平方差公式与完全平方公式知识点总结
乘法公式的复习
一、平方差公式
(a+b)(a-b)=a2-b 2
归纳小结公式的变式,准确灵活运用公式:
① 位置变化,(x +y )(-y +x )=x 2-y 2
② 符号变化,(-x +y )(-x -y )=(-x )2-y 2= x2-y 2
③ 指数变化,(x 2+y 2)(x 2-y 2)=x 4-y 4
④ 系数变化,(2a +b )(2a -b )=4a 2-b 2
⑤ 换式变化,[xy +(z +m )][xy -(z +m )]
=(xy )2-(z +m )2
=x 2y 2-(z +m )(z +m )
=x 2y 2-(z 2+zm +zm +m 2)
=x 2y 2-z 2-2zm -m 2
⑥ 增项变化,(x -y +z )(x -y -z )
=(x -y )2-z 2
=(x -y )(x -y )-z 2
=x 2-xy -xy +y 2-z 2
=x 2-2xy +y 2-z 2
⑦ 连用公式变化,(x +y )(x -y )(x 2+y 2)
=(x 2-y 2)(x 2+y 2)
=x 4-y 4
⑧ 逆用公式变化,(x -y +z )2-(x +y -z )2
=[(x -y +z )+(x +y -z )][(x -y +z )-(x +y -z )] =2x (-2y +2z )
=-4xy +4xz
完全平方公式
活用: 把公式本身适当变形后再用于解题。这里以完全平方公式为例,经过变形或重新组合,可得如下几个比较有用的派生公式:
1. (a +b )-2ab =a 2+b 2
2. (a -b )+2ab =a 2+b 2
3. (a +b )+(a -b )=2a +b 22222(2)
4. (a +b )-(a -b )=4ab 22
灵活运用这些公式,往往可以处理一些特殊的计算问题,培养综合运用知识的能力。
例1.已知a +b =2,ab =1,求a 2+b 2的值。
例2.已知a +b =8,ab =2,求(a -b ) 2的值。
解:∵(a +b ) 2=a 2+2ab +b 2 (a -b ) 2=a 2-2ab +b 2
∴(a +b ) 2-(a -b ) 2=4ab ∴(a +b ) 2-4ab =(a -b ) 2
∵a +b =8,ab =2 ∴(a -b ) 2=82-4⨯2=56
例3 已知a -b =4,ab =5,求a 2+b 2的值。
解:a 2+b 2=(a -b )2+2ab =42+2⨯5=26
三、学习乘法公式应注意的问题
(一)、注意掌握公式的特征,认清公式中的“两数”. 例1 计算(-2x 2-5)(2x 2-5)
分析:本题两个因式中“-5”相同,“2x 2”符号相反,因而“-5”是公式(a +b )(a -b )=a 2-b 2中的a ,而“2x 2”则是公式中的b .
例2 计算(-a 2+4b ) 2
分析:运用公式(a +b ) 2=a 2+2ab +b 2时,“-a 2”就是公式中的a ,“4b ”就是公式中的b ;若将题目变形为(4b -a 2) 2时,则“4b ”是公式中的a ,而“a 2”就是公式中的b .(解略)
(二)、注意为使用公式创造条件
例3 计算(2x +y -z +5)(2x -y +z +5).
分析:粗看不能运用公式计算,但注意观察,两个因式中的“2x ”、“5”两项同号,“y ”、“z ”两项异号,因而,可运用添括号的技巧使原式变形为符合平方差公式的形式.
例5 计算(2+1)(22+1)(24+1)(28+1).
分析:此题乍看无公式可用,“硬乘”太繁,但若添上一项(2-1),则可运用公式,使问题化繁为简.
(三)、注意公式的推广
计算多项式的平方,由(a +b ) 2=a 2+2ab +b 2,可推广得到:
(a +b +c ) 2=a 2+b 2+c 2+2ab +2ac +2bc .
可叙述为:多项式的平方,等于各项的平方和,加上每两项乘积的2倍.
例6 计算(2x +y -3) 2
解:原式=(2x ) 2+y 2+(-3)2+2·2x ·y +2·2x (-3)+2·y (-3)
=4x 2+y 2+9+4xy -12x -6y .
(四)、注意公式的变换,灵活运用变形公式
例7 已知:x +2y =7,xy =6,求(x -2y ) 2的值.
例10 计算(2a +3b ) 2-2(2a +3b )(5b -4a )+(4a -5b ) 2
分析:此题可以利用乘法公式和多项式的乘法展开后计算,但逆用完全平方公式,则运算更为简便.
四、怎样熟练运用公式:
熟悉常见的几种变化
有些题目往往与公式的标准形式不相一致或不能直接用公式计算,此时要根据公式特征,合理调整变化,使其满足公式特点.
常见的几种变化是:
1、位置变化 如(3x +5y )(5y -3x )交换3x 和5y 的位置后即可用平方差公式计算了.
2、符号变化 如(-2m -7n )(2m -7n )变为-(2m +7n )(2m
-7n )后就可用平方差公式求解了(思考:不变或不这样变,可以吗?)
3、数字变化 如98×102,992,912等分别变为(100-2)(100+2),(100-1)2,(90+1)2后就能够用乘法公式加以解答了.
4、系数变化 如(4m +n )(2m -n )变为2(2m +n )(2m -n )2444后即可用平方差公式进行计算了.
(四)、注意公式的灵活运用
有些题目往往可用不同的公式来解,此时要选择最恰当的公式以使计算更简便.如计算(a 2+1)2·(a 2-1)2,若分别展开后再相乘,则比较繁琐,若逆用积的乘方法则后再进一步计算,则非常简便.即原式=[(a 2+1)(a 2-1)]2=(a 4-1)2=a 8-2a 4+1.
对数学公式只会顺向(从左到右)运用是远远不够的,还要注意逆向(从右到左)运用.如计算(1-1
22)(1-132)(1-142)…(11-1)(1-10),若分别算出各因式的值后再行相乘,不仅计算繁难,922
而且容易出错.若注意到各因式均为平方差的形式而逆用平方差公式,则可巧解本题.
1即原式=(1-1)(1+1)(1-1)(1+1)×…×(1-1)(1+10)223310
=1×3×2×4×…×9×11 =1×11=11. [1**********]10
有时有些问题不能直接用乘法公式解决,而要用到乘法公式的变式,乘法公式的变式主要有:a 2+b 2=(a +b )2-2ab ,a 2+b 2=(a -b )2+2ab 等.
用这些变式解有关问题常能收到事半功倍之效.
如已知m +n =7,mn =-18,求m 2+n 2,m 2-mn + n 2的值. 面对这样的问题就可用上述变式来解,
即m 2+n 2=(m +n )2-2mn =72-2×(-18)=49+36=85, m 2-mn + n 2= (m +n )2-3mn =72-3×(-18)=103.
下列各题,难不倒你吧?!
12+1,2的值. 1、若a +1=5,求(1)a (2)(a -)a a a 2
2、求(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1)(264+1)+1的末位数字.
(答案:1. (1)23;(2)21.2. 6 )
五、乘法公式应用的五个层次
乘法公式:(a+b)(a-b)=a2-b 2,(a±b)=a2±2ab +b 2,
(a±b)(a2±ab +b 2)=a3±b 3.
第一层次──正用
即根据所求式的特征,模仿公式进行直接、简单的套用. 例1计算
(-2x -y)(2x-y) .
.
第二层次──逆用,即将这些公式反过来进行逆向使用.
例2计算
第三层次──活用 :根据待求式的结构特征,探寻规律,连续反复使用乘法公式;有时根据需要创造条件,灵活应用公式.
例3化简:(2+1)(22+1)(24+1)(28+1) +1.
分析直接计算繁琐易错,注意到这四个因式很有规律,如果再增添一个因式“2-1”便可连续应用平方差公式,从而问题迎刃而解.
解原式=(2-1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1) +1
=(22-1)(22+1)(24+1)(28+1) +1=216.
第四层次──变用 :解某些问题时,若能熟练地掌握乘法公式的一些恒等变形式,如a 2+b 2=(a+b) 2-2ab ,a 3+b 3=(a+b) 3-3ab(a+b) 等,则求解十分简单、明快.
例5已知a +b=9,ab=14,求2a 2+2b 2的值.
解: ∵a +b=9,ab=14,∴2a 2+2b 2=2[(a+b) 2-2ab]=2(92-2·14)=106,
第五层次──综合后用 :将(a+b) 2=a2+2ab +b 2和(a-b) 2=a2-2ab +b 2综合,
可得 (a+b) 2+(a-b) 2=2(a2+b 2) ;(a+b) 2-(a-b) 2=4ab;
等,合理地利用这些公式处理某些问题显得
新颖、简捷.
例6计算:(2x+y -z +5)(2x-y +z +5) .
解:原式
=[(2x+y-z+5)+(2x-y+z+5)]2-[(2x+y-z+5)-(2x-y+z+5)]2
=(2x+5) 2-(y-z) 2=4x2+20x +25-y 2+2yz -z 2
乘法公式的使用技巧:
①提出负号:对于含负号较多的因式,通常先提出负号,以避免负号多带来的麻烦。
例1、 运用乘法公式计算:
(1)(-1+3x)(-1-3x); (2)(-2m-1)2
②改变顺序:运用交换律、结合律,调整因式或因式中各项的排列顺序,可以使公式的特征更加明显.
例2、 运用乘法公式计算:
111a (1)(a-)(-); (2)(x-1/2)(x2+1/4)(x+1/2) 3443
③逆用公式
将幂的公式或者乘法公式加以逆用,比如逆用平方差公式,得a 2-b 2 = (a+b)(a-b),逆用积的乘方公式,得a n b n =(ab)n , 等等,在解题1414
时常会收到事半功倍的效果。
例3、 计算:
(1)(x/2+5)2-(x/2-5)2 ; (2)(a-1/2)2(a2+1/4) 2(a+1/2)2 ④合理分组:对于只有符号不同的两个三项式相乘,一般先将完全相同的项调到各因式的前面,视为一组;符号相反的项放在后面,视为另一组;再依次用平方差公式与完全平方公式进行计算。
计算:(1)(x+y+1)(1-x-y); (2)(2x+y-z+5)(2x-y+z+5).
先提公因式,再用公式
y ⎫⎛y ⎫ 例2. 计算:⎛8x +4x - ⎪ ⎪ ⎝2⎭⎝4⎭
简析:通过观察、比较,不难发现,两个多项式中的x 的系数成倍数,y 的系数也成倍数,而且存在相同的倍数关系,若将第一个多
y ⎫项式中各项提公因数2出来,变为2⎛ 4x +⎪,则可利用乘法公式。 ⎝4⎭
三. 先分项,再用公式
例3. 计算:(2x +3y +2)(2x -3y +6)
简析:两个多项中似乎没多大联系,但先从相同未知数的系数着手观察,不难发现,x 的系数相同,y 的系数互为相反数,符合乘法公式。进而分析如何将常数进行变化。若将2分解成4与-2的和,将6分解成4与2的和,再分组,则可应用公式展开。
四. 先整体展开,再用公式
例4. 计算:(a +2b )(a -2b +1)
简析:乍看两个多项式无联系,但把第二个整式分成两部分,即[(a -2b ) +1],再将第一个整式与之相乘,利用平方差公式即可展开。
六. 先用公式,再展开
例6. 计算:⎛ 1-⎝1⎫⎛1⎫⎛1⎫⎛1⎫ 1-1-…1-⎪ ⎪ ⎪ 2222⎪⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭23410
⎡2⎛1⎫2⎤1⎫⎛ 简析:第一个整式 1-2⎪可表示为⎢1- ⎪⎥,由简单的变化,⎝2⎭⎝2⎭⎥⎢⎣⎦
可看出整式符合平方差公式,其它因式类似变化,进一步变换成分数的积,化简即可。