77不等式选讲
学案77 不等式选讲
(二)证明不等式的基本方法
导学目标:1.了解证明不等式的基本方法:比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法.2.会用比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法证明比较简单的不等式.
自主梳理
1.三个正数的算术—几何平均不等式:如果a,b,c>0,那么_________________________,当且仅当a=b=c时等号成立.
2.基本不等式(基本不等式的推广):对于n个正数a1,a2,„,an,它们的算术平均不a1+a2+„+ann
小于它们的几何平均,即a1·a2·„·an,当且仅当__________________时等
n
号成立.
3.二维形式的柯西不等式及推论:若a,b,c,d都是实数,则(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2,当且仅当ad=bca+bc+d≥|ac+bd|,当且仅当ad=bc时等号成立;a+bc+d≥|ac|+|bd|,当且仅当________________时等号成立.
4.证明不等式的常用五种方法
(1)比较法:比较法是证明不等式最基本的方法,具体有作差比较和作商比较两种,其基本思想是______与0比较大小或______与1比较大小.
(2)综合法:从已知条件出发,利用定义、______、______、性质等,经过一系列的推理、论证而得出命题成立,这种证明方法叫综合法.也叫顺推证法或由因导果法.
(3)分析法:从要证明的结论出发,逐步寻求使它成立的________条件,直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义、公理或已证明的定理、性质等),从而得出要证的命题成立为止,这种证明方法叫分析法.也叫逆推证法或执果索因法.
(4)反证法
①反证法的定义
先假设要证的命题不成立,以此为出发点,结合已知条件,应用公理、定义、定理、性质等,进行正确的推理,得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)矛盾的结论,以说明假设不正确,从而证明原命题成立,我们把它称为反证法.
②反证法的特点
先假设原命题不成立,再在正确的推理下得出矛盾,这个矛盾可以是与已知条件矛盾,或与假设矛盾,或与定义、公理、定理、事实等矛盾.
(5)放缩法
①定义:证明不等式时,通过把不等式中的某些部分的值________或________,简化不等式,从而达到证明的目的,我们把这种方法称为放缩法.
②思路:分析观察证明式的特点,适当放大或缩小是证题关键. 自我检测
1.已知M=a2+b2,N=ab+a+b-1,则M,N的大小关系为( ) A.M>N B.Mb≥0,pa-b,qa-b,那么( ) A.p≤q B.p≥q C.p
3.若a、b、c、d、x、y均是正实数,且Pab+cd,Qax+cy+,则( )
xy
A.P=Q B.P≥Q C.P≤Q D.P>Q
4
4.已知a>b>0,n∈N*,则使不等式a2-n≥n的最大值为( )
b-ab
A.4 B.8 C.10 D.16
abc
5.(2011·南阳月考)已知a,b,c>0,且a+b>c,设M=N,则M
4+a4+b4+c
与N的大小关系是
__________________________________________________________.
探究点一 比较法证明不等式 例1 已知a>0,b>0,求证:
ab
+≥a+b. ba
变式迁移1 (2011·福建)设不等式|2x-1|
(2)若a,b∈M,试比较ab+1与a+b的大小.
探究点二 用综合法证明不等式
例2 设a、b、c均为正数,求证: 111111++≥+2a2b2cb+cc+aa+b
变式迁移2 设x是正实数,求证: (x+1)(x2+1)(x3+1)≥8x3.
探究点三 用分析法证明不等式
a-b2a+ba-b2
例3 (2011·武汉模拟)已知a>b>0,求证:ab
变式迁移3 已知a>0
11a2+2≥a+-2.
aa
转化与化归思想的应用
例 (10分)已知f(x)=x2+px+q.求证: (1)f(1)+f(3)-2f(2)=2;
1
(2)|f(1)|、|f(2)|、|f(3)|中至少有一个不小于.
2
多角度审题 已知f(x),要证f(1)+f(3)-2f(2)=2,只须化简左边式子,看是怎样的形
1
式,然后才能视情况而定如何证明.求证|f(1)|、|f(2)|、|f(3)|中至少有一个不小于包括:
2
111
|f(1)|、|f(2)|、|f(3)|,其余两个小于2个大于等于222
11
个小于;三个都大于等于.如果从正面证明,将有7种情况需要证明,非常繁杂,可考虑
22用反证法证明.
【答题模板】
证明 (1)f(1)+f(3)-2f(2)=(1+p+q)+(9+3p+q)-2(4+2p+q)=2.[2分]
1
(2)假设|f(1)|、|f(2)|、|f(3)|都小于,
2
则|f(1)|+2|f(2)|+|f(3)|
而|f(1)|+2|f(2)|+|f(3)|≥|f(1)+f(3)-2f(2)|
=|(1+p+q)+(9+3p+q)-(8+4p+2q)|=2,与假设矛盾.[9分]
1
∴|f(1)|、|f(2)|、|f(3)|中至少有一个不小于.[10分]
2
【突破思维障碍】
1
根据正难则反的证明原则,|f(1)|、|f(2)|、|f(3)|至少有一个不小于的反面为|f(1)|、|f(2)|、
2
1
|f(3)|都小于,所以用反证法证明只有一种情况,如果这一种情况不成立,则原命题成立.
2
【易错点剖析】
在证明(2)中如果不知道用反证法证,而是从正面分七种情况证明,往往会出现这样或那样的失误.
(满分:75分)
一、选择题(每小题5分,共20分) 1.(2011·烟台月考)已知a、b、m∈R+且a>b,则( ) aa+m bb+maa+mbb+maa+mbb+maa+m bb+m2.(2010·黄冈期中)设a、b∈R,且a≠b,a+b=2,则必有( ) 22a+ba2+b2ab
a2+b2a2+b2
C.ab
3.设a∈R且a≠0,以下四个式子中恒大于1的个数是( )
11
①a3+1;②a2-2a+2;③aa2+.
aa
A.1 B.2 C.3 D.4 4.(2011·保定调研)在下列不等式中,一定成立的是( )
8a4b
A.4abba
2
322m+1C.a>a-a+1 D.52)m2-3
二、填空题(每小题4分,共12分)
11
5.(2011·湖南)设x,y∈R,且xy≠0,则(x2+4y2)的最小值为________.
yx11
6.已知x>0,y>0,lg2x+lg8x=lg2,则的最小值为________.
x3y
222
7.设x=ab+5,y=2ab-a-4a,若x>y,则实数a,b应满足的条件为
__________________.
三、解答题(共43分)
8.(10分)已知x,y,z均为正数,求证: xyz111≥+. yzzxxyxyz
9.(10分)(2011·包头模拟)已知正数a、b、c满足a+b
10.(10分)若a+b=1a++b≤2.
22
11.(13分)已知实数x、y、z不全为零.求证:
3
x+xy+y+y+yz+z+z+zx+x(x+y+z).
2
学案77 不等式选讲
(二)证明不等式的基本方法
自主梳理 a+b+c31.abc 2.a1=a2=„=an 3.ad=bc且abcd≥0 4.(1)差 商 (2)公理 定
3
理 (3)充分 (5)①放大 缩小
自我检测
1.C [∵M-N=a2+b2-ab-a-b+1 1
=(2a2+2b2-2ab-2a-2b+2) 21
=[(a2-2ab+b2)+(a2-2a+1)+(b2-2b+1)] 21
=[(a-b)2+(a-1)2+(b-1)2]≥0,当且仅当a=b=1时“=”成立.∴M≥N.] 2
2.A [p2-q2=a+b-2ab-a+b =b(b-a)≤0.∴p≤q.]
bd
3.C [Q=ax+cyax+cyxy xy
=ab+cd+xy≥ab+cd+abcdab+cd=P.∴P≤Q.]
4a2a22
4.B [∵n≤ab(a-b)≤ (2-b≥0).
4ba-b
416∴a2+≥a2+≥a2=8(a=2,b=1时取“=”).
aaba-b
4
即a2+8,∴nmax=8.]
ba-b
5.M>N
解析 ∵a,b,c>0,且a+b>c,
a+babab
∴M=
4+a4+b4+a+b4+b+a4+a+b
4+x-xx4
设f(x)= (x>0),∵f′(x)=, 4+x4+x4+x即f(x)在(0,+∞)上为增函数,
a+bc
∴f(a+b)>f(c)>,∴M>N.
4+a+b4+c
课堂活动区
例1 解题导引 不等式左、右两边是多项式形式,可用作差或作商比较法,也可用分析法、综合法.
ab
证明 ∵a+b)
b
a3+b3-abab=ab
a+ba-b2=,
ab
又a+b>0ab>0,ab)2≥0, abab
∴-(a+b)≥0.故≥a+b.
baba
变式迁移1 解 (1)由|2x-1|
所以M={x|0
(2)由(1)和a,b∈M可知00, 故ab+1>a+b.
例2 解题导引 本例不等式中的a、b、c具有同等的地位,证明此类型不等式往往需要通过系数的变化,利用基本不等式进行放缩,得到要证明的结论.
证明 ∵a、b、c均为正数, 11111
∴, 22a2b2aba+b当且仅当a=b时等号成立;
11111
+≥同理:, 22b2c2bcb+c当且仅当b=c时等号成立; 11111
+≥ 22c2a2cac+a
当且仅当a=c时等号成立. 三个不等式相加即得 111111++≥+ 2a2b2cb+cc+aa+b当且仅当a=b=c时等号成立.
变式迁移2 证明 x是正实数,由基本不等式知, x+1≥2x,1+x2≥2x,x3+1≥2, 故(x+1)(x2+1)(x3+1) ≥x·2x·2x=8x3
(当且仅当x=1时等号成立).
例3 解题导引 当要证的不等式较复杂,已知条件信息量太少,已知与待证间的联系不明显时,一般可采用分析法.分析法是步步寻求不等式成立的充分条件,而实际操作时往往是先从要证的不等式出发,寻找使不等式成立的必要条件,再考虑这个必要条件是否充分,这种“逆求”过程能培养学生的发散思维能力,也是分析问题、解决问题时常用的思考方法.
a-b2a+ba-b2
证明 欲证ab
8a28ba-b2ab2a-b2
只需证
∵a>b>0,
a-baba-b
∴只需证
22a222ba+baba+b即.欲证,
2aba
a+b
a+ 2b
只需证2b
a+bab∴成立,且以上各步均可逆.
2aba-b2a+ba-b2∴ab
8a28b
1
变式迁移3 证明 a2-2≥a+-2,
aa
11
a2+2≥a+,
aa
1a+22, ∵a>0,∴只须证 a2+22≥aa
11
a, 从而只要证a2+2aa
1a2+≥2a2+2+, 只要证4aa1
即a2+≥2,而上述不等式显然成立,故原不等式成立.
a
课后练习区
aa+mab+am-ab-bmma-b
1.A [∵-,
bb+mbb+mbb+m
aa+m∴>.] bb+m
2.C [当a>0,b>0时,2=a+bab,∴0
又(a+b)2=a2+b2+2ab
a2+b222
∴a+b>2,,又a≠b.∴选C.]
21
3.A [只有a2+2>1,故选A.]
a
48a444
4.D [取a=b=1,显然有8·4
8
1-484==16>1,∴4>8,A不成立; 2aabbaabbaa-b∵b·a=b, ab
aa-b
当a
∵a3-a2+a-1=(a-1)(a2+1), 当a
12=(23)2=7+12, 23
1
∴5+2
22
2m+1∴(5+2)m
5.9 欲证1
1111
解析 (x2+)(+4y2)=5++4x2y2≥5+24x2y2=9,当且仅当x2y2=时yxxyxy2“=”成立.
6.4
解析 由题意2x·8y=2,∴x+3y=1,
1111
+·∴(x+3y)
x3yx3y3yx3yx=2≥2+=4,
x3yx3y3yx11
当且仅当=,即x=,y
x3y26
7.ab≠1或a≠-2
解析 由x>y,得a2b2+5-2ab+a2+4a
=(ab-1)2+(a+2)2>0,所以有ab≠1或a≠-2. 8.证明 因为x,y,z均为正数,
xy1xy2
≥, 所以+=yzzxzyxz
yz2zx2
同理可得,+(5分)
zxxyxxyyzy
当且仅当x=y=z时,以上三式等号都成立,将上述三个不等式两边分别相加,并除以2,
xyz111
得+.(10分) yzzxxyxyz
9.证明 要证c-c-ab
∴只要证(a-c)20,只需证a+b
这就是已知条件,且以上各步都可逆, ∴cc-ab
10.证明 a+b+2成立,
22
11
即证( a+b+)2≤4,(2分)
22
即证a+b+1+2( a+b+)≤4,(4分)
22
∵a+b=1,
故就是证a+b≤1,(6分)
2211
即证ab+(a+b)+≤1,即证ab≤,(8分)
244
a+b2
只需证ab≤(),也就是证2ab≤a2+b2,这是显然成立的,故原不等式成立.(10
2
分)
y3x+2+2 11.证明 ∵x+xy+y=24
yyx+2=x+≥x≥222
z
同理可得:y+yz+z≥y+,
2
x
z+zx+x≥z+(6分)
2
由于x、y、z不全为零,故上述三式中至少有一式取不到等号,所以三式累加得: x+xy+y+y+yz+z+z+zx+x
yzx3
x++y++z+=(x+y+z), >2222
即x+xy+y+y+yz+z+z+zx+x 3
>(x+y+z).(13分) 2