广东省广州市海珠区2015届中考数学一模试题

第二学期海珠区九年级综合练习数学卷

本试卷分选择题和非选择题两部分，共三大题25小题，共4页，满分150分，练习时间120分钟，可以使用计算器．

注意事项：

1．答卷前，学生务必在答题卡第1面、第3面、第5面上用黑色字迹的钢笔或签字笔填写自己的学校、班级、姓名、座位号、考号；再用2B 铅笔把对应号码的标号涂黑．

2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题号的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；不能答在问卷上．

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，涉及作图的题目，用2B 铅笔画图．答案必须写在答题卡各题指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；改动的答案也不能超出指定的区域．不准使用铅笔、圆珠笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效．

4．学生必须保持答题卡的整洁，练习结束后，将本练习卷和答题卡一并交回．

第一部分 选择题（共30分）

一、选择题（本题共10个小题，每小题3分，满分30分. 下面每小题给出的四个选项中，只有一个

是正确的．）

1．在0，1，﹣1，π四个数中，最小的实数是（ ）

A ．﹣1 B．π C．0 D．1 2．若∆ABC ∽∆DEF ，且AB :DE =1:3，则S ∆ABC :S ∆DEF =（ ） A ．1：3 B．1：9 C．1

．1：1.5 3．如图，C 岛在A 岛的北偏东45°方向，C 岛在B 岛的北偏西25°方向， 则从C 岛看A 、B 两岛的视角∠ACB 的度数是（ ）

A ．70° B．20° C．35° D．110° 4．下列运算正确的是（ ）

222

A ．3x ⋅4x =12x B

=

C ．(x 5) 2=x 10 D．a ÷a =a

5．如图，将△ABC 绕着点C 顺时针旋转60°后得到△A ʹB ʹC，若∠A=40°， ∠B=110°，则∠BCAʹ的度数是（ ）

A ．100° B．90° C．70° D．110°

6．我市某中学举办了一次以“我的中国梦”为主题的演讲比赛，最后确定9名同学参加决赛，他们的决赛成绩各不相同，其中小辉已经知道自己的成绩，但能否进前5名，他还必须清楚这9名同学成绩的（ ）

A ．众数 B．平均数 C．中位数 D．方差 7．在□ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于O ，下列说法一定正确的是（ ） A ．AC=BD B． AC⊥BD C．AO=DO D．AO=CO 8．已知数轴上点A （表示整数a ）在点B （表示整数b ）的左侧，如果a =b ，且线段AB 长为6，那么点A 表示的数是（ ）．

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1025

A ．3 B．6 C．-6 D．-3

9．已知a 、b 、c 分别为Rt △ABC （∠C=90°）的三边的长，则关于x 的一元二次方程

(c +a )x 2+2bx +(c -a )=0根的情况是（ ）

A ．方程无实数根 B．方程有两个不相等的实数根 C ．方程有两个相等的实数根 D．无法判断 10．若点M 、N 是一次函数y 1=-x +5与反比例函数y 2=

k

(k ≠0, x ＞0）图象的两个交点，其中点x

M 的横坐标为1，下列结论：①一次函数y 1=-x +5的图象不经过第三象限；②点N 的纵坐标为

1；③若将一次函数y 1=-x +5的图象向下平移1个单位，则与反比例函数y 2=

k

(k ≠0, x ＞0）图x

象有且只有一个交点；④当1＜x ＜4时，y 1＜y 2．其中结论正确的个数是（ ） A ．4个 B．3个 C．2个 D．1个 第二部分 非选择题（共120分） 二、填空题（本题共6个小题，每小题3分，共18分．） 11．若梯形的中位线长为8，高为4，则梯形的面积为 _． 12．分解因式：ay 2+2ay +a ．

13．半径等于12的圆中，垂直平分半径的弦长为 _．

14．一个几何体的三视图如图所示，根据图示的数据计算该几何体的全面积为 _．

．．．

15．将矩形ABCD 按如图所示的方式折叠，得到菱形AECF ，若AB =3，则菱形AECF 的周长为 _． 16．如图一组有规律的正多边形，各正多边形中的阴影部分面积均为a ，按此规律，则第n 个正多边形的面积为 _．

„„

第1个 第2个 第3个 第4个 三、解答题（本题共9个小题，共102分，解答要求写出文字说明，证明过程或计算步骤．） 17．（本题满分10分，每小题5分）

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（1）解分式方程：

x 2

-=1； x -1x

．

⎩x -3(x -2) ≥4

2x -1＞0（2）解不等式组：⎧⎨

A

18．（本题满分10分）

如图，在正方形ABCD 中，点E 、F 在线段BC 上，且BE=CF，连结AF 、DE 相交于点G ，求证：EG=FG．

B

19．（本题满分10分）

2

已知方程x -2x -15=0 的两个根分别是a 和b ，求代数式(a -b ) 2+4b (a -b ) +4b 2的值． 20．（本题满分10分）

随着科技的不断发展，人与人的沟通方式也发生了很大的变化，广州市某中学九年级的一个数学兴趣小组在本年级学生中进行“学生最常用的交流方式”的专题调查活动，采取随机抽样的方式进行问卷调查，问卷调查的结果分为四类：A

．面对面交谈；B ．微信和QQ 等聊天软件交流；C ．短信与书信交流；D ．电话交流．根据调查数据结果绘制成以下两幅不完整的统计图：

（1）本次调查，一共调查了 名同学，其中C 类女生有 名，D 类男生有 名；

（2

）若该年级有学生150名，请根据调查结果估计这些学生中以“D．电话交流”为最常用的交流

方式的人数约为多少？

（3）在本次调查中以“C ．短信与书信交流”为最常用交流方式的几位同学中随机抽取两名同学参

加广州市中学生书信节比赛，请用列举法求所抽取的两名同学都是男同学的概率．

D A 15%

C 25%

B 50

%

21．10分）

某市举行“行动起来，对抗雾霾”为主题的植树活动，某街道积极响应，决定对该街道进行绿化改造，共购进甲、乙两种树共500棵，已知甲树每棵800元，乙树每棵1200元． （1）若购买两种树总金额为560000元，求甲、乙两种树各购买了多少棵？ （2）若购买甲树的金额不少于购买乙树的金额，至少应购买甲树多少棵？ 22．（本题满分12分）

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实验数据显示：一般成人喝半斤低度白酒后，1.5小时内（包括1.5小时）其血液中酒精含量y （毫克/百毫升）与时间x （时）的关系可近似地用二次函数y =﹣200x +400x 表示；1.5小时后（包括1.5小时）y 与x 可近似地用反比例函数y =（1）求k 的值．

（2）假设某驾驶员晚上在家喝完半斤低度白酒，求有多长时间其酒精

含量不低于72毫克/百毫升？（用分钟表示）

23．（本题满分12分）

如图，在△ABC 中，AB =BC ，点E 在边AB 上，EF ⊥AC 于F ．

（1）尺规作图：过点A 作AD ⊥BC 于点D （保留作图痕迹，不写作法）； （2）求证：∠CAD =∠AEF ；

（3）若∠ABC =45°，AD 与EF 交于点G ，求证：EG =2AF ． 24．（本题满分14分）

如图，AB 是⊙O 的直径，直线l 与⊙O 相切于点C ，AE ⊥l 交直线l 于点E 、 交⊙O 于点F ，BD ⊥l 交直线l 于点D ． （1）求证：△AEC ∽△CDB ； （2）求证：AE +EF =AB ；

（3）若AC =8cm ，BC =6cm ，点P 从点A 出发沿线段AB 向点B 以2cm /s 的速度运动，点Q 从点B

出发沿线段BC 向点C 以1cm /s 的速度运动，两点同时出发，当点P 运动到点B 时，两点都停止运动．设运动时间为t 秒，求当t 为何值时，△BPQ 为等腰三角形？

25．（本题满分14分）

2

k

（k ＞0）表示（如图所示）． x

如图，已知抛物线y =ax +bx +c 过点A （6，0），B （－2，0），C （0，－3）． （1）求此抛物线的解析式；

（2）若点H 是该抛物线第四象限的任意一点，求四边形OCHA 的最大面积；

（3）若点Q 在y 轴上，点G 为该抛物线的顶点，且∠QGA =45º，求点

Q 的坐标．

2

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2014学年第二学期海珠区九年级综合练习

数学参考答案

1-10:ABACB CDDCB

11.32 12.a (y +

1) 13.

72 15.8 16.17.

2

(n +1)

a 2

x 21-=1

x -1x

x 2-2(x -1) =x (x -1)

⎧2x -1＞0①（2）⎨

⎩x -3(x -2) ≥4②22

x -2x +2=x -x

1

由①得，x ＞-x =-2 2

x =2由②得，x ≤1检验：当x =2时，x (x -1) ≠01

∴＜x ≤1

∴x =2是原方程的根2

A

18. 证明：在正方形ABCD 中，有

AB=CD，∠B=∠C=90° ∵BE=CF

∴BE+EF=CF+EF ∴BF=CE

在∆ABF 和∆DCE 中⎧AB=CD⎪

⎨∠B=∠C ⎪BF=CE⎩

B ∴∆ABF ≌∆DCE （SAS ）

∴∠AFB=∠DEC ∴EG=GF

19. ∵ 方程x -2x -15=0 的两个根分别是a 和b ∴a +b =2

2

(a -b ) 2+4b (a -b ) +4b 2=[(a -b ) 2+2b ]=(a +b ) 2=22=4

20. （1）20,2,1

（2）150×（1-15%-50%-25%）=15（名）

答：该校以“D．电话交流”为最常用的交流方式的人数约为15名.

（3）分别用男1、男2、男3、女1、女2表示这5位同学。从中任意抽取2名，所有可能出现的结果有：（男1，男2）、（男1，男3）、（男1，女1）、（男1，女2）、（男2，男3）、（男2，女1）、（男2，女2）、（男3，女1）、（男3、女2）、（女1、女2）共有10种，它们出现的可能性相同。所有的结果中，满足抽取2名同学都是男同学的结果共有3种.

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∴P （两名同学都是男同学）=

3 10

3. 10

答：抽取的两名同学都是男同学的概率都是

21. 解：（1）设购进甲树x 棵，则购进乙树(500-x ) 棵，由题意有

800x +1200(500-x ) =560000

解得x =100

∴500-x =500-100=400（棵） ∴购进甲树100棵，乙树400棵. （2）设购进甲树a 棵， 购进乙树(500-a ) 棵

800a ≥1200(500-a )

解得a ≥300

所以至少应购进甲树300棵

22. 解：（1）∵当x =1.5时

y =-200x 2+400x =-200⨯1.52+400⨯1.5 =150

∴k =xy =1.5×150=225； （2）当y =72时，

①y =

225

x 22572=

x

∴x =3.125

②-200x +400x =72 x 1=0.2, x 2=1.8(舍去）3.125-0.2=2.925时=175.5分

答：有175.5分钟其酒精含量不低于72毫克/百毫升. 23．（1）作图略

（2）证明： ∵BC=BA

∴∠C=∠BAC

∵AD ⊥BC ，EF ⊥AC

∴∠CDA=∠EFA=90

00

∴180－∠C －∠CDA=180－∠BAC －∠EFA

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2

即∠DAC=∠AEF

（3）过点E 作EM ∥BC 分别交AD 、AC 于点N 、M ∵EM ∥BC

00

∴∠MEA=∠B=45，∠EN A=∠ADB=90，

∴△AEN 为等腰直角三角形，∠ANM=90， ∴NE=NA

∴∠ENA=∠ANM ∵EF ⊥AC ， 0

∴∠EFA=90

∴∠ENA=∠EFA 又∵∠EGN=∠AGF

00

∴180－∠ENA －∠EGN=180－∠EFA －∠AGF 即∠NEG=∠NAM

在△ENG 与△ANM 中， ENA=∠ANM NE=NA

NEG=∠NAM ∴△ENG ≌△ANM ∴EG=AM ∵BC=BA ∴∠C=∠BAC ∵EM ∥BC ∴∠EMA=∠C ∴∠EMA=∠BAC

∴△EMA 为等腰三角形 又 ∵EF ⊥MA ∴AM=2AF ∴EG=2AF

24.

(1) 证明：∵AB 是⊙O 的直径

∴∠ACB=90

00

∴∠BCD+∠ACE=180-∠ACB=90 ∵AE ⊥DE ，BD ⊥DE

∴∠AEC=∠BDC=90

∴∠ACE +∠EAC=90

∴∠BCD =∠EAC

∴△AEC ∽△CDB

（2）连结BF 、OC

∵DE 切⊙O 于点C ∴OC ⊥DE

又∵AE ⊥DE ，BD ⊥DE ∴OC ∥BD ∥AE 又∵O 是AB 的中点

∴OC 是梯形ABDE 的中位线

∴OC=1(BD +AE )

2

∵AB 是⊙O 的直径

∴∠AFB=90

∴∠BFE=90

又∵∠AED=∠B DE=90 ∴四边形BDEF 是矩形 ∴BD=FE

∴AE+EF=AE+BD ∴OC=1(AE+EF )

2

∵OC=1AB

2

∴AE+EF=AB

（3）由题意可知：AP=2t，BQ=t，0＜t ≤5

∵∠ACB=90 ,AC=8,BC=6

∴10 ∴BP=10-2t 当BP=BQ时 10-2t=t t=10

3

A

C Q B

②当PB=PQ时，过点P 作PG ⊥BC 于点G ∵PB=PQ，PG ⊥BC

∴BG=BQ =1t ，∠PGB=90

22

1

A

∴∠ACB=∠PGB =90

又∵∠PBG=∠ABC ∴△BPG ∽△BAC ∴BP =BA BG BC ∴10-2t =10

t 2

6

C Q G B

∴t=60

17

③当BQ=PQ时，过点Q 作QH ⊥AB 于点H

同理可求得：BH=1BP =1(10-2t ) =5-t ，△QHB ∽△ACB

2

2

∴BH =BC BQ AB ∴

A

5-t

6

= t 10

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C

Q

B

∴t=25

8

综上所述，当t=10或t=60或t=25时，△BPQ 为等腰三角形.

3

17

8

25. 解：

（1）二次函数过三点A （6，0）B （-2，0）C （0，设y =ax +bx -3，则有

2

0=4a -2b -3且0=36a +6b -3，

1

∴a =，b =-1，

412

∴y =x -x -3

4

11

（2）设H (x , y ) ，如图，S=OC ·x +OA ·y 22

11

=×3x +×6·(-y )

22

=

33⎛1⎫3

x -3 x 2-x -3⎪ =x -x 2+3x +9 24⎝4⎭2329

x +x +9 42

=-

b 4ac -b 263=3，S 有最大值，S ==当x =- 2a 4a 4.

（3）∵y =

12

x -x -3 4

∴顶点G 坐标为（2，-4）

对称轴与x 轴交于点M

∴AM =

11

AB =(6+2) =4 22

∴MG=MA

以点M 为圆心，MG 为半径的圆过点A 、B ，与y

连结Q 1G 、Q 1A 、Q 1M

∵同弧所对的圆周角等于圆心角的一半

∴∠AQ1G =

2 ，

11

∠AMG =⨯900=450 22

Rt △Q 1OM 中

∵OM=2 Q1M=4

∴Q 1O =4-2=2

2

2

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∴Q 1（0，2）

由对称性可知：Q 2（0，-23）

若点Q 在线段Q 1Q 2 之间时，如图，延长AQ 交⊙M 于点P ， ∵∠APG=∠AQ 1G=45°, 且∠AQG ＞∠APG ∴∠∴点Q 若点Q ∴点Q

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