正多边形的平面镶嵌
正多边形的平面镶嵌
在用正多边形进行平面镶嵌时，设一个顶点处有边数分别为n 1、n ２、n ３、…n m 的正多边形， 令3≤n 1≤n ２≤n ３≤…≤n m ，则
根据平面镶嵌定义得：
11111≥≥≥≥…≥。 3n 1n 2n 3n m
(n m -2) ∙1800(n 1-2) ∙1800(n 2-2) ∙1800(n 3-2) ∙1800
＋＋＋…＋＝3600，
n 2n 3n m n 1
整理为：
m -2m m -2m -21111
＋＋＋…＋＝，∴≥，∴m ≤6, 又＞0，即m ＞2,
3222n 1n 2n 3n m
∴2＜m ≤6，∴正整数m ＝3，4，5，6 ⑴ m ＝3时，
13111
≥＋＋＝，∴n 1≤6, ∴n 1＝3，4，5，6， n 1n 1n 2n 32112111
≥＋＝，∴n 2≤12，又＜，即n 2＞6，
6n 2n 2n 36n 2
（ⅰ）n 1＝3时，
∴n 2＝7， 8， 9，10， 11， 12
∴n
＝42，24，18，15，分数，12 (ⅱ) n1＝4时，
112111
≥＋＝，∴n 2≤8，又＜，即n 2＞4
4n 2n 2n 34n 2
28
，8
∴n 2＝5， 6， 7， 8 ∴n 3＝20，12，
(ⅲ) n1＝5时，
320211
≥＋＝，∴5≤n 2≤，
3n 2n 2n 310
∴n 2＝ 5， 6，
∴n ＝10，7.5，
（ⅳ）n 1＝6时，∴n 2＝6 ∴n
＝6 ⑵ m ＝4时，
2111≥＋=，∴6≤n 2≤6， n 2n 2n 33
41111≥＋＋＋＝1, ∴3≤n 1≤4, ∴n 1＝3，4， n 1n 1n 2n 3n 4
931112
≥
＋＋=，∴3≤n 2≤，∴n 2＝3，4
2n 2n 2n 3n 43
（ⅰ）n 1＝3时，
同理n 2＝3时，n 3＝4， 5， 6
n 4＝12，分数，6 (ⅱ) n1＝4时，
313111211
≥＋＋＝, ∴4≤n 2≤4, ∴n 2＝4, ∴≥＋＝
42n 2n 2n 3n 4
n 3n 3n 4
∴4≤n ３≤4, ∴n 3＝4， ∴n 4＝4
∴m ＝4时，共有4组解
⑶ m ＝5时，
310511111
≥＋＋＋＋＝，∴3≤n 1≤，∴n 1＝3，
3n 1n 1n 2n 3n 4n 52
∴
72441111
≥＋＋＋＝，∴3≤n 2≤，∴n 2＝3
7n 2n 2n 3n 4n 565183111
≥＋＋＝，∴3≤n ３≤，∴n 3＝3
5n 3n 3n 4n 561211
≥＋＝，∴3≤n 4≤4, n 4n 4n 52
∴
∴
∴n 4＝3，4 ∴n 5＝6，4
∴m ＝5时，共有2组解
经检验，这2组都能大面积平面镶嵌。 ⑷ m ＝6时，
6111111≥＋＋＋＋＋＝2， ∴3≤n 1≤3，∴n 1＝3， n 1n 1n 2n 3n 4n 5n 6
∴
5511111
≥＋＋＋＋＝，∴3≤n 2≤3，∴n 2＝3， n 2n 2n 3n 4n 5n 63441111≥＋＋＋＝，∴3≤n 3≤3，∴n 3＝3， n 3n 3n 4n 5n 63
∴
∴
3111≥＋＋＝1，∴3≤n 4≤3，∴n 4＝3， n 4n 4n 5n 62211≥＋＝，∴3≤n 5≤3，∴n 5＝3，∴n 6＝3， n 5n 5n 63
∴
∴m ＝6时，有1组解：n 1＝n 2＝n 3＝ n 4＝n 5＝ n 6＝3 经检验，这1组能大面积平面镶嵌。
综上所述：能大面积平面镶嵌的有11种情况
用一种正多边形进行平面镶嵌的有： 正三角形（每个顶点处有6个）； 正四边形（每个顶点处有4个）； 正六边形（每个顶点处有3个）。
用两种正多边形进行平面镶嵌的有：
正三角形和正十二边形（每个顶点处有1个正三角形和2个正十二边形）；
正三角形和正六边形（每个顶点处有2个正三角形和2个正六边形或者4个正三角形和1个正六边形）； 正三角形和正四边形（每个顶点处有3个正三角形和2个正四边形）； 正四边形和正八边形（每个顶点处有1个正四边形和2个正八边形）。
用三种正多边形进行平面镶嵌的有：
正四边形和正六边形和正十二边形（每个顶点处各1个）；
正三角形和正四边形和正十二边形(每个顶点处有2个正三角形和1个正四边形和1个正十二边形) ； 正三角形和正四边形和正六边形（每个顶点处有1个正三角形和2个正四边形和1个正六边形）。