九年级数学相似三角形的判定
一．教学目标
复习比例线段，平行线分线段成比例，相似三角形的性质和判定
二、知识要点
1、比例基本性质：
a c
=⇔ad =bc (a , b , c , d 都不为零) b d
2、两条线段的长度的比叫做这两条线段的比。
3、四条线段a,b,c,d 中，如果a 与b 的比等于c 与d 的比，即简称比例线段。
a c
=，那么这四条线段a,b,c,d 叫做成比例线段，b d
a b a b 2
，则b 就叫做a,c 的比例中项，=⇔b =ac =（或a :b =b :c ）
b c b c
PB AP
=5、如果点P 分线段AB 分成两条线段AP 和PB 使，那么称线段AB 被点P 黄金分割，点P 叫做线段AB 的黄AP AB
4、如果三个数a,b,c 满足比例式
金分割点，线段AP 与AB 的比叫做黄金比。
6、对应角相等，对应边成比例的两个三角形，叫做相似三角形。
7、相似三角形性质：相似三角形的对应角相等，对应边成比例。对应中线、高、角平分线都成比例。 8、相似三角形对应边的比，叫做两个相似三角形的相似比。
9个基本图形。 10、三角形相似判定：（1）有两个角对应相等的两个三角形相似。
（2）两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似。（边角边相似） （3）三边对应成比例的两个三角形相似。
C 11、相似三角形的周长和面积的性质： （1）相似三角形的周长之比等于相似比；
（2）相似三角形的面积之比等于相似比的平方。 12、两个相似三角形的对应高之比也等于相似比。
D A
A
13、射影定理。
B D
CD =AD ⨯DB , AC =AD ⨯AB
CB 2=DB ⨯AB
B
22
E
1D C
2B
D 4
E
D C
A
B
E
14、三角形的重心：三条中线交与一点，2:1。
E
15、重心:三角形顶点与对边中点的连线交于一点, 称为三角形重心; 垂心:三角形各边上的高交于一点, 称为三角形垂心; B C 外心:三角形各边上的垂直平分线交于一点, 称为三角形外心; 内心:三角形三内角平分线交于一点, 称为三角形内心;
中心:正三角形的重心、垂心、外心、内心重合，称为正三角形的中心。
16、对应角相等，对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形，相似多边形的对应边的比也叫做相似比。 17、相似多边形性质：相似多边形的周长之比等于相似比；相似多边形的面积之比等于相似比的平方。
C
二．例题精讲
如何应用相似三角形证明比例式和乘积式
1
例1、△ABC 中，在AC 上截取AD ，在CB 延长线上截取BE ，使AD=BE，
求证：DF ×AC=BC×FE
解题指导：碰到乘积式，化为比例式，找2个三角形相似。当发现不能找到2个相似三角形的时候，巧添平行线构造相似。
巩固训练 在△ABC 中，D 为AC 上一点，E 为CB 延长线上一点，且
例2：如图△ABC 中，AD 为中线，CF 为任一直线，CF 交AD 于E ，交AB 于F ，求证：AE ：ED=2AF：FB 。 解题指导：碰到结论中有2倍的关系，找中点。 补充知识：若AD 是角平分线，则有
例3：已知：如图，在△ABC 中，∠BAC=90°，M 是BC 的中点，DM ⊥BC 于点E ，交BA 的延长线于点D 。
AC EF
=, 求证AD=EB BC DF
AB BD
= AC DC
D
A
B
M
C
E
AE 2ME
=求证：（1）MA =MD*ME；（2）
AD 2MD
2
解题指导：有2个小题时，第二小题的证明都要用到第一小题的相似的结论或全等的结论。
如何用相似三角形证明两角相等、两线平行和线段相等。
A
F
D
G
E 2
例4：已知：如图E 、F 分别是正方形ABCD 的边AB 和AD 上的点，且解题指导：证明角相等、线段相等的方法：全等或相似。
相似与圆结合的题型（充分利用圆周角相等找相等的角）
EB AF 1
==。求证：∠AEF=∠FBD AB AD 2
例5、如图①，△ABC内接于⊙0，且∠ABC ＝∠C ，点D 在弧BC 上运动．过点D 作DE∥BC．DE 交直线AB 于点E ，连结BD ．
2
(1)求证：∠ADB=∠E ； (2)求证：AD =AC·AE；
(3)当点D 运动到什么位置时，△DBE∽△ADE请你利用图②进行探索和证明 A A
图1 图2
三、基础达标
1、如图判断4×4方格中的两个三角形是否相似, 并说明理由.
2、如图,P 是△ABC 中AB 边上的一点, 要使△ACP ∽△ABC 需添加一个条件为
________________
3
3、如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与△ABC 相似的是（ ）
4、已知，如图，在△ABC 中，∠C=60，AD ⊥BC 于D ，BE ⊥AC 于E ， 试说明△CDE ∽△CBA 。
A
E
B
C
四、基础达标
5、下列说法“①凡正方形都相似；②凡等腰三角形都相似；③凡等腰直角三角形都相似；④直角三角形斜边上的中线与斜边的比为1∶2；⑤两个相似多边形的面积比为4∶9，则周长的比为16∶81. ”中, 正确的个数有（ ）个
A 、1 B 、2 C 、3 D 、4
6、如图，点M 在BC 上，点N 在AM 上，CM=CN，
AM BM
=，下列结论正确的是（ ） AN CM
A ．∆ABM ∽∆ACB B．∆ANC ∽∆AMB C．∆ANC ∽∆ACM D． ∆CMN ∽∆BCA
N
第6题
2
7、如图，矩形EFGH 内接于△ABC ，AD ⊥BC 于点D ，交EH 于点M ，BC ＝10㎝，AM ＝8㎝，S △ABC ＝100㎝。求矩形EFGH
A
的面积。 E M H
B C
G F D
2
8、如图2-84所示．在△ABC 内有一点P ，满足∠APB=∠BPC=∠CPA ．若2∠B=∠A+∠C ，求证：PB ＝PA ·PC ．(提示：设法证明△PAB ∽△PBC ．)
五、探究创新
4
9、如图2-85所示．D 是等腰直角三角形ABC 的直角边BC 的中点，E 在斜边AB 上，且AE ∶EB=2∶1．求证：CE ⊥AD ．
10、如图2-86所示．Rt △ABC 中，∠A=90°，AD ⊥BC 于D ，
2
P 为AD 的中点，延长BP 交AC 于E ，过E 作EF ⊥BC 于F ．求证：EF =AE·EC ．
11、在△ABC 中，E ，F 是BC 边上的两个三等分点，BM 是AC 边上的中线，AE ，AF 分别与BM 交于D ，G ． 求：BD ∶DG ∶GM ．
课前检查： 学生签字： 课后审核：
5