判断向量组线性相关性的常用方法
判断向量组线性相关性的常用方法
梁
(甘肃农业大学
玥
兰州
730070)
理学院,甘肃
摘要:从向量组中各向量的分量是否具体给出的角度出发,归纳了判断向量组线性相关性的几种常用方法.关键词:向量组;分量;线性相关;线性无关;判定方法中图分类号:O151.24
文献标识码:A
文章编号:1673-260X(2013)01-0007-02
向量组的线性相关性在数学领域中有着非常重要的作用,它与行列式、矩阵、线性方程组的解、二次型、线性变换以及欧氏空间都有着重要的联系.然而向量的线性相关与线性无关的判别是比较抽象和难理解的.实际上,向量组的线性相关与线性无关是相对的,我们只要掌握了线性相关的判别,那么线性无关的判别也就迎刃而解了.下面根据向量组中各向量的分量是否具体给出介绍向量组线性相关性的判别方法.1
分量给出的向量组线性相关的判断
对于α1=(α11,α21,…,αn1)T,α2=(α12,α22,…,αn2)T
,αm=α1m,α2m,…,αnm)T
的线性相关判断.
1.1利用齐次线性方程组的解判断
若α1,α2,…,αm为系数向量的齐次线性方程组x1α1+
x2α2+…+xmαm=O有非零解,则向量组α1,
α2,…,αm线性相关;若该齐次线性方程组只有零解,则向量组α1,α2,…,αm线性无关.1.2
利用矩阵的秩判断
以α1,
α2,…,αm作为列向量构成矩阵A=(α1,α2,…,αm),对矩阵施行初等行变换化为行阶梯形矩阵,由此求出矩阵A的秩R(A):
(1)当R(A)<m时,向量组α1,α2,…,αm线性相关;(2)当R(A)=m时,向量组α1,α2,…,αm线性无关.1.3
利用行列式的值判断
若向量组α1,
α2,…,αm的个数等于向量的维数,则以α1,α2,…,αm作为列向量构成的矩阵A=(α1,α2,…,αm)是一个方阵,而方阵可以取行列式:
(1)当|A|=0时,向量组α1,α2,…,αm线性相关;(2)当|A|≠时,向量组α1,α2,…,αm线性无关.
例1判断向量组α1=(2,1,0,5)T
,α2=(7,-5,4,-1)T
,α3=(3,
-7,4,-11)T线性相关.
解
以α1,α2,α3为系数向量的齐次线性方程组是
!
##2x1+7x2-3x3=0
###
5x1-x2-11x3=0
利用矩阵的初等行变换将方程组的系数矩阵A化为行
阶梯形矩阵
%&2
7-3(
%&1-5-7(
A=&
1-5-7)
11
)
&&044))&0+,
r&00))’
5-1
-11)*
&0’
00
0)*
由行阶梯形矩阵知,R(A)=2<3,即该齐次线性方程组有非零解,所以向量组α1,α2,α3线性相关.
例2设α1=(1,1,1)T,α2=(1,2,3)T,α3=(1,3,t)T,问t取何值时,向量组α1,
α2,α3线性相关.解法1
以α1,α2,α3为列向量构成的矩阵为A=(α1,α2,α3)
%111(%111
(%1
11
(
=&&123
)→&
12)→&12
)’
13
t)&
0*’
02
t-1)&0*’0
0
t-5)*
可见,当t=5时,R(A)=2<3,所以向量组α1,α2,α3线性相
关.
解法2
向量组α1,α2,α3的个数和维数相等,都为3,
由1.3节的方法有
111|A|=1
23=t-5
1
3
t
可见当t=5时,|A|=0,所以向量组α1,α2,α3线性相关.用1.1,1.2和1.3进行判断的出发点不同,但实质是一样的.1.1和1.2都是要利用矩阵的初等行变换将相应的系数矩阵化简为行阶梯形矩阵,从而求出向量组的秩即系数矩阵的秩,然后再作出判定.而1.3是根据克莱姆法则判别以向量组各向量作为系数向量的齐次线性方程组有无非零
解,然后对向量组的线性相关性做出判定,所以可用1.3进行判定时也可用1.1和1.2进行判定.2分量未给出的向量组线性相关的判断
2.1
定义法
这是判断向量组线性相关性的基本方法.
其定义是:给定向量组A:α1,
α2,…,αm,如果存在不全为零的数k1,k2,…,km,使得k1α1+k2α2+…+kmαm=O,则称向量组
-7-
(
称向量组A是线性无关的.
即由k1α1+k2α2+…+kmαm=O,若推导出k1,k2,…,km全为零,则向量组α1,α2,…,αm线性无关;若推导出k1,k2,…,km不全为零,则向量组A:α1,α2,…,αm线性相关.
例3设β1=α1+α2,β2=α2+α3,β3=α3+α4,β4=α4+α1,证明β1,β2,β3,β4线性相关.
证明
设有数k1,k2,k3,k4,使k1β1+k2β2+k3β3+k4β4=O即
k1(α1+α2)+k2(α2+α3)+k3(α3+α4)+k4(α4+α1)=O亦即(k1+k4)α1+(k1+k2)α2+(k2+k3)α3+(k3+k4)α4=O
(1)若向量组α1,
α2,α3,α4线性相关,则由上式可知,k1+k4,k1+k2,k2+k3,k3+k4不全为零,故k1,k2,k3,k4不全为零(否则,k1+k4,k1+k2,k2+k3,k3+k4全为零),所以向量组β1,β2,β3,β4线性相关.
(2)若向量组α1,α2,α3,α4线性无关,则有