学记数法表示出来。

2、精确到哪一位时，要注意n 的值。

第四章 概率

一、事件发生的可能性;

人们通常用1（或100）来表示必然事件发生的可能性，用0来表示不可能事件发生的可能性。

注意：必然事件的可能性是1，不可能事件的可能性是0，确定事件的可能性在0-1之间。 二、游戏是否公平：

游戏对双方公平是指双方获胜的可能性相同。

注意：游戏是否公平，并不是指获胜的可能性必是，而是只要获胜的可能

21

性一样即可。 三、摸到红球的概率：

1、概率的意义：表示一个事件发生的可能性大小的数。

P （摸到红球=

摸到红球可能出现的结摸出一球可能出现的结

果数果数

）

2、确定事件和不确定事件的概率：

（1）必然事件发生的概率为1记作P （必然事件）=1

（2）不可能事件发生的概率为0，P （不可能事件）=0 （3）如果A 为不确定事件 ，那么0

一般地，如果在一次试验中，有n 种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A 包含其中的m 个结果，那么事件A 发生的概率为P （A ）=

解题方法总结：

1、 对于摸球问题，数量多的，可能性就大，运用公式进行解题。

2、 运用概率的计算来判断游戏的公平性，若概率相等，则公平，否则不公平。 3、 几何图形的概率求法，运用面积所占百分比求概率。

m n

第五章 三角形

一、三角形及其有关概念 1、三角形：

由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。组成三角形的线段叫做三角形的边；相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点；相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角。

2、三角形的表示：

三角形用符号“∆”表示，顶点是A 、B 、C 的三角形记作“∆ABC ”，读作“三角形ABC ”。

注意：1、三条线段必须“不在同一条直线上”才能组成三角形。 2、三条线段“首尾顺次连接”指三角形是个封闭图形。 3、三角形的三边关系：

（1）三角形的两边之和大于第三边。（可以根据“两点之间线段最短”得出）

（2）三角形的两边之差小于第三边。

（3）作用：①判断三条已知线段能否组成三角形

②当已知两边时，可确定第三边的范围。

③证明线段不等关系。

4、三角形的内角的关系：

（1）三角形三个内角和等于180°。

（2）直角三角形的两个锐角互余。

注意：1、三角形的三个内角中至少有两个是锐角，三角形的最大的角不小

于60°。

2、利用三角形内角和，已知任意两角或者它们的和，可计算另一个

角的度数。

5、三角形的稳定性：

三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫做三角形的稳定性。

6、三角形的分类：

(1)三角形按边分类：

不等边三角形

三角形 底和腰不相等的等腰三角形

等腰三角形

等边三角形

(2)三角形按角分类：

直角三角形（有一个角为直角的三角形）

三角形 锐角三角形（三个角都是锐角的三角形）

斜三角形

钝角三角形（有一个角为钝角的三角形）

把边和角联系在一起，我们又有一种特殊的三角形：等腰直角三角形。它是

两条直角边相等的直角三角形。

注意：判断一个三角形的形状，首先看三角形中的最大的角。

如果最大的角是锐角，那么它是锐角三角形；

如果最大的角是直角，那么它是直角三角形；

如果最大的角是钝角，那么它是钝角三角形。

7、三角形的三种重要线段：

（1）三角形的角平分线：

定义：在三角形中，一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交

点之间的线段叫做三角形的角平分线。

性质：三角形的三条角平分线交于一点。交点在三角形的内部。

注意：三角形的角平分线是线段，角的平分线是射线，两者要区分开。

（2）三角形的中线：

定义：在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线。 性质：三角形的三条中线交于一点，交点在三角形的内部。

（3）三角形的高线：

定义：从三角形一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线

段叫做三角形的高线（简称三角形的高）。

性质：三角形的三条高所在的直线交于一点。锐角三角形的三条高线的交点

解题方法总结：

1、 已知三角形两边a 、b ，则第三边的取值为a -b ＜x ＜a +b (a ≥b ) ，根据三边关系解题。

在它的内部；直角三角形的三条高线的交点是直角三角形的直角顶点；钝角三角形的三条高所在的直线的交点在它的外部；

8、三角形的面积：

三角形的面积=

二、全等图形：

定义：能够完全重合的两个图形叫做全等图形。

性质：全等图形的形状和大小都相同。

注意：全等图形与图形的位置无关，惟一的标准是可以完全重合。

三、全等三角形

1、全等三角形及有关概念：

能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。两个三角形全等时，互相重合

的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角。

注意：全等三角形的对应边相等，对应角相等，对应边上的中线、高线、对

应角的角平分线也相等，全等三角形的周长相等，面积相等。很多情

况下，全等三角形的性质可以用来证明线段或角相等。

2、全等三角形的表示：

全等用符号“≌”表示，读作“全等于”。如△ABC ≌△DEF ，读作“三角

形ABC 全等于三角形DEF ”。

注：记两个全等三角形时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。

3、全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等。

4、利用全等三角形测距离：

12×底×高

当两点间的距离无法直接测量时，就可以想办法构造两个全等的三角形，利

用全等三角形的性质吧难以测量或者无法直接测量的线段转化为易测的线段。

5、三角形全等的判定：

（1）边边边：有三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或

“SSS ”）。

（2）角边角：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角

边角”或“ASA ”）

（3）角角边：两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（可简写

成“角角边”或“AAS ”）

（4）边角边：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成“边

角边”或“SAS ”）

（5）HL ：对于特殊的直角三角形，判定它们全等时，还有HL 定理（斜边、解题方法归纳：

1、 当所给相等的边不是要判定得全等的两个三角形的边时，往往利用等式的性质，在相等线段两边

加上（或减去）同一线段，转化为该两个三角形的边。

2、 要说明两条线段相等或者两个角相等，常可借助判定两个三角形全等来实现，这要求我们要善于

寻找这样一对三角形：它们既包含了要说明相等的线段或角，又便于利用已知条件来说明它们全等。

3、 当所给的相等的角不是要判定全等的两个三角形的内角时，往往利用等式性质，在相等角两边叫

上（或减去）同一角，转化为所需的两个三角形的内角。

直角边定理）：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“斜边、直角边”或“HL ”）

第六章 变量之间的关系

1、变量、自变量、因变量：

2、函数的三种表示法：

（1

间的关系的方法。

特点：简单明了，能准确反映整个变化过程中自变量及因变量

的相互关系。

注意：①弄清等量关系，②注意自变量的取值，使得代数式有意义。

（2

间的关系的方法。

特点：一目了然，表格中已有自变量的值，不计算就能查出与它对应的因变量的值。

注意：①确定各变量，②一一对应

（3

变量，纵轴上的量代表因变量。

特点：形象、直观地反应变量的关系，为研究带来很大的方便。

注意：①弄清横轴与纵轴分别表示的量，②读出特殊点的变量值，③预测变化趋势，④读清楚图像表示几个变化过程。

第七章 生活中的轴对称

一、轴对称

1、轴对称图形：

如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。

注意：轴对称图形的对称轴是经过图形的某条直线，可能只有一条，也可能有多条。如，圆就有无数条对称轴。

2、轴对称：

对于两个图形，如果沿一条直线对折后，它们能够完全重合，那么称这两个图形成轴对称，这条直线就是对称轴。

3、性质：

（1）对应点所连的线段被对称轴垂直平分。

（2）对应线段相等，对应角相等。

二、角平分线的性质：

角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。

注意：此性质也可以逆用，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。

三、线段的垂直平分线（简称中垂线）：

定义：垂直于一条线段并且平分这条线段的直线是这条线段的垂直平分线。 性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。

注意：1、线段有一条垂直平分线，有两条对称轴，一条是垂直平分线，另一条是它本身所在的直线。

2、此性质可以逆用，到线段的两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。

四、等腰三角形

1、等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。

2、等腰三角形的性质：

（1）等腰三角形的两个底角相等

（2）等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高重合（也称“三线合一”），

（3）等腰三角形是轴对称图形，等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、

底边上的高它们所在的直线都是等腰三角形的对称轴。

3、等腰三角形的判定：

（1）有两条边相等的三角形是等腰三角形。

（2）如果一个三角形有两个角相等，那么它们所对的边也相等

五、等边三角形：

1、等边三角形：三边都相等的三角形叫做等边三角形。

2、等边三角形的性质：

（1）具有等腰三角形的所有性质。

（2）等边三角形的各个角都相等，并且每个角都等于60°。

3、等边三角形的判定

（1）三边都相等的三角形是等边三角形。

（2）三个角都相等的三角形是等边三角形

（3）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。

注意：等边三角形是特殊的等腰三角形，具有等腰三角形的所有性质。

解题方法归纳：

1、 在涉及等腰三角形的有关计算问题时，如果没有明确底和腰或顶角与底角，首先进行

分类讨论，然后运用三角形的性质分别验证即可。

2、 当题面出现“垂直平分线”时，常常连接垂直平分线上的点与线段的端点。

3、 当题面出现“角平分线”时，常常向角的两边作垂线，得到线段相等的条件。