函数概念与基本初等函数Ⅰ
第二章 函数概念与基本初等函数Ⅰ
第1课时 函数及其表示
典型例题
例1. 下列各组函数中,表示同一函数的是( C ). A. y =1, y =C. y =x , y =
x
2
x x
B. y =
y =
y =|x |,y =2
变式训练1:下列函数中,与函数y=x相同的函数是 ( C ) A.y=
x
B.y=(
x
) C.y=lg10
x
2x
D.y=2
log 2x
例2. 给出下列两个条件:(1)f(的解析式. 解:(1)令t=
x
+1)=x+2
x
; (2)f(x)为二次函数且f(0)=3,f(x+2)-f(x)=4x+2.试分别求出f(x)
+1,∴t≥1,x=(t-1)2.
则f(t)=(t-1)2+2(t-1)=t2-1, 即f(x)=x2-1,x∈[1,+∞). (2)设f(x)=ax+bx+c (a≠0),
∴f(x+2)=a(x+2)2+b(x+2)+c, 则f(x+2)-f(x)=4ax+4a+2b=4x+2. ∴⎨
⎧4a =4⎩4a +2b =2
2
, ∴⎨
⎧a =1⎩b =-1
,又f(0)=3⇒c=3,∴f(x)=x-x+3.
2x +1
2
变式训练2:(1)已知f ()=lgx,求f (x );
(2)已知f (x )是一次函数,且满足3f (x+1)-2f (x-1)=2x+17,求f (x ); (3)已知f (x )满足2f (x )+f(解:(1)令
2x
1x
)=3x,求f (x ).
+1=t,则x=
2t -1
2t -1
,
2x -1
∴f(t )=lg,∴f(x )=lg,x∈(1,+∞).
(2)设f (x )=ax+b,则
3f (x+1)-2f (x-1)=3ax+3a+3b-2ax+2a-2b=ax+b+5a=2x+17,
∴a=2,b=7,故f (x )=2x+7. (3)2f (x )+f(
1x
)=3x, ①
1x
把①中的x 换成,得2f (
3x
1x
)+f(x )=
3x 1x
② .
①³2-②得3f (x )=6x-,∴f(x )=2x-
例3. 等腰梯形ABCD 的两底分别为AD=2a,BC=a,∠BAD=45°,作直线MN⊥AD交AD 于M ,交折线ABCD 于N ,记AM=x,试将梯形ABCD 位于直线MN 左侧的面积y 表示为x 的函数,并写出函数的定义域. 解:作BH⊥AD,H 为垂足,CG⊥AD,G 为垂足, 依题意,则有AH=
a 2
,AG=a.
2
3
(1)当M 位于点H 的左侧时,N∈AB,
由于AM=x,∠BAD=45°. ∴MN=x. ∴y=S△AMN=x (0≤x≤
2
1
2
a 2
).
(2)当M 位于HG 之间时,由于AM=x, ∴MN=
1a
∴y=S AMNB =22
a 232
,BN=x-a ).
a 2
.
[x+(x-
a 2
)]=ax-2
1a
2
8
(
a 2
(3)当M 位于点G 的右侧时,由于AM=x,MN=MD=2a-x. ∴y=S ABCD-S △MDN=
⎧1
⎪⎪2⎪1
综上:y=⎪⎨
⎪2⎪⎪-⎪⎩
2
1a 13a 1125a 3222
(2a +a ) -(2a -x ) =-(4a -4ax +x ) =-x +2ax -(a
22
x
⎡a ⎤
x ∈⎢0, ⎥
⎣2⎦
a
2
ax -12
8
5a 4
2
⎛a 3⎤x ∈ , a ⎥.
⎝22⎦⎛3⎤x ∈ a , 2a ⎥
⎝2⎦
x +2ax -
2
⎧⎪x 2, ⎪⎨1,
变式训练3:已知函数f(x)=⎪
1⎪-, ⎩x
x >0, x =0, x
(1)画出函数的图象;(2)求f(1),f(-1),f[f (-1) ]的值.
解:(1)分别作出f(x)在x >0,x=0,x<0段上的图象,如图所示,作法略. (2)f(1)=12=1,f(-1)=-1-1
=1,
f [f (-1) ]=f(1)=1.
归纳总结
1.了解映射的概念,应紧扣定义,抓住任意性和唯一性.
2.函数的解析式常用求法有:待定系数法、换元法(或凑配法)、解方程组法.使用换元法时,要注意研究定义域的变化.
3.在简单实际问题中建立函数式,首先要选定变量,然后寻找等量关系,求得函数的解析式,还要注意定义域.若函数在定义域的不同子集上的对应法则不同,可用分段函数来表示.
第2课时 函数的定义域和值域
典型例题
例1. 求下列函数的定义域: (1)y=
(x +1)
; (2)y=
3
1x -3
2
+5-x
2
; (3)y=
x +1x -1
.
x |-x
解:(1)由题意得⎨
⎧x +1≠0⎩|x |-x >0
,
化简得⎨
⎧x ≠-1⎩|x |>x
,
⎧x ≠-1
. 故函数的定义域为{x|x<0即⎨x
且
⎧x -3≠0
, x≠-1}. (2)由题意可得⎨2
5-x ≥0⎩
2
解得⎨
⎧⎪x ≠±3⎪⎩-
5≤x ≤
5
.
故函数的定义域为{x|-
5
≤x≤
5
且x≠±
3
}.
(3)要使函数有意义,必须有
⎧x ≥-1⎧x +1≥0
, , 即⎨⎨
x ≥1x -1≥0⎩⎩
∴x≥1,故函数的定义域为[1,+∞).
变式训练1:求下列函数的定义域: (1)y=
lg(2-x ) +x -x
2
+(x-1)0 ; (2)y=
x
2
lg(4x +3)
+(5x-4)0; (3)y=
25-x
2
+lgcosx;
⎧2-x >0⎧x
⎪2
解:(1)由⎪⎨12+x -x >0, 得⎨-3
⎪x ≠1⎪x -1≠0
⎩⎩
且x≠1.
故所求函数的定义域为(-3,1)∪(1,2).
⎧4x +3>0
⎪
⎨4x +3≠1, ⎪5x -4≠0⎩
3⎧x >-⎪
4
⎪
1⎪
⎨x ≠-,
2⎪
⎪4⎪x ≠
5⎩
(2)由得 ∴函数的定义域为
1⎫144⎛3
-, -⎪ (-, ) (, +∞).
2⎭255⎝4
(3)由
⎧25-x ≥0
⎨
⎩c o x s >0
2
, 得
⎧-5≤x ≤5
3π⎫ππ⎡⎛3π⎤⎪
, 借助于数轴,解这个不等式组,得函数的定义域为⎢-5, -, 5⎥. ⎪ (-, ) ⎨ππ
22222k π-
22⎩
例2. 设函数y=f(x)的定义域为[0,1],求下列函数的定义域. (1)y=f(3x); (2)y=f(
1x
); (3)y=f(x +
1
13
) +f (x -
13
)
; (4)y=f(x+a)+f(x-a).
1
解:(1)0≤3x≤1,故0≤x≤, y=f(3x)的定义域为[0, ].
3
3
(2)仿(1)解得定义域为[1,+∞). (3)由条件,y 的定义域是f (x +
1⎧
0≤x +≤1⎪
3
列出不等式组⎪⇒⎨
⎪0≤x -1≤1⎪3⎩
13)
与(x -
13
)
定义域的交集.
2⎧1
-≤x ≤⎪12⎪33
⇒≤x ≤, ⎨
33⎪1≤x ≤4
⎪3⎩3
12⎤
, ⎥⎣33⎦
故y=f(x +
13
) +f (x -
13
)
的定义域为⎡⎢
.
(4)由条件得⎨①当⎨②当⎨
⎧a ≤1-a , ⎩1-a ≤1+a ,
⎧0≤x +a ≤1
⎧-a ≤x ≤1-a
⇒⎨, 讨论:
⎩0≤x -a ≤1⎩a ≤x ≤1+a
1
即0≤a≤时,定义域为[a,1-a ];
2
1
⎧a ≤-a , ⎩-a ≤1+a ,
即-≤a≤0时,定义域为[-a,1+a].
2
1
1
综上所述:当0≤a≤时,定义域为[a ,1-a ];当-≤a≤0时,定义域为[-a ,1+a].
2
2
变式训练2:若函数f(x)的定义域是[0,1],则f(x+a)²f(x-a) (0<a <)的定义域是 ( B )
2
1
A. ∅ B.[a ,1-a ] C.[-a ,1+a] D.[0,1]
例3. 求下列函数的值域:
(1)y=
x -x x -x +1
2
2
;
(2)y=x-
-2x
; (3)y=
e -1e +1
x
x
.
解:(1)方法一 (配方法)
∵y=1-∴0<
1x -x +11
≤
2
,
而x
43,
2
-x +1=(x -1
12
) +
2
34
≥
34
,
.
x -x +1
2
∴-
⎡1⎫
≤y
方法二 (判别式法) 由y=
x -x x -x +1
2
2
,
得(y-1)x
2
+(1-y ) x +y =0.
2
∵y=1时, x ∈∅, ∴y ≠1. 又∵x ∈R ,∴必须∆=(1-y)-4y(y-1)≥0. ∴-
13
≤y ≤1. ∵y ≠1,
∴函数的值域为⎡⎢-
⎣
1
⎫
, 1⎪3⎭
.
(2)方法一 (单调性法) 定义域⎧⎨x |x ≤
⎩
1⎫
⎬2⎭
,函数y=x,y=-12=12. 1⎤⎥2⎦
-2x
均在⎛ -∞,
⎝1⎤
⎥2⎦
上递增,
故y≤
12
--2⨯
∴函数的值域为⎛ -∞,
⎝
.
方法二 (换元法) 令
-2x
=t,则t≥0,且x=
1
1-t 2
2
. ∴y=-
12
(t+1)2+1≤(t≥0),
2
1
∴y∈(-∞,].
2
(3)由y=
e -1e +1
x
x
得,e x =
1+y 1-y
. ∵e
x
>0, 即
1+y 1-y
>0, 解得-1<y <1.
∴函数的值域为{y|-1<y <1}. 变式训练3:求下列函数的值域: (1)y=
1-x 2x +5
; (2)y=|x|
12+
72(2x +5)
-x
2
. ≠0,
1
解:(1)(分离常数法)y=-1
,∵
72(2x +5)
∴y≠-. 故函数的值域是{y|y∈R,且y≠-}.
2
2
(2)方法一 (换元法)
∵1-x ≥0,令x=sinα, 则有y=|sinαcos α|=|sin2α|,
2
2
1
故函数值域为[0,].
2
2
1
方法二 y=|x|²∴0≤y≤
1
-x =
2
-x +x =
4
-(x -
2
12
) +
2
14
,
⎡1⎤
, 即函数的值域为⎢0, ⎥2⎣2⎦
1
2
.
例4.若函数f (x )=x -x+a的定义域和值域均为[1,b ](b >1),求a 、b 的值.
2
解:∵f(x )=(x-1)2+a-.
2
2
11
∴其对称轴为x=1,即[1,b ]为f (x )的单调递增区间.
∴f(x )min =f(1)=a-=1 ①
2
1
f (x )max =f(b )=b 2-b+a=b ②
2
1
3⎧
⎪a =,
由①②解得⎨2
⎪b =3. ⎩
2
变式训练4:已知函数f(x)=x-4ax+2a+6 (x∈R).
(1)求函数的值域为[0,+∞)时的a 的值;
(2)若函数的值均为非负值,求函数f(a)=2-a|a+3|的值域.
解: (1)∵函数的值域为[0,+∞),
∴Δ=16a2-4(2a+6)=0⇒2a 2-a-3=0∴a=-1或a=.
23
(2)对一切x∈R ,函数值均非负,∴Δ=8(2a2-a-3)≤0⇒-1≤a≤,∴a+3>0,
2
3
∴f(a)=2-a(a+3)=-a-3a+2=-(a+) +
2
2
3
2
174
3⎤
(a∈⎡-1, ⎢⎥).
⎣
2⎦
32)
∵二次函数f(a)在⎡⎢-1,
⎣3⎤
⎥2⎦
上单调递减,∴f(a )min =f(=-
194
,f (a )max =f(-1)=4,
∴f(a)的值域为⎡⎢-
⎣
19
⎤
, 4⎥4⎦
.
总结归纳
1.求函数的定义域一般有三类问题:一是给出解释式(如例1),应抓住使整个解式有意义的自变量的集合;
二是未给出解析式(如例2),就应抓住内函数的值域就是外函数的定义域;三是实际问题,此时函数的定义域除使解析式有意义外,还应使实际问题或几何问题有意义.
2.求函数的值域没有通用方法和固定模式,除了掌握常用方法(如直接法、单调性法、有界性法、配方法、换元法、判别式法、不等式法、图象法)外,应根据问题的不同特点,综合而灵活地选择方法.