整式的除法教案(二)

1．9．2 整式的除法（二）

●课 题

§1．9．2 整式的除法（二）

●教学目标

（一）教学知识点

1．多项式除以单项式的运算法则及其应用．

2．多项式除以单项式的运算算理．

（二）能力训练要求

1．经历探索多项式除以单项式的运算法则的过程，会进行多项式除以单项式的除法运算．

2．理解多项式除以单项式的除法算理，发展有条理的思考及其表达能力．

（三）情感与价值观要求

1．经历探索多项式除以单项式的运算法则的过程，获得成功的体验，积累丰富的数学经验．

2．鼓励多样化的算法，培养学生的创新能力．

●教学重点

多项式除以单项式的运算法则的探索及其应用．

●教学难点

探索多项式除以单项式的运算法则的过程．

●教学方法

自主探索法

类比整数的除法：除以一个不等于0的数等于乘以这个数的倒数，凭借已经有的数学经验自主探索多项式除以单项式的运算法则，并能用语言有条理的思考及表达． ●教具准备

投影片四张

第一张：做一做，记作（§1．9．2 A）

第二张：议一议，记作（§1．9．2 B）

第三张：例3~5，记作（§1．9．2 C）

第四张：补充练习，记作（§1．9．2 D）

●教学过程

Ⅰ．创设情景，引入新课

出示投影片§1．9．2 A

1．任意给一个非零数，按下列程序计算下去，写出输出结果（如图1－26）．

图1－26

2．计算下列各题，说说你的理由．

（1）（ad +bd ）÷d = ；

（2）（a 2b +3ab ）÷a ；

（3）（xy 3－2xy ）÷（xy ）= ．

［师］任意给一个非零数，体会程序（算法）的思想．

［生］我输入m =3，按下列程序可输出3，即程序：m →m 2→m 2+m →m +1→m

如m =3→9→12→4→3；

m =4→16→20→5→4；

m =－1→1→0→0→－1．

［师］为什么按上述程序输入m 的值是几，输出的也是几？你能用算式说明其中的道理吗？

［生］上面的程序可用一个算式表示，即（m 2+m ）÷m －1．而算式中的（m 2+m ）÷m 是多项式除以单项式，……

Ⅱ．讲授新课

1．探求多项式除以单项式的除法法则

［师］上节课我们学习了单项式除以多项式，这节课我们就来学习多项式除以单项式．

凭同学们的数学经验，我们先来试着做第2题及（m 2+m ）÷m ．然后同学之间交流． ［生］我是这样考虑的，类比数的除法把除以单项式看成是乘这个单项式的倒数，即：

（1）（ad +bd ）÷d =（ad +bd ）×

=ad bd +（利用乘法分配律） d d 1 d

=a +b

（2）（a 2b +3ab ）÷a

1 a

11=a 2b ×+3ab ×（利用乘法分配律） a a =（a 2b +3ab ）×

a 2b 3ab =+ a a

=ab +3b

（3）（xy 3－2xy ）÷（xy ）

=（xy 3－2xy ）×

=2xy xy 3－ xy xy 1 xy

=y 2－2

同样道理，按1题给出的程序为什么输进m 是几，输出也是几呢？

原因是（m 2+m ）÷m －1

=（m 2+m ）×

=m 2m +－1 m m 1－1 m

=m ．

［生］上面各题的计算，我利用乘法和除法互为逆运算得出，即我们要想计算出（1）中（ad +bd ）÷d 是多少，试着想一下：（ ）×d =ad +bd ．逆用乘方分配律就可以得出：（a +b ）×d =ad +bd ，所以（ad +bd ）÷d =a +b ；

同理，（2）题，由于（ab +3b ）×a =a 2b +3ab ，所以（a 2b +3ab ）÷a =ab +3b ；

（3）题，由于（y 2－2）×xy =xy 3－2xy ．所以（xy 3－2xy ）÷xy =y 2－2．

［师生共析］从以上两个同学的分析，不难得出：

（1）（ad +bd ）÷d =a +b =ad ÷d +bd ÷d ；

（2）（a 2b +3ab ）÷a =ab +3b =a 2b ÷a +3ab ÷a ；

（3）（xy 3－2xy ）÷（xy ）=y 2－2=xy 3÷（xy ）－2xy ÷（xy ）．

由此，你可以得出什么样的结论？

（出示投影片§1．9．2 B）

议一议：如何进行多项式除以单项式的运算？

［生］多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加．

［生］其实多项式除以单项式的除法运算可以转化为单项式除以单项式的运算，只要注意每项前面的符号即可．

2．应用升华

出示投影片（§1．9．2 C）

［例3］计算：

（1）（6ab +8b ）÷（2b ）；

（2）（27a 3－15a 2+6a ）÷（3a ）；

（3）（9x 2y －6xy 2）÷（3xy ）；

（4）（3x 2y －xy 2+xy ）÷（－xy ）

解：（1）（6ab +8b ）÷（2b ）

=（6ab ）÷（2b ）+（8b ）÷（2b ）

=3a +4；

（2）（27a 3－15a 2+6a ）÷（3a ）

=（27a 3）÷（3a ）－（15a 2）÷（3a ）+（6a ）÷（3a ）

=9a 2－15a +2；

（3）（9x 2y －6xy 2）÷（3xy ）

=（9x 2y ）÷（3xy ）－（6xy 2）÷（3xy ）

=3x －2y ；

（4）（3x 2y －xy 2+xy ）÷（－xy ）

=（3x 2y ）÷（－xy ）－（xy 2）÷（－·xy ）+（ xy ）÷（－xy ）

=－6x +2y －1

［例4］计算

（1）（28a 3－14a 2+7a ）÷（7a ）；

（2）（36x 4y 3－24x 3y 2+3x 2y 2）÷（－6x 2y ）；

（3）［（2x +y ）2－y （y +4x ）－8x ］÷2x ．

分析：1．多项式除以单项式，被除式有几项，商仍有几项，不可丢项，其中（1）容易丢掉最后一项；2．可以利用乘除是互逆运算，检验计算是否正确；3．每一步运算都要求学生说出变形的依据；4．（4）题要分清运算顺序，把计算结果写完整．

解：（1）（28a 3－14a 2+7a ）÷（7a ）

=（28a 3）÷（7a ）－（14a 2）÷（7a ）+（7a ）÷（7a ）

=4a 2－2a +1

（2）（36x 4y 3－24x 3y 2+3x 2y 2）÷（－6x 2y ）

=（36x 4y 3）÷（－6x 2y ）－（24x 3y 2）÷（－6x 2y ）+（3x 2y 2）÷（－6x 2y ）

=－6x 2y 2+4xy －y

（3）［（2x +y ）2－y （y +4x ）－8x ］÷（2x ）

=［4x 2+4xy +y 2－y 2－4xy －8x ］÷（2x ）

=［4x 2－8x ］÷（2x ）

=（4x 2）÷（2x ）－（8x ）÷（2x ）

=2x －4

Ⅲ．随堂练习

1．计算

（1）（3xy +y ）÷y ；

（2）（ma +mb +mc ）÷m ； [***********]

（3）（6c 2d －c 3d 3）÷（－2c 2d ）；

（4）（4x 2y +3xy 2）÷（7xy ）．

解：（1）（3xy +y ）÷y

=3xy ÷y +y ÷y

=3x +1

（2）（ma +mb +mc ）÷m

=ma ÷m +mb ÷m +mc ÷m

=a +b +c

（3）（6c 2d －c 3d 3）÷（－2c 2d ）

=（6c 2d ）÷（－2c 2d ）－（c 3d 3）÷（－2c 2d ）

=－3+cd 2

（4）（4x 2y +3xy 2）÷（7xy ）

=（4x 2y ）÷（7xy ）+（3xy 2）÷（7xy ） =x +y

2．补充练习（出示投影片§1．9．2 D）

（1）（3x 2－x ）÷x ；

（2）（24m 3n －16m 2n 2+mn 3）÷（－8m ）；

（3）［（x +1）（x +2）－2］÷x ．

（由学生板演，师生一同订正错误）

解：（1）（3x 2－x ）÷x =（3x 2）÷x －x ÷x

=3x －1

（2）（24m 3n －16m 2n 2+mn 3）÷（－8m ）

=（24m 3n ）÷（－8m ）－16m 2n 2÷（－8m ）+mn 3÷（－8m ）

=－3m 2n +2mn 2－n 3．

（3）［（x +1）（x +2）－2］÷x

=［x 2+2x +x +2－2］÷x

=［x 2+3x ］÷x =x +3

Ⅳ．课时小结

［师］本节课我们学习了多项式除以单项式的运算法则，你有何感想？

［生］多项式除以单项式实际上把除法转化为乘法及乘法分配律的应用．

［师］多项式除以单项式实际是转化为单项式除以单项式进行计算的．

［生］我认为计算完，可以检验，防止丢项或其他符号错误．

……

Ⅴ．课后作业

1．课本P50、习题1.16．

2．继续上节课刷牙用水的调查，收集数据、整理．假如一个人一天刷牙两次，并且每次刷牙时都不关水龙头，利用你的数据估计一年里你们班所有同学刷牙时流失水的数量，全中国人一年呢？

Ⅵ．活动与探究 11－）0与（）1（a >0）的大小． a a

111－－［过程］因为a ≠0，所以（）0=1，只需比较（）1和1的大小即可，而（）a a a 12473718比较（

1=1=a ，所以只要比较a 和1的大小即可． 1

a

11－［结果］若a >1，即（）1>（）0； a a

11－若a =1，即（）1=（）0； a a

若0

●板书设计 11－）1

§1．9．2 整式的除法（二）

一、用特例探究多项式除以单项式的运算法则

多项式除以单项式−把除法转化为乘法−−−−−−−−→转化成单项式除以单项式，再把商相加． 利用乘法分配律

二、例题讲解

例3（略）

三、随堂练习

四、小结：（注意事项）

1．防止丢项．

2．防止符号出错．

3．用互为逆运算检查．

●备课资料

一、参考例题

［例1］计算：

（1）（36x 6－24x 4+12x 3）÷12x 2．

（2）（64x 5y 6－48x 4y 4－8x 2y 2）÷（－8x 2y 2）．

（3）［（3x +2y ）（3x －2y ）－（x +2y ）（5x －2y ）］÷（4x ）．

（4）［3（a －b ）3－2（a －b ）2－（a －b ）］÷（a －b ）．

解：（1）原式=36x 6÷12x 2－24x 4÷12x 2+12x 3÷12x 2

=3x 4－2x 2+x

（2）原式=64x 5y 6÷（－8x 2y 2）－48x 4y 4÷（－8x 2y 2）－8x 2y 2÷（－8x 2y 2） =－8x 3y 4+6x 2y 2+1

（3）原式=［（9x 2－4y 2）－（5x 2+8xy －4y 2）］÷4x

=（9x 2－4y 2－5x 2－8xy +4y 2）÷4x

=（4x 2－8xy ）÷4x

=x －2y

（4）原式=3（a －b ）3÷（a －b ）－2（a －b ）2÷（a －b ）－（a －b ）÷（a －b ） =3（a －b ）2－2（a －b ）－1

=3（a 2－2ab +b 2）－2（a －b ）－1

=3a 2－6ab +3b 2－2a +2b －1

二、参考练习

1．填空题

（1）6x 2÷（－2x ）= ．

（2）8x 6y 4z ÷x 2y 2．

（3）（xy 2－4x 3y 2）÷（－2xy 2）= ．

（4）（5a 3b 2+10a 2b 3）÷ =a +2b ．

（5）（ ）÷（3a 2b 3）=2a 3b 2－a 2b +3．

（6）［6a 2b 2a +b －1．

2．选择题

（1）下列计算，结果正确的是（ ）

A ．8x 6÷2x 2=4x 3

B ．10x 6÷5x 3=x 3

C ．（－2x 2y 2）3÷（－xy ）3=－2x 3y 3

D ．（－xy 2）2÷（－x 2y ）=－y 3

（2）若x m y n ÷x 3y =4x 2，则（ ）

A ．m =6，n =1 B ．m =5，n =1 141223

C ．m =5，n =0 D ．m =6，n =0

（3）计算正确的是（ ）

A ．（9x 4y 3－12x 3y 4）÷3x 3y 2=3xy －4xy 2

B ．（28a 3－14a 2+7a ）÷7a =4a 2－2a +7a

C ．（－4a 3+12a 2b －7a 3b 2）÷（－4a 2）=a －3b +ab 2

D ．（25x 2+15x 2y －20x 4）÷（－5x 2）=－5－3xy +4x 2

3．计算

（1）（102）3×104÷（－103）3．

（2）［（x +y ）（x －y ）－（x －y ）2+2y （x －y ）］÷4y ． 答案：1．（1）－3x （2）2x 4y 2z

（3）－+2x 2 （4）5a 2b 2

（5）6a 5b 5－3a 4b 4+9a 2b 3

（6）2ab 3，－2ab 2，2ab 2

2．（1）D （2）B （3）C

3．（1）－10 （2）x －y 1374