自由落体与竖直上抛运动

匀变速直线运动规律应用（二） 一、自由落体运动 1．自由落体运动的特点

(1)从静止开始，即初速度为零．(2)物体只受重力作用．自由落体运动是一个初速度为零的匀加速直线运动． 2．重力加速度：自由落体的加速度叫做重力加速度，用g表示，它的大小约为9.8 m/s，方向竖直向下． (1)重力加速度是由于地球的引力产生的，地球上不同的地方g的大小不同，赤道上的重力加速度比在两极的要小． (2)重力加速度的大小会随位置的改变而变化，但变化量不大，所以我们在今后的计算中，认为其为一定值，常用9.8

2

m/s2，在粗略的计算中也可以取10 m/s2.

(3)自由落体运动是初速度为0，加速度为g的匀加速直线运动．匀变速直线运动的一切规律，对自由落体运动都是适122

用的．v＝gt，h＝gt，v＝2gh.另外，初速度为零的匀加速运动的比例式对自由落体运动也是适用的．

2【例1】 从离地500 m的高空自由落下一个小球，g取10 m/s，求：

(1)经过多长时间落到地面；(2)从开始下落时刻起，在第1 s内的位移大小、最后1 s内的位移大小；(3)落下一半时间时的位移大小．

[针对训练] 一矿井深125 m，在井口每隔一定时间自由落下一个小球．当第11个小球刚从井口开始下落时，第1个小球恰好到达井底．则相邻两小球开始下落的时间间隔为________ s，这时第3个小球和第5个小球相距________ m. 二、竖直上抛运动

1．竖直上抛运动问题的处理方法

(1)分段法 可以把竖直上抛运动分成上升阶段的匀减速直线运动和下降阶段的自由落体运动处理． (2)整体法 将竖直上抛运动视为初速度为v0，加速度为－g的匀减速直线运动． 2．竖直上抛运动的重要特性

(1)对称性 ①时间对称性：上升过程和下降过程时间相等②速度对称性：上升过程和下降过程通过同一点时速度大小相等

(2)多解性 通过某一点对应两个时刻，即：物体可能处于上升阶段，也可能处于下降阶段． 【例2】某物体以30 m/s的初速度竖直上抛，不计空气阻力，g取10 m/s.5 s内物体的( ) A．路程为65 m B．位移大小为25 m，方向向上

2

2

C．速度改变量的大小为10 m/s D．平均速度大小为13 m/s，方向向上

[针对训练] 王兵同学利用数码相机连拍功能(此相机每秒连拍10张)，记录下北京奥运会跳水比赛中小将陈若琳和王鑫在10 m跳台跳水的全过程．所拍摄的第一张恰为她们起跳的瞬间，第四张如图2甲所示，王兵同学认为这是她们在最高点；第十九张如图2乙所示，她们正好身体竖直双手触及水面．设起跳时她们的重心离台面的距离和触水时她们的重心离水面的距离相等．由以上材料(g取10 m/s)(1)估算陈若琳的起跳速度；(2)分析第四张照片是在最高点吗？如果不是，此时重心是处于上升还是下降阶段？

一．选择题

1．从某高处释放一粒小石子，经过1 s从同一地点再释放另一粒小石子，则在它们落地之前，两粒石子间的距离将( ) A．保持不变 B．不断增大 C．不断减小 D．有时增大，有时减小

2．一物体从某一行星表面竖直向上抛出(不计空气阻力)．设抛出时t＝0，得到物体上升高度随时间变化的h－t图象如图所示，则该行星表面重力加速度大小与物体被抛出时的初速

2

度大小分别为( )

A．8 m/s2, 20 m/s B．10 m/s2, 25 m/s C．8 m/s2, 25 m/s D．10 m/s2, 20 m/s

3．如下图所示，在高空中有四个小球，在同一位置同时以速率v向上、向下、向左、向右被射出，不考虑空气阻力，经过1 s后四个小球在空中的位置构成的图形正确的是(

)

4．A、B两小球从不同高度自由下落，同时落地，A球下落的时间为t，B球下落的时间为t/2，当B球开始下落的瞬间，A、B两球的高度差为( )

331

A．gt2 B.gt2 C.2 D2

844

5．在地质、地震、勘探、气象和地球物理等领域的研究中，需要精确的重力加速度g值，g值可由实验精确测定．近年来测g值的一种方法叫“对称自由下落法”，它是将测g值归于测长度和时间，以稳定的氦氖激光的波长为长度标准，用光学干涉的方法测距离，以铷原子钟或其他手段测时间，能将g值测得很准，具体做法是：将真空长直管沿竖直方向放置，自其中O点向上抛小球又落至原处的时间为T2，在小球运动过程中经过比O点高H的P点，小球离开P点至又回到P点所用的时间为T1，测得T1、T2和H，可求得g等于( )

8H4H8HH

A B. C. D.T2－T1T2－T1T2－T14T2－T16．(2012·郑州质量预测)将一小球竖直向上抛出，小球到达最高点前的最后一秒和离开最高点后的第一秒时间内通过的路程分别为x1和x2，速度变化量的大小分别为Δv1和Δv2，假设小球所受空气阻力大小不变，则下列表述正确的是 ( )

A．x1>x2，Δv1Δv2 C．x1x2，Δv1>Δv2 7.(2013年苏州模拟)如图所示是木星的一个卫星——木卫1上面的珞矶火山喷发的情景，图片中的英文单词Eruption意思是“火山喷发”．经观测火山喷发出岩块上升高度可达250 km，每一块石头的留空时间为1 000 s．已知在距离木卫1表面几百千米的范围内，木卫1的重力加速度g木卫可视为常数，而且在木卫1上没有大气．则据此可求出g木卫与地球表面重力加速度

g(g＝10 m/s2)的关系是( )

111A．g木卫＝g B．g木卫 C．g木卫＝g D．g木卫＝g

2520

8．(2013年抚顺模拟)我国是一个能源消耗大国，节约能源刻不容缓．设有一架直升机以加速度a从地面由静止开始竖直向上起飞，已知飞机在上升过程中每秒钟的耗油量V＝pa＋q(p、q均为常数，a为向上的加速度)，若直升机欲加速上升到某一高度处，且耗油量最小，则其加速度大小应为( ) A. B. C.

p

qqpp＋qp＋q

pq

9．(2012年高考上海卷)小球每隔0.2 s从同一高度抛出，做初速为6 m/s的竖直上抛运动，设它们在空中不相碰．第一个小球在抛出点以上能遇到的小球数为(取g＝10 m/s2)( ) A．三个 B．四个 C．五个

D．六个

10．以35 m/s的初速度竖直向上抛出一个小球，不计空气阻力，g取10 m/s2。 以下判断正确的是( ) A．小球到最大高度时的速度为0 B．小球到最大高度时的加速度为0 C．小球上升的最大高度为61.25 m D．小球上升阶段所用的时间为3.5 s

11．蹦床运动要求运动员在一张绷紧的弹性网上蹦起、腾空并做空中运动。为了测量运动员跃起的高度，训练时可在弹性网上安装压力传感器，利用传感器记录弹性网所受的压力，并在计算机上作出压力—时间图象，假如作出的图象如图所示。设运动员在空中运动时可视为质点，则运动员跃起的最大高度是(g取10 m/s) ( )

A．1.8 m B．3.6 m C．5.0 m D．7.2 m

12、（2013云南玉溪一中质检）从地面竖直上抛一物体A，同时在离地面某一高度处有一物体B自由下落，两物体在空中同时到达同一高度时速度大小均为v，则下列说法正确的是 ( )

A．A上抛的初速度与B落地时速度大小相等，都是2v B．两物体在空中运动的时间相等

C．A上升的最大高度与B开始下落时的高度相同D．两物体在空中同时达到的同一高度处一定是B开始下落时高度的中点 二．计算题

1.(2013年湖北八校联考)假期中，小芳乘坐火车外出旅游，当火车在一段平直轨道上匀加速行驶时，她用身边的器材测量火车的加速度．小芳的测量过程如下：她一边看着窗外间隔100 m的路标，一边用手表记录着时间．她观测到她所在车厢从第一根路标到经过第二根路标的时间间隔为12 s，从经过第一根路标到经过第三根路标的时间间隔为22 s．请你根据她的测量情况，求：(1)火车的加速度大小；(保留三经过位有效数字)(2)火车经过第三根路标时的速度大小．(保留三位有效数字)

2.某校一课外活动小组自制一枚火箭，设火箭发射后，始终在垂直于地面的方向上运动．火箭点火后可认为做匀加速直线运动，经过4 s到达离地面40 m高处时燃料恰好用完，若不计空气阻力，取g＝10 m/s2，求：(1)燃料恰好用完时火箭的速度；(2)火箭上升离地面的最大高度；(3)火箭从发射到残骸落向地面过程的总时间．

3.如图所示，长为0.5 m的圆筒AB悬挂于天花板上，在AB的正下方有直径小于圆筒内径的小钢球C，C距圆筒下端B的距离h＝2 m.某时刻烧断悬挂AB的悬绳，同时将小钢球C以v0＝20 m/s的初速度竖直上抛.空气阻力不计，取g＝10 m/s2，求小钢球C从圆筒AB中穿过的时间.

4.如图所示，是某型号全液体燃料火箭发射时第一级发动机工作时火箭的a – t图象，开始时的加速度曲线比较平滑，在120 s的时候，为了把加速度限制在4g以内，第一级的推力降至60%，第一级的整个工作时间为200s．由图线可以看出，火箭的初始加速度为15 m/s2，且在前50 s内，加速度可以看做均匀变化，试计算：

⑴ t = 50 s时火箭的速度大小；⑵ 如果火箭是竖直发射的，在t = 10 s前看成匀加速运动，则t =10 s时离地面的高度是多少？如果此时有一碎片脱落，不计空气阻力，碎片将需多长时间落地？（取g = 10 m/s2，结果可用根式表示）

5.(2011年高考新课标全国卷)甲、乙两辆汽车都从静止出发做加速直线运动，加速度方向一直不变．在第一段时间间隔内，两辆汽车的加速度大小不变，汽车乙的加速度大小是甲的两倍；在接下来的相同时间间隔内，汽车甲的加速度

大小增加为原来的两倍，汽车乙的加速度大小减小为原来的一半．求甲、乙两车各自在这两段时间间隔内走过的总路

2

程之比．

变式1 ⑴ 因为在前50 s内，加速度可以看做均匀变化，则加速度图线是倾斜的直线，它与时间轴所围的面积就表示

该时刻的速度大小，所以有：v = (1/2)(15＋20)×50 m/s = 875 m/s． ⑵ 如果火箭是竖直发射的，在t = 10 s前看成匀加速运动，则t = 10 s时离地面的高度是h=at2/2 =(1/2)×15×102 m

1

= 750 m，如果有一碎片脱落，它的初速度v1＝at＝150 m/s，离开火箭后做竖直上抛运动，有－h = v1t－gt2，代入

2数据解得t＝5(315) s，t′＝5(3－15) s舍去．

5.如图所示，长为0.5 m的圆筒AB悬挂于天花板上，在AB的正下方有直径小于圆筒内径的小钢球C，C距圆筒下端B的距离h＝2 m.某时刻烧断悬挂AB的悬绳，同时将小钢球C以v0＝20 m/s的初速度竖直上抛.空气阻力不计，取g＝10 m/s2，求小钢球C从圆筒AB中穿过的时间.

解析：解法一 取C上抛位置处为位移参考点，向上为正方向，则： 1

sA＝h＋l－gt2

21

sB＝h－gt2

21

sC＝v0t－gt2

2

故C与B相遇的时刻有：sB＝sC h

解得：t1＝＝0.1 s

v0

C与A相遇的时刻有：sA＝sC h＋l

解得：t2＝0.125 s

v0

故C从AB中穿过的时间Δt＝t2－t1＝0.025 s. 解法二 考虑圆筒与钢球的速度，则： vAB＝－gt，vC＝v0－gt

故它们的相对速度v相＝vC－vAB＝v0

l

所以C从AB中穿过的时间Δt＝0.025 s.

v相

答案：0.025 s

匀变速直线运动规律应用（二） 一、自由落体运动

1．自由落体运动的特点

(1)从静止开始，即初速度为零．(2)物体只受重力作用．自由落体运动是一个初速度为零的匀加速直线运动． 2．重力加速度：自由落体的加速度叫做重力加速度，用g表示，它的大小约为9.8 m/s2，方向竖直向下．

(1)重力加速度是由于地球的引力产生的，地球上不同的地方g的大小不同，赤道上的重力加速度比在两极的要小． (2)重力加速度的大小会随位置的改变而变化，但变化量不大，所以我们在今后的计算中，认为其为一定值，常用9.8 m/s2，在粗略的计算中也可以取10 m/s2.

(3)自由落体运动是初速度为0，加速度为g的匀加速直线运动．匀变速直线运动的一切规律，对自由落体运动都

1

是适用的．v＝gt，h＝2，v2＝2gh.另外，初速度为零的匀加速运动的比例式对自由落体运动也是适用的．

2

【例1】 从离地500 m的高空自由落下一个小球，g取10 m/s2，求： (1)经过多长时间落到地面；

(2)从开始下落时刻起，在第1 s内的位移大小、最后1 s内的位移大小； (3)落下一半时间时的位移大小．

答案 (1)10 s (2)5 m 95 m (3)125 m

2×5001解析 (1)由位移公式x2，得落地时间t s＝10 s.

2g101112122

(2)第1 s内的位移：x1＝gt21＝10×1 m＝5 m，前9 s内的位移为：x9＝gt9＝×10×9 m＝405 m，最后1 s内2222的位移等于总位移和前9 s内位移的差，即x10＝x－x9＝(500－405) m＝95 m.

11

(3)落下一半时间即t′＝5 s，其位移x′＝gt′2＝×10×52 m＝125 m.

22

[针对训练1] 一矿井深125 m，在井口每隔一定时间自由落下一个小球．当第11个小球刚从井口开始下落时，第1个小球恰好到达井底．则相邻两小球开始下落的时间间隔为________ s，这时第3个小球和第5个小球相距________ m.

答案 0.5 35 二、竖直上抛运动

1．竖直上抛运动问题的处理方法 (1)分段法

可以把竖直上抛运动分成上升阶段的匀减速直线运动和下降阶段的自由落体运动处理． (2)整体法

将竖直上抛运动视为初速度为v0，加速度为－g的匀减速直线运动． 2．竖直上抛运动的重要特性 (1)对称性

①时间对称性：上升过程和下降过程时间相等

②速度对称性：上升过程和下降过程通过同一点时速度大小相等 (2)多解性

通过某一点对应两个时刻，即：物体可能处于上升阶段，也可能处于下降阶段．

【例2】某物体以30 m/s的初速度竖直上抛，不计空气阻力，g取10 m/s2.5 s内物体的( ) A．路程为65 m

B．位移大小为25 m，方向向上 C．速度改变量的大小为10 m/s

D．平均速度大小为13 m/s，方向向上 答案 AB

[针对训练2] 王兵同学利用数码相机连拍功能(此相机每秒连拍10张)，记录下北京奥运会跳水比赛中小将陈若琳和王鑫在10 m跳台跳水的全过程．所拍摄的第一张恰为她们起跳的瞬间，第四张如图2甲所示，王兵同学认为这是她们在最高点；第十九张如图2乙所示，她们正好身体竖直双手触及水面．设起跳时她们的重心离台面的距离和触水时她们的重心离水面的距离相等．由以上材料(g取10 m/s2)

(1)

估算陈若琳的起跳速度；

(2)分析第四张照片是在最高点吗？如果不是，此时重心是处于上升还是下降阶段？

图2

答案 (1)3.4 m/s (2)不是 上升阶段

1．从某高处释放一粒小石子，经过1 s从同一地点再释 放另一粒小石子，则在它们落( )

A．保持不变 B．不断增大

地之前，两粒石子间的距离将

C．不断减小 D．有时增大，有时减小 答案：B

2．一物体从某一行星表面竖直向上抛出(不计空气阻力)．设抛出时t＝0，得到物体上升高度随时间变化的h－t图象如图4所示，则该行星表面重力加速度大小与物体被抛出时的初速度大小分别为(

)

图4

2,

2,

A．8 m/s20 m/s B．10 m/s25 m/s C．8 m/s2,25 m/s D．10 m/s2,20 m/s 答案 A

5．如下图所示，在高空中有四个小球，在同一位置同时以速率v向上、向下、向左、向右被射出，不考虑空气阻力，经过1 s后四个小球在空中的位置构成的图形正确的是(

)

答案 A

6．A、B两小球从不同高度自由下落，同时落地，A球下落的时间为t，B球下落的时间为t/2，当B球开始下落的瞬间，A、B两球的高度差为( )

331

A．gt2 B.gt2 C.gt2 D.2

844

答案 D 7．在地质、地震、勘探、气象和地球物理等领域的研究中，需要精确的重力加速度g值，g值可由实验精确测定．近年来测g值的一种方法叫“对称自由下落法”，它是将测g值归于测长度和时间，以稳定的氦氖激光的波长为长度标准，用光学干涉的方法测距离，以铷原子钟或其他手段测时间，能将g值测得很准，具体做法是：将真空长直管沿竖直方向放置，自其中O点向上抛小球又落至原处的时间为T2，在小球运动过程中经过比O点高H的P点，小球离开P点至又回到P点所用的时间为T1，测得T1、T2和H，可求得g等于( )

8H4HA. B.T2－T1T2－T1

8HHC. D.T2－T14T2－T1答案 A

2．(2012·郑州质量预测)将一小球竖直向上抛出，小球

到达最高点前的最后一秒和离开最高点后的第一秒时间内通过的路程分别为x1和x2，速度变化量的大小分别为Δv1和Δv2，假设小球所受空气阻力大小不变，则下列表述正确的是 ( ) A．x1>x2，Δv1Δv2 C．x1x2，Δv1>Δv2 答案：D

2．(2013年苏州模拟)如图所示是木星的一个卫星——木卫1上面的珞矶火山喷发的情景，图片中的英文单词Eruption意思是“火山喷发”．经观测火山喷发出岩块上升高度可达250 km，每一块石头的留空时间为1 000 s．已知在距离木卫1表面几百千米的范围内，木卫1的重力加速度g木卫可视为常数，而且在木卫1上没有大气．则据此可求出g木卫与地球表面重力加速度g(g＝10 m/s2)的关系是( )

A．g木卫＝g 1

C．g木卫＝5g

1

B．g木卫＝2 1

D．g木卫＝20

1

解析：一块石头的留空时间为1 000 s，石头上升或下落时间为500 s，根据h＝2木卫t2，解得g木卫

＝2 m/s2，C正确．

答案：C

5．(2013年抚顺模拟)我国是一个能源消耗大国，节约能源刻不容缓．设有一架直升机以加速度a从地面由静止开始竖直向上起飞，已知飞机在上升过程中每秒钟的耗油量V＝pa＋q(p、q均为常数，a为向上的加速度)，若直升机欲加速上升到某一高度处，且耗油量最小，则其加速度大小应为( )

pA.q p＋qC.p

1

解析：飞机匀加速上升，则H＝2at2， 耗油总量V0＝Vt＝(pa＋q)t. 联立得V0＝2Ha＋当2Ha＝答案：B

3．(2012年高考上海卷)小球每隔0.2 s从同一高度抛出，做初速为6 m/s的竖直上抛运动，设它们在空中不相碰．第一个小球在抛出点以上能遇到的小球数为(取g＝10 m/s2)( ) A．三个 B．四个 C．五个 D．六个 答案：C

(2012·淮南模拟)如图1－3－4所示，一杂技演员用一只手抛球、接球，他每隔0.4 s抛出一球，接到球便立即把球抛出。已知除抛、接球的时刻外，空中总有4个球，将球的运动近似看做是竖直方向的运动，球到达的最大高度是(高度从抛球点算起，取g＝10 m/s2)( )

q

B.pp＋qD.q2Ha，

q时，V有最小值，即a＝0ap

图1－3－4

A．1.6 m C．3.2 m [答案] C

2．以35 m/s的初速度竖直向上抛出一个小球，不计空气

阻力，g取10 m/s2。 以下判断正确的是 ( ) A．小球到最大高度时的速度为0 B．小球到最大高度时的加速度为0 C．小球上升的最大高度为61.25 m D．小球上升阶段所用的时间为3.5 s 答案：ACD

4．蹦床运动要求运动员在一张绷紧的弹性网上蹦起、腾

空并做空中运动。为了测量运动员跃起的高度，训练时可在弹性网上安装压力传感器，利用传感器记录弹性网所受的压力，并在计算机上作出压力—时间图象，假如作出的图象如图1－3－6所示。设运动员在空中运动时可视为质点，

B．2.4 m D．4.0 m

则运动员跃起的最大高度是(g取10 m/s2) ( )A．1.8 m C．5.0 m 答案：C

B．3.6 m D．7.2 m

5、（2013云南玉溪一中质检）从地面竖直上抛一物体A，同时在离地面某一高度 处有一物体B自由下落，两物体在空中同时到达同一高度时速度大小均为v， 则下列说法正确的是 ( )

A．A上抛的初速度与B落地时速度大小相等，都是2v B．两物体在空中运动的时间相等

C．A上升的最大高度与B开始下落时的高度相同

D．两物体在空中同时达到的同一高度处一定是B开始下落时高度的中点

AC

(16分)某校一课外活动小组自制一枚火箭，设火箭发射后，始终在垂直于地面的方向上运动．火箭点火后可认为做匀加速直线运动，经过4 s到达离地面40 m高处时燃料恰好用完，若不计空气阻力，取g＝10 m/s2，求：

(1)燃料恰好用完时火箭的速度； (2)火箭上升离地面的最大高度；

(3)火箭从发射到残骸落向地面过程的总时间．

[答案] (1)20 m/s (2)60 m (3)(6＋3) s

10．2010年冰岛火山喷发，火山灰尘给欧洲人民的生活带来了很大的影响．假设一灰尘颗粒开始以4 m/s2的加速度从地面竖直上升，10 s末，忽然失去所有向上的推动力，灰尘颗粒只在重力作用下运动，则该颗粒最高可上升到距地面多高处？此颗粒失去推动力后经多长时间落回地面？(g取10 m/s2)

答案 280 m 11.48 s

4．(2013年德州模拟)在竖直的井底，将一物块以11 m/s的速度竖直地向上抛出，物块冲过井口时被人接住，在被人接住前1 s内物块的位移是4 m，位移方向向上，不计空气阻力，g取10 m/s2，求：

(1)物块从抛出到被人接住所经历的时间； (2)此竖直井的深度．

解析：(1)设被人接住前1 s时刻物块的速度为v，则： 1

h′＝vt′－2′2

11

h′＋2gt′24＋2×10×12

故v＝m/s＝9 m/s

1t′则物块从抛出到被人接住所用总时间为 t＝

v－v09－11

＋t′＝s＋1 s＝1.2 s. －g－10

(2)竖直井的深度为

11

h＝v0t－2gt2＝11×1.2 m－210×1.22 m＝6 m. 答案：(1)1.2 s (2)6 m

一矿井深为125 m，在井口每隔一定时间自由下落一个小球，当第11个小球刚从井口下落时，第1个小球恰好到井底。求：(g取10 m/s2)

(1)相邻两个小球开始下落的时间间隔； (2)这时第3个小球和第5个小球相隔的距离。

解析：(1)设相邻两个小球开始下落的时间间隔为Δt，由题意可知，第1个小球下落到井底的时间为t＝10Δt。 1

由h＝gt2，解得：t＝5 s。Δt＝0.5 s。

2

(2)此时第3个小球与第5个小球的距离等于第1个小球第4 s内下降的距离。 7

即Δh＝h＝35 m。

1＋3＋5＋7＋9答案：(1)0.5 s (2)35 m

[例1] (2011年高考新课标全国卷)甲、乙两辆汽车都从静止出发做加速直线运动，加速度方向一直不变．在第一段时间间隔内，两辆汽车的加速度大小不变，汽车乙的加速度大小是甲的两倍；在接下来的相同时间间隔内，汽车甲的加速度大小增加为原来的两倍，汽车乙的加速度大小减小为原来的一半．求甲、乙两车各自在这两段时间间隔内走过的总路程之比． [答案] 5∶7