巧用一元二次方程根的定义解题
巧用一元二次方程根的定义解题
巧用一元二次方程根的定义，在解题过程中能够快速找到解题途径，会收到事半功倍的效果，举例说明如下：
一、求方程中字母的值
例1
．已知2x 的方程x 2-4x +c =0的一个根，则c 的值是 ．
解：由方程根的定义，把x =2
∴(
22-4(2+c =0，∴c =1．
二、求代数式的值
例2．已知α是方程x 2-2005x +1=0的一个根，求α2-2004α+2005
α2+1的值．
解：由方程根的定义，得α2-2005α+1=0(α≠0) ，∴α2-2005α=-1，α2+1=2005α，
∴α2-2004α+20052005
α+1-2005α+α+20051
2=α2α2+1=-1+α+2005α=-1+α+α
=-1+α2+1
α=-1+2005=2004．
例3．已知x 是方程x 2-x -9=0的两个实根，求代数式x 32
1，x 21+7x 2+3x 2-66的值．
解：由已知条件根据根的定义，得x 22
1-x 1-9=0，x 2-x 2-9=0，
即：x 2x 2
1=1+9，x 2=x 2+9，又由根与系数关系，得x 1+x 2=1，
∴x 3+7x 2
12+3x 2-66=x 1(x 1+9) +7(x 2+9) +3x 2-66=x 1+9+9x 1+10x 2-3
=10(x 1+x 2) +6=16．
三、求公共根的问题
例4．已知关于方程x 2+px +q =0与x 2+qx +p =0只有一个公共根，求(p +q ) 2005的值．
解：设α是已知两个方程的一个公共根，那么α2+p α+q =0，α2+q α+p =0，
∴α2+p α+q =α2+q α+p ，∴(p -q ) α=p -q ，∴α=1．
把α=1代入x 2+px +q =0得p +q =-1，∴(p +q ) 2005=(-1) 2005=-1．
四、逆用方程根的定义构造一元二次方程解决问题
例5．已知p 2-p -1=01，-q -q 2=0且pq ≠1，求：pq +1
q 的值．
解：由p 2-p -1=0及1-q -q 2=0，可知p ≠0，q ≠0，又pq ≠1，∴p ≠1
q ．
∴1-q -q 2=0可变形为⎛ 1⎫2
q ⎪⎭-⎛ 1⎫
⎝q ⎪⎭-1=0，根据p 2-p -1=0和⎛ 1⎫2
⎝q ⎪⎭-⎛ 1⎫
⎝q ⎪⎭-1=0的特征，⎝
所以p 与1
q 是方程x 2-x -1=0的两个不相等的实数根． 则p +1pq +1
q =1，∴q =1．
五、用于证明题
例6．已知x 2bx +c =0的两个实根，s 2233
1，x 2是方程ax +1=x 1+x 2，s 2=x 1+x 2，s 3=x 1+x 2．
as 3+bs 2+cs 1=0．
证明：由方程根的定义，得ax 22
1+bx 1+c =0，ax 2+bx 2+c =0，
∴as 3322
3+bs 2+cs 1=a (x 1+x 2) +b (x 1+x 2) +c (x 1+x 2)
=ax 332232(ax 3
1+ax 2+bx 1+bx 2+cx 1+cx 2=(ax 1+bx 1+cx 1) +2+bx 2+cx 2)
=x (ax 22
11+bx 1+c ) +x 2(ax 2+bx 2+c ) =x 1 0+x 2 0=0．
- 1 - 求证：