结构动力学

第十章 结构动态特性的灵敏度分析及动力修改

由于力学上的假设、简化处理等，所建立的有限元模型往往与实际结构有着一定的差距：如质量阵中不能确切反映惯性力的分布、各构件（单元）间的联接、边界的约束条件、阻尼情况等，都与实际情况并不完全相符；另外，计算机容量和运算速度，也限制了单元的过细划分和自由度数的设置。这就使结构的动态特性计算精度不够，从而必须对有限元模型进行修正。另一方面，即使有限元模型置信度很高，但随着机械设备向高速化、轻量化、大型化、复杂化方向的发展，人们不可能一次设计出高质量的产品，而必须对结构作优化设计，即要多次修改设计（有限元模型），进行重分析和计算，直到产品的动特性达到满意的要求。这就是动力修改的问题。

通常，结构动力修改具有两方面的工程含义：一是计算模型的修改，二是结构的动力修改。前者是用从模态试验中获得的结构模态参数测试数据（作为基准）对有限元模型进行修正，以获得置信度较高、能准确反映结构动态特性的数学模型。后者则包含正、反两方面的问题，正问题是指：若对结构作了小改动，在原结构模态参数已知的条件下，如何快速有效地获得改动后的结构模态参数；反问题是指：若原结构动态特性不合要求，如何修改结构物理参数及确定修改量，使其动特性满足给定的要求。

为了有效地进行结构的动态设计与修改，人们必须了解哪些物理参数对结构的动特性影响较大（也就是说研究结构的动特性对这些结构参数的敏感程度）。比如在结构上何处加质量、何处加弹簧，在哪两点之间加杆，如何改变单元刚度（几何尺寸、形状等）等，使结构某些指定的模态参数变化最大。这就是所谓的结构动态特性的灵敏度分析。灵敏度分析理论为人们有目的的修改结构指明了方向，从而优化设计、减少费用、缩短设计周期、提高效率。

灵敏度的定义通常有两种：①应变量的变化／自变量的变化；②应变量的相对变化／自变量的相对变化。另有两种有的作者称之为半灵敏度的定义：①应变量的变化／自变量的相对变化；②应变量的相对变化／自变量的变化。

对于结构质量和刚度的修正，敏感位置取决于单元（节点）的模态动能增量和模态势能增量。以后我们会看到，敏感位置与单元（节点）的模态动能和模态势能有关。

可见，对某阶模态而言，哪个节点的模态动能大，哪个节点即是质量修改的敏感节点。 可见，对每个节点s，哪个方向的模态线位移最大，哪个方向就是该点所加弹簧的方向；对某阶模态i，哪个节点的模态线位移大，则哪个节点即是点加刚度修改的敏感节点。

可见，敏感位置取决于桁杆单元的模态动能和模态势能。

从式(10-40)可知，对同一阶模态的相同梁单元：

⑴ 哪个单元的模态势能较大，而相应的模态动能较小，则哪个单元是刚度修改的敏感单元。这种单元通常具有较小的线位移而变形较大（或具有较大的应变），如悬臂梁固定端处。

⑵ 哪个单元的模态动能较大，而相应的模态势能较小，则哪个单元是质量修改的敏感单元。这种单元通常具有较大的线位移而变形较小（或具有较小的应变），如悬臂梁自由端处。

⑶ 处于振型腹部的单元，其线位移和相对变形都较大，即相应的模态动能和模态势能都较大，究竟属于哪类单元要视具体情况而定。对梁的弯曲振动，这种单元往往是刚度敏感单元。

⑷ 位于振型节点处的单元，其线位移和相对变形都较小，即相应的模态动能和模态势能都较小，因而节点处的单元是不敏感单元。

对于板壳单元或其它具有转角自由度的单元，均可按梁单元的推导方法进行公式推导，同时不难得到类似于上述的结论，在此不一一给出。

可见，点加质量、点加弹簧、两点间加杆和桁杆单元的修改只与结构的模态线位移有关，与转角自由度无关，因此，用实测模态来进行结构动力修改时，用加速度传感器作实验即可完成；但对象梁、板、壳这样的单元进行结构动态特性的灵敏度分析及动力修改分析时，求i的公式中除了与节点的线位移模态有关外，还与转角模态有关（参见式(10-40)），因而仅用加速度传感器来作为模态分析的信号接收器是不够的，此时，可以采用应变片传感器以获得精度较高的转角模态，从而能对梁单元等进行结构动力修改。这样，在对有转角模态的结构单元进行灵敏度分析和动力修改分析时，应同时采用加速度传感器和应变片传感器。

有限元分析算例和实验模态分析结果表明：

⑴ 当结构修改量不大时，一阶摄动公式能对结构固有频率改变作出较好的估计； ⑵ 即使有限元模型与真实模型之间有一些差距，用有限元方法进行的结构动态特性灵敏度分析及动力修改分析仍然有较好的预测；

⑶ 若首先利用实验模态分析结果来对原始有限元模型进行修正，然后再用修正后的有限元模型进行结构动态特性灵敏度分析及动力修改分析，将会得到较为理想的结果；

⑷ 若要修改刚度阵，应对模态势能（模态应变能）大的单元（节点）进行修改；若要修改质量阵，应对模态动能大的单元（节点）进行修改；即应变模态对刚度的变化比较敏感，而位移模态则对质量的变化比较敏感；

⑸ 不管是修改刚度或修改质量，都有i∝i；

⑹ 对梁单元的修改，应主要考虑刚度的修改，即对模态势能大的单元进行修改，而不是修改模态动能大的单元，这样，在相同的修改量的条件下，前者可获得更大的频率改变；

⑺ 用有限元方法进行结构动态特性的灵敏度分析和动力修改分析，可做到省时、省钱，具有实用价值。

基于有限元模型的结构动态特性灵敏度分析及动力修改的方法，前提是有限元模型与实际结构相差不大，在此前提下，对作了小修改的结构进行动特性预测将有较好的精度，这一点可由例子看出。

第十二章 结构动力修改与损伤识别

结构动力修改具有两方面的工程含义：一是计算模型的修改，二是结构的动力修改。前者是用从模态试验中获得的结构模态参数测试数据（作为基准）对有限元模型进行修正，以获得置信度较高、能准确反映结构动态特性的数学模型。后者则包含正、反两方面的问题，正问题是指：若对结构作了小改动，在原结构模态参数已知的条件下，如何快速有效地获得改动后的结构模态参数；反问题是指：若原结构动态特性不合要求，如何修改结构物理参数及确定修改量，使其动特性满足给定的要求。

传统的损伤识别方法是实验法，如声学或超声波法、磁场法、射线照相术涡流法以及热场法等。这些方法要求事先知道损伤区域，损伤探测部分容易达到。对于大型复杂结构，这些条件是难以满足的，因此，其使用受到很大限制。目前，得到普遍认同的一种最有前途的方法就是结合系统识别、振动理论、振动测试技术、信号采集与分析等跨学科的试验模态分析法(或基于振动分析的损伤识别法)。

基于振动信号(数据)分析的损伤识别法，其基本思想是：模态参数(固有频率、振型、模态阻尼等)是结构物理参数(质量、刚度、阻尼等)的函数，当结构出现损伤时，这些模态参数就会发生相应的变化，通过对这些参数的变化分析，将可找到损伤的部位以及损伤的程度，最后进一步预测结构的剩余寿命或将结构进行补强。

1 结构动力修改

1.1 计算模型的修改

修改方法的选择，应考虑如下几个因素：

（1） 被修改的参数是什么？模型系数矩阵元素、模态参数、物理或几何参数？这与数学

模型的不确定性建模有关。

（2） 使用的测试量是什么？模态参数、响应测量或激振测量？与试验方法有关。

（3） 测量数据的完整性，包括：是否完备模态、测量点数与自由度数的关系、测量位置

与自由度数的关系、数据频率的范围等，这些由试验条件决定。

（4） 被修改的数学模型自由度数。自由度数的大小决定修改过程是否必须对模型自由度

减缩。

1.1.1 矩阵摄动法

但在实际情况下，要测得完整的模态集是很困难的。

1.1.2 BERMAN方法

通常，有限元模型给出的质量矩阵和刚度矩阵均具有带状性，而式(12-22)和(12-23)的Δ M和Δ K则是满阵，这一严重不足使其难以被工程界所接受。

1.1.3 广义逆法

一些学者称其为元素型修正法或排列方程法，笔者将其称为广义逆法，

前面介绍的Berman方法，其修正过程可以利用有限的基准模态参数，在一个初始理论计算模型的基础上，通过简单的矩阵运算，以很少的结构参数修正量得到一个可以较为准确地反映基准模态参数的计算模型，但该过程得到的有限元质量矩阵和刚度矩阵均为满阵则是一严重不足。

为解决这一问题，可以采用有限元模型修正的广义逆方法，该法将正则化条件的关系式展开，得到一关于修正量的行满秩线性方程组，然后利用Moore-penrose广义逆求得关于该修正量的最小范数解。由于对被修正矩阵半带宽之外的零元素不进行修正，因而保持了原结构矩阵的窄带性。

1.2 结构动力修改反问题

结构动力修改反问题是指：若原结构动态特性不合要求，如何修改结构物理参数及确定修改量，使其动特性满足给定的要求。

这实际上是一个约束优化问题，通常的约束有频率和振型，还有其它约束，如质量和刚度修改的位置及其修改量的限制、静强度的要求等。

计算模型的修正是利用试验测得的模态矩阵和来估计M和K，这里则是给定模态矩阵和来寻求合适的M和K。当然，有限元质量矩阵M0和刚度矩阵K0假设为精确或经过了前面介绍的计算模型修改的处理。因此，结构动力修改反问题可以利用计算模型修改的各种方法来进行。

显然，人们希望进行小的修改就能获得好的动特性要求，而结构动态特性的灵敏度分析可以为此指明方向。

2 结构损伤识别

从利用的信息数据来看，有固有频率、振型、柔度、应变模态、传递函数、曲率模态形状(Curvature Mode Shapes)、模态保证准则(Modal Assurance Criterion,简称MAC)、坐标模态保证准则(Coordinate Modal Assurance Criterion,简称COMAC)、频率响应函数、相对加速

度傅立叶谱、静态测试数据(作用力和位移)、静挠度和振动模态组合等。从查阅的文献来看，用得最多的模态参数是固有频率或者是固有频率与振型的组合。

本节介绍采用固有频率和柔度曲率来进行结构损伤识别

2.1 结构损伤识别的模态应变能法

1） 当划分的单元数达到一定值时，不管将结构划分为多少个单元，单元长度是否相同，也

不管裂纹处于该单元的什么位置，都可以将裂纹位置正确识别出来。

2） 当单元数较少时，采用低阶模态比采用高阶模态能更好地识别损伤位置；而单元数较多

时则相反。这主要是因为单元数较少时，高阶模态的模态应变能计算存在较大的误差，而单元数较多时，仅采用低阶模态将导致信息量不足。

3） 单元数的划分，最好能保证所采用的最高阶模态在两节点之间有3个单元。

4） 虽然测试的结构固有频率改变量均不到1%,但裂纹位置均能正确识别出来，说明频率作

为结构损伤识别指标是可行的,而且具有较高的敏感度。

2.2结构损伤识别的柔度曲率法

利用模态参数进行结构损伤识别，通常都需要用到结构损伤前的模态信息，这在实际工程中常常是难以做到的，因此，没有原始结构的模态参数的损伤识别技术就显得尤其重要。从目前发表的文章看，仅仅利用损伤结构的模态参数进行损伤识别的极少。

近年来，不少作者利用模态柔度的改变量对结构进行损伤识别，指出模态柔度比固有频率或振型对局部损伤更敏感，可以更好地识别结构损伤。Raghavendrachar和Aktan通过对一个三跨混凝土桥的数值分析和实验研究证明了模态柔度比固有频率或振型对局部损伤更灵敏；Pandey和Biswas在其损伤识别研究中采用了柔度的改变量作为损伤识别指标，因为柔度矩阵可以容易和精确地从结构的几个低频振动模态建立，而低阶模态易于测量；Zhao和DeWolf将固有频率和模态振型与模态柔度进行了灵敏度分析对比，也证明了模态柔度比固有频率和模态振型对损伤更敏感。

虽然利用模态柔度进行结构损伤识别具有较高的灵敏度，但是却要用到损伤前的结构模态参数，不利于实际应用。本节提出利用损伤结构模态柔度的曲率对梁的损伤位置进行识别，既有高的灵敏度又避免了使用原结构的模态参数。悬臂梁和简支梁的数值计算表明，该方法具有计算量小和简便易行的优点，而且仅需要低阶模态信息即可获得很好的精度。

将损伤结构柔度的斜率和曲率随单元N的变化曲线绘出，就能直接得出损伤位置所在。 利用柔度曲率法，只需损伤结构的模态参数就可以识别结构的损伤位置，而且仅需要低阶模态信息即可获得很好的识别精度，同时，该方法具有计算量小和简便易行的优点。对简支梁而言，高阶模态可能会引起柔度曲率产生小的突变，从而造成识别误差，因此，可以仅采用第1阶模态数据求结构的柔度曲率以识别损伤位置。