工科高数知识点回顾

工科高数主要知识点回顾

第七章 空间解析几何与向量代数 1. 向量运算（数量积，向量积）

a =(x 1, y 1, z 1), b =(x 2, y 2, z 2) ，则

a ⋅b =x 1x 2+y 1y 2+z 1z 2=a ⋅b cos θ i

a ⨯b =x 1

x 2

j y 1y 2

k z 1z 2

2. 两个向量垂直、平行的充要条件

a //b ⇔a ⨯b =0⇔

x 1y z =1=1x 2y 2z 2

a ⊥b ⇔a ⋅b =0⇔x 1x 2+y 1y 2+z 1z 2=0

例如（2006填空题1）

3. 向量的方向余弦，两向量的夹角余弦公式

cos α=

x 1x +y +z a ⋅b

=a b

21

21

21

, cos β=

y 1

x +y +z

21

21

21

, cos γ=

z 1

x +y +z

21

21

21

cos θ=

x 1x 2+y 1y 2+z 1z 2x +y +z

21

21

21

x +y +z

222222

4. 关于直线与直线、直线与平面、平面与平面的问题，总是转化为向量与向量的问题 例如（2006选择题1）

第八章 多元函数微分法及其应用

1. 多元函数的极限（化为一元函数的极限问题） 例如（2005填空题4） 2. 偏导数的定义

f x (x 0, y 0) =lim

∆x →0

f (x 0+∆x , y 0) -f (x 0, y 0) f (x , y 0) -f (x 0, y 0)

=lim

x →x 0∆x x -x 0

例如（2005填空题1） 3. 全微分

dz =

∂z ∂z

dx +dy ∂x ∂y

例如（2005填空题5） 4. 复合函数的偏导数（链式图）

z =f (u . v ), u =u (x , y ), v =v (x , y )

∂z ∂f ∂u ∂f ∂v ∂z ∂f ∂u ∂f ∂v

=+, =+

∂x ∂u ∂x ∂v ∂x ∂y ∂u ∂y ∂v ∂y

例如（2005选择题8）（2006解答题1） 5. 隐函数的求导（两边对x 求偏导）

F ∂z

=-x ∂x F z

例如（2005填空题7）（2006计算题2） 6. 方向导数与梯度 梯度gradf 方向导数

=(f x , f y , f z )

∂f

=f x cos α+f y cos β+f z cos γ∂l

方向导数的存在条件 如果函数

f (x , y ) 在点P 可微分，那么函数在该点沿任一方向的方向导数存在

例如（2005选择题4）

7. 空间曲线的切线与法平面，空间曲面的切平面与法线 空间曲线x 切向量T

=ϕ(t ), y =ψ(t ), z =ω(t )

=(ϕ/(t ), ψ/(t ), ω/(t ))

x -x 0y -y 0z -z 0/

=/=/, ϕ(t 0)(x -x 0) +ψ/(t 0)(y -y 0) +ω/(t 0)(z -z 0) =0 /

ϕ(t 0) ψ(t 0) ω(t 0)

（其他参数方程形式的情形） 空间曲面F (x , 法向量n

y , z ) =0

=(F x , F y , F z )

x -x 0y -y 0z -z 0

==F x F y F z

F x (x -x 0) +F y (y -y 0) +F z (z -z 0) =0,

8. 多元函数的极值，条件极值（拉格朗日乘数法） 极值点可能存在的地方：驻点，不可导点 驻点处是否为极值是何种极值的判定：

A =f xx , B =f xy , C =f yy

（1）（2）

AC -B 2>0为极值点，A >0为极小值点，A

y ) =0下求函数z =f (x , y ) 的极值

在约束条件ϕ(x ,

构造拉格朗日函数L (x , y ) =f (x , y ) +λϕ(x , y )

⎧L x =f x +λϕx =0⎪

令偏导等于零⎨L y =f y +λϕy =0求出可能的极值点，再根据实际问题的性质判断是否为极值点.

⎪

⎩ϕ(x , y ) =0

例如（2006解答题2）

第九章重积分 1. 二重积分的物理意义 所占区域为D 面密度为ρ(x ,

y ) 的平面薄片的质量

M =⎰⎰ρ(x , y ) d σ

D

2. 二重积分的计算（化为二次积分） （1）直角坐标系下 若D 为X 型区域，D :a

b

≤x ≤b , ϕ1(x ) ≤y ≤ϕ2(x ) ，则

ϕ2(x )

⎰⎰f (x , y ) dxdy =⎰dx ϕ⎰f (x , y ) dy

D

a

1(x )

若D 为Y 型区域，D :c

d

≤y ≤d , ψ1(y ) ≤x ≤ψ2(y ) ，则

ψ2(y )

⎰⎰f (x , y ) dxdy =⎰dy ψ⎰f (x , y ) dx

D

c

1(y )

例如（2006选择题2）（2006计算题4） （2）极坐标系下 若D :a

≤θ≤b , ρ1(θ) ≤ρ≤ρ2(θ) ，则

b

ρ2(θ)

⎰⎰f (x , y ) d σ=⎰d θρ⎰θf (ρcos θ, ρsin θ) ρd ρ

D

a

1(

)

例如（2005填空题2）（2005选择题3） 3. 交换积分次序

（1）根据二次积分写出积分区域表达式 （2）根据积分区域表达式画出积分区域 （3）将需要的区域表达式形式写出来 （4）写出相应的二次积分

例如（2006填空题3）（2006计算题3） 4. 三重积分的计算（化为三次积分） （1）直角坐标系下 先算一重积分后算二重积分

若Ω在xOy 面上的投影为D xy ，上下曲面方程分别为z

=z 2(x , y ), z =z 1(x , y ) ，则

z 2(x , y )

⎰⎰⎰f (x , y , z ) dv =⎰⎰dxdy ⎰f (x , y , z ) dz

Ω

D xy

z 1(x , y )

先算二重积分后算一重积分 若Ω在z 轴上的投影为c 1

c 2

≤z ≤c 2，用垂直于z 轴的平面截积分区域得D z ，则

⎰⎰⎰f (x , y , z ) dv =⎰dz ⎰⎰f (x , y , z ) dxdy

Ω

c 1

D z

例如（2005三） （2）柱面坐标系下

若Ω在xOy 面上的投影D xy 在极坐标系下为a

≤θ≤b , ρ1(θ) ≤ρ≤ρ2(θ) ，上下曲面方程分别为

z =z 2(ρ, θ), z =z 1(ρ, θ) ，则

b

ρ2(θ)

⎰⎰⎰

Ω

f (x , y , z ) dv =⎰d θ

a ⎰ρθ

1(

)

d ρ⎰

z 2(ρ, θ)

z 1(ρ, θ)

f (ρcos θ, ρsin θ, z ) ρdz

（3）在球面坐标系下

x =r sin ϕcos θ, y =sin ϕsin θ, z =cos ϕ

⎰⎰⎰

Ω

f (x , y , z ) dv =⎰⎰⎰f (r sin ϕcos θ, r sin ϕsin θ, r cos ϕ) r 2sin ϕdrd ϕd θ

Ω

5. 利用对称性可以简化积分的计算 积分区域关于x

=0对称，则

f

是x 的奇函数时积分为0，偶函数时积分为半边区域上积分的2倍；

积分区域关于

y =0对称，则

f

是y 的奇函数时积分为0，偶函数时积分为半边区域上积分的2倍；

积分区域关于z =0对称，则

f

是z 的奇函数时积分为0，偶函数时积分为半边区域上积分的2倍

6. 重积分的应用（曲面面积） 曲面z

=f (x , y ) 在xOy 面上的投影为D ，则

A =⎰⎰+f x 2+f y 2d σ

D

第十章 曲线积分与曲面积分 1. 曲线积分的计算（化为定积分） 对弧长的曲线积分x

=x (t ), y =y (t ), z =z (t ), a ≤t ≤b

b

⎰

Γ

f (x , y , z ) ds =⎰f (x (t ), y (t ), z (t )) (x /) 2+(y /) 2+(z /) 2dt

a

（参数方程的其他情形） 例如（2005选择题5） 对坐标的曲线积分

x =x (t ), y =y (t )

b

，t 从a 到b

//

P (x , y ) dx +Q (x , y ) dy =[Px (t ) +Qy (t )]dt ⎰⎰L

a

（参数方程的其他情形） 2. 两类曲线积分之间的关系

⎰Pdx +Qdy +Rdz =⎰(P cos α+Q cos β+R cos γ) ds

Γ

Γ

其中cos α, cos β, cos γ为曲线切向量的方向余弦 3. 格林公式，积分与路径无关

⎛∂Q ∂P ⎫ ⎰⎰ ∂x -∂y ⎪⎪dxdy =Pdx +Qdy

⎭D ⎝L

其中L 为D 的正向边界（外边界逆时针，内边界顺时针）

例如（2005选择题6）（2005四）（2006选择题4）（2006解答题3） 4. 曲面积分的计算（化为重积分） 对面积的曲面积分z

=z (x , y ) ，曲面在xOy 面上的投影为D xy ，则

⎰⎰

∑

22

f (x , y , z ) dS =⎰⎰f (x , y , z (x , y )) +z x +z y dxdy

D xy

例如（2005选择题7） 对坐标的曲面积分

⎰⎰R (x , y , z ) dxdy =±⎰⎰R (x , y , z (x , y )) dxdy ，曲面取z 轴正向侧时取正，否则取负

∑

D xy

⎰⎰P (x , y , z ) dydz =±⎰⎰P (x (y , z ), y , z ) dydz ，曲面取x 轴正向侧时取正，否则取负

∑

D yz

⎰⎰Q (x , y , z ) dzdx =±⎰⎰Q (x , y (z , x ), z ) dzdx ，曲面取y 轴正向侧时取正，否则取负

∑

D zx

例如（2006计算题7） 5. 两类曲面积分之间的关系

⎰⎰Pdydz +Qdzdx +Rdxdy =⎰⎰(P cos α+Q cos β+R cos γ) dS

∑

∑

其中cos α, cos β, cos γ为曲面法向量的方向余弦

应用（1）将对坐标的曲面积分化为对面积的曲面积分再计算； 应用（2）将对不同坐标的曲面积分化为对同种坐标的曲面积分

⎰⎰P (x , y , z ) dydz =⎰⎰P (x , y , z ) cos αdS =⎰⎰P (x , y , z )

∑

∑

∑

cos α

dxdy

cos γcos β

dxdy

cos γ

⎰⎰Q (x , y , z ) dzdx =⎰⎰Q (x , y , z ) cos βdS =⎰⎰Q (x , y , z )

∑

∑

∑

6. 高斯公式

⎛∂P ∂Q ∂R ⎫ ⎰⎰⎰ ∂x +∂y +∂z ⎪⎪dv =Pdydz +Qdzdx +Rdxdy

⎭Ω⎝∑

其中∑为Ω的外表面 例如（2005六）

第十一章 无穷级数 1. 收敛级数的基本性质

收敛＋收敛＝收敛；收敛＋发散＝发散 若lim u n

n →∞

≠0，则级数发散

2. 常用的两个级数 （1）几何级数

∑q

n =0

∞

n

当

q

（2）p-级数

∑n

n =1

∞

1

p

当

p >1时收敛，p ≤1时发散

例如（2005填空题6） 3. 正项级数的审敛法 比较审敛法的极限形式 设lim

u n

=l ，则

n →∞v n

与

（1）0（2）l （3）l

∑v

n

有相同的敛散性； 收敛； 发散；

=0时，∑v n 收敛则∑u n =∞时，∑v n 发散则∑u n

例如（2006计算题1）

比值审敛法 设lim 当l

u n +1

=l ，则

n →∞u n

1时发散

根值审敛法 设lim n →∞

n =l ，则

当l 1时发散

4. 交错级数的审敛法（莱布尼兹审敛法）

若交错级数的一般项满足：绝对值单调递减趋于0，则交错级数收敛 例如（2006选择题5）

5. 任意项级数收敛的判断（绝对收敛，条件收敛） 例如（2006选择题5） 6. 幂级数的收敛域 设lim

1a n +1

=ρ，则收敛半径R =

n →∞a ρn

不能用该定理求收敛半径时，可以考虑用证明本定理的方法 例如（2005五）（2006填空题5）

7. 幂级数的和函数，函数的幂级数展开（间接法）

逐项求导，逐项积分化为已知和函数的幂级数（注意注明收敛域） 例如（2005五）（2006计算题6） 8. 周期为2π的函数的傅立叶展开

a 0∞f (x ) =+∑(a n cos nx +b n sin nx )

2n =1

其中a n

=

π

1

π

π

-

⎰πf (x ) cos nxdx , n =0, 1, 2,

b n =

1

π

-

⎰πf (x ) sin nxdx , n =1, 2,

9. 收敛定理（狄里克雷充分条件） 当x 是

f (x ) 的连续点时，傅立叶级数收敛于f (x ) ；

当x 时

1

f (x ) 的间断点时，傅立叶级数收敛于[f (x -0) +f (x +0)]

2

例如（2005填空题3）

第十二章 微分方程

1. 可分离变量的微分方程（两边积分）

f (x ) dx =g (y ) dy

例如（2005选择题1）（2006计算题5） 2. 齐次方程（换元化为可分离变量的微分方程）

dy y ⎛y ⎫

=f ⎪，令=u dx x ⎝x ⎭

3. 一阶线性微分方程

（1）一阶线性齐次微分方程（可分离变量的微分方程）

dy

+p (x ) y =0 dx

（2）一阶线性非齐次微分方程（常数变易法）

dy

+p (x ) y =q (x ) dx

设相应线性齐次方程通解为

ϕ(x )

令y =u (x ) e 为线性非齐次方程的解，代入线性非齐次方程，y =Ce ϕ(x ) ，

化为关于u (x ) 的可分离变量的微分方程，求出通解后代回例如（2006解答题3） （3）伯努里方程

y =u (x ) e ϕ(x )

dy

+p (x ) y =q (x ) y n dx

令z

=y 1-n ，化为关于z 的一阶线性非齐次微分方程，再用常数变易法

4. 全微分方程

P (x , y ) dx +Q (x , y ) dy =0

解法1：（1）判断是否为全微分方程

∂Q ∂P

=∂x ∂y

；

(x , y )

（2）积分u (x , y ) =

(x 0, y 0)

⎰P (x , y ) dx +Q (x , y ) dy

=C

（3）方程的通解为u (x , y )

解法2：凑微分P (x , y ) dx +Q (x , y ) dy =du (x , y ) 5. 可降阶的高阶微分方程 （1）

y (n ) =f (x ) （两端积分n 次）

（2）不含y 的二阶方程令

y //=f (x , y /)

y /=p (x ) ，则y //=p /，化为一阶方程

（3）不含x 的二阶方程

y //=f (y , y /)

令

y /=p (y ) ，则y //=

d /d dp dy y =p (y ) ==p /p ，化为一阶方程 dx dx dy dx

()

6. 高阶线性微分方程解的结构

7. 二阶常系数齐次线性微分方程（特征方程法）

y //+py /+qy =0

特征方程为r

2

+pr +q =0

y =C 1e r 1x +C 2e r 2x

（1）有两个不等的实根r 1, r 2，通解为（2）有两个相等的实根r 1（3）有一对共轭复根r 1, 2

=r 2，通解为y =(C 1+C 2x ) e r 1x

=a ±bi ，通解为y =e ax (C 1cos bx +C 2sin bx )

例如（2005填空题8）（2006填空题4）