不等式知识点
不等式总结
一.知识要点回顾
1. 比较两个实数(式) 大小的方法和依据
1)一个事实:对于任意两个实数a 、b ,在a >b ,a= b,a <b 三种关系中有且仅有一种成立. 2)一个公理;
a >b ⇔a -b >0
;
a =b ⇔a -b =0
;
a
作差比较法:作差---变形---定号---下结论
2. 不等式的性质
1) 对称性: a>bbb,b>c => a>c 3) 同加性:a>b=>a+c>b+c
a >b ⎫
⎬⇒a +c >b +d 4) 同向不等式可加性:
c >d ⎭
5) 同乘性:a >b,c >
0⇒ac >bc ;a >b,c
a >b,ab >0⇒
11
1x
的范围是 -∞, -⎪⋃ , +∞⎪ 6) 同向同正不等式可乘性:
如:已知-2
⎛⎝1⎫2⎭⎛1⎝3⎫⎭
a >b >0⎫
⎬⇒ac >bd
c >d >0⎭
7) 同正不等式可乘方性:
a >b >0
⎫n n ⇒a >b 8) 同正不等式可开方性:
⎬*
n >1且n ∈N ⎭
a >b >0
⎫⇒>⎬*
n >1且n ∈N ⎭
练习: (上海理科13) 已知
为非零实数,且
,则下列命题成立的是(C )
A 、 B
、 C 、 D 、
2.已知f (x )=ax 2+b ,若1≤f (1)≤2,2≤f (2)≤3,求f (3)的范围.
解法1:整体代换.
令f (3)=9a +b =m (a +b )+n (4a +b )=(m +4n )a +(m +n )b ,
5⎧m =-, ⎪5⎧m +4n =9, 8⎪3
则⎨解得⎨即f (3)=-(a +b )+(4a +b ).
33⎩m +n =1, ⎪n =8,
⎪3⎩
因为1≤a +b ≤2,2≤4a +b ≤3, 所以2≤f (3)≤
1919,即f (3)的范围是[2,]. 33
解法2:巧妙换元.
令a +b =x ,4a +b =y , 则a =
y -x 4x -y
,b =,1≤x ≤2,2≤y ≤3. 33
因为f (3)=9a +b =
8y -5x
,6≤8y -5x ≤19, 3
所以2≤f (3)≤
1919,即f (3)的范围是[2,]. 33
2 .解不等式
(1)一元一次不等式
⎧
⎪x >
ax >b (a ≠0) ⎨
⎪x
b
(a >0) a b
(a
如1:不等式ax +bx+c>0的解集为{x|2<x <3 },则不等式ax -bx+c>0的解集为_____. 2)一元二次型不等式的恒成立问题有关不等式恒成立的常用结论:
⎧a >0
或a =0检验;ax 2+bx+c0对于任意的x 恒成立⇔⎨2
⎩b -4ac
2
⎧a
或a =0检验如2:意的x 恒成立⇔⎨2若函数y =ax -ax +1的
⎩b -4ac
定义域是R ,求实数a 的取值范围.
(3)解分式不等式:
⎧f (x )
>0⇔f (x ) ⋅g (x ) >0⎪⎪g (x ) ⎨f (x ) ⎧f (x ) ⋅g (x ) ≤0⎪≤0⇔⎨⎪⎩g (x ) ≠0⎩g (x )
四 解形如ax 2+bx+c>0的不等式时分类讨 论的标准有:
1、讨论a 与0的大小;2、讨论⊿与0的大小;3、讨论两根的大小; 解含参数的不等式:(1) (x – 2)(ax – 2)>0
(2)x 2 – (a +a 2) x +a 3>0;
(3)2x 2 +ax +2 > 0;
(5)一元二次方程根的分布问题:
方法:依据二次函数的图像特征从:开口方向、判别式、对称轴、
函数值三个角度列出不等式组,总之都是转化为一元二次不等式组求解. 二次方程根的分布问题的讨论:
⎧⎪f (k ) >0
1.x 1
⎪
⎨-b 2a 0
⎧⎪f (k ) >02.k
⎨-b >k ⎪2
a ⎪⎩∆>0
3.x 1
f (k )
4. k 1
x
x
⎧f (k 1) >0⎪
f (k 2) >
0⎪⎪⎧f (k 1) >0⎨∆>0
⎨ ⎪f (k ) >0⎩2
⎪k
⎪2a ⎩
6. k 1
⎧f (k 1) >0⎪
⎨f (k 2) 0⎩2
六、三角不等式: |a |-|b |≤|a +b |≤|a |+|b | 函数y =x -4+x -6的最小值为( ) A.2 B.4 D.6
七、不等式证明的几种常用方法 比较法(做差法、做商法)、综合法、分析法、换元法、反证法、放缩法。分子有理化法
八、数轴穿根法: 奇穿,偶不穿
(x -a 1)(x -a 2) (x -a n ) >0A .-1
C .x =4或-3
九、零点分段法
求解不等式:|2x +1|+|x -2|>4.
十 、含有绝对值的不等式
1.绝对值的几何意义:|x |是指数轴上点x 到原点的距离;|x 1-x 2|是指数轴上
(x 2-3x +2)(x -4) 2
例题:不等式≤0的解为( )
x +3
B .x
x 1, x 2两点间的距离 2、如果a >0, 则不等式:
|x |>a
|x |
x >a 或x
-a x ≥a 或x ≤-a
-a ≤x ≤a
|x |≤a
3.当c >0时, |ax +b |>c ⇔ax +b >c 或ax +b
|ax +b |当c c ⇔x ∈R ,|ax +b |
①解含绝对值的不等式的基本思想是去掉绝对值符号,将其等价转化为一元一次(二次)不等式(组)进行求解;
②去掉绝对值的主要方法有:
(1)公式法:|x |0) ⇔-a 0) ⇔x >a 或
x
(2)定义法:零点分段法; (3)平方法:不等式两边都是非负时,两边同时平方.
十一 线性规划
简单的线性规划问题
1、在平面直角坐标系中,已知直线Ax +By +C =0,坐标平
面内的点P(x 0, y 0).①若B>0,Ax 0+By 0+C >0,则点P(x 0, y 0)在直线
Ax +By +C =0的上方.②若B>0,Ax 0+By 0+C
y
x =1C
P(x 0, y 0)在直线Ax +By +C =0的下方.
2、在平面直角坐标系中,已知直线Ax +By +C =0.
①若B>0,则Ax +By +C >0表示直线Ax +By +C =0上方的区域;Ax +By +C 0表示直线Ax +By +C =0下方的区域;Ax +By +C
A x -4y +3=0
O
3x +5y -25=0
x
⎧x -4y ≤-3⎪
引例:设z =2x +y ,式中变量x , y 满足条件⎨3x +5y ≤25,求z 的最大值和最小
⎪x ≥1⎩
值。
由题意,变量x , y 所满足的每个不等式都表示一个平面区域,不等式组则表示这
些平面区域的公共区域。由图知,原点(0,0)不在公共区域内,当x =0, y =0时,z =2x +y =0,即点(0,0)在直线l 0:2x +y =0上,作一组平行于l 0的直线l :2x +y =t ,t ∈R ,可知:当l 在l 0的右上方时,直线l 上的点(x , y ) 满足2x +y >0,即t >0,而且,直线l 往右平移时,t 随之增大。 由图象可知,当直线l 经过点A (5,2) 时,对应的t 最大,
) ,对应的t 最小,所以,z max =2⨯5+2=12,当直线l 经过点B (1, 1时
z min =2⨯1+1=3。
练习:1、不等式2x -y -6>0表示的平面区域在直线2x -y -6=0的( ) A .上方且包含坐标原点 B .上方且不含坐标原点 C .下方且包含坐标原点 D .下方且不含坐标原点
⎧x -y +5≥0⎪
2、已知x 、y 满足约束条件⎨x +y ≥0,则z =2x +4y 的最小值是( )
⎪x ≤3⎩
A .5 B .-6 C .10 D .-10 解:方法一画出图形,找出符合条件的区域,看通过哪个点最小
方法二联立这三个方程,解出三组解,代入 z =2x +4y 看哪个最小 常见的目标函数的类型: ①“截距”型:z =Ax +By ;
②“斜率”型:
z =
y -b y
z =;
x -a x 或
22
z =z =x +
y ③“距离”型:或 z =(x -a ) 2+(y -
b ) 2或z =
在求该“三型”的目标函数的最值时,可结合线性规划与代数式的几何意义求解,从而使问题简单化.
恒成立问题
十二 、恒成立问题
2
⑴不等式ax +bx +c >0的解集是全体实数(或恒成立)的条件是:
①当a =0时 ⇒b =0, c >0;
⎧a >0⇒⎨
⎩∆
2
⑵不等式ax +bx +c
①当a =0时⇒b =0, c
⎧a
⎩∆
⇔f (x ) max
⑶f (x )
f (x ) ≤a 恒成立⇔f (x ) max ≤a ;
⇔f (x ) min >a ;
⑷f (x ) >a 恒成立
f (x ) ≥a 恒成立⇔f (x ) min ≥a .
十三 基本不等式 均值不等式
1. 均值不等式:如果a,b 是正数,那么
a +b
≥ab (当且仅当a =b 时取" =" 号). 2
2、使用均值不等式的条件:一正、二定、三相等
3、平均不等式:平方平均≥算术平均≥几何平均≥调和平均(a 、b 为正数),即
a +b 2(当
≥2+a b
a = b 时取等)
1.下列各式中,最小值等于2的是( )
x y 1x 2+5 A.+ B. C.tan θ+ D.2x +2-x
tan θy x x 2+4
2.若x , y ∈R 且满足x +3y =2,则3x +27y +1的最小值是( ) A
. B
.1+.6 D.7 3.若a >b >0,则a +
1
的最小值是_____________。
b (a -b )
4.已知x , y >0,且x 2+y 2=1,则x +y 的最大值等于_____________。