7.向量的线性运算
向量的线性运算
·【知识要点归纳讲解】
1、 向量的基本概念
(1)向量是 的量,不可比较大小。
(2)向量的表示:用有向线段来表示,如,,或,
(3)向量的长度又称
≥0
(4)零向量: 的向量叫作零向量,记作: ,零向量的方向是 。
(5)单位向量: 叫作单位向量,
(6)共线向量: 叫作共线向量(又叫 )若向量与共线(平行),
记作: 。
(7)相等的向量: 叫作相等的向量,若向量与相等则记作: 。
2、向量的线性运算:
(1)向量的加法:
(2)向量的减法:
(3)数乘向量: 叫作向量的数乘,记作: 规定:1)λ为实数, a 为向量。 2)λ仍为一个
3)方向:①当λ>0, λ与方向 . ②当λ
③当λ=0, λ= . ∴λ与一定 .
4) 长度︱λ︱= ;
3、两个向量共线的充要条件:∥⇔
4、平面向量基本定理:若e 1、e 2是同一平面内的两个 的向量,那么对于这一平面内的任一向量, 一对实数λ1,λ2,使得a =λ1为 .
5、向量的坐标运算:
①加、减、数乘:若=(x 1, y 1) ,=(x 2, y 2) 则+=。1+ λ22.其中1, 2称
-=。λ⋅=
②已知点A (x 1, y 1) ,点B (x 2, y 2) ,则向量。 ③平行判定:(向量法)∥⇔ (坐标法)∥⇔ ·【应用例题】
【例1】:化简下列各式:
(1)(AB -CD ) -(AC -BD ) = ;(2)MN -MP -QN +QM = ;
(3)OA +OC +BO +CO -BA = ;(4)(AB +MB ) +(BO +BC ) +OM =_______。
【例2】:向量,
=6
=10-的取值范围是 .
【例3】:设两个非零向量a 与b 不共线。
(1)=+,=2+8,=3(-) ,求证A 、B 、C 三点共线;
(2)试确定实数k, 使k +, +k 共线。
【例4】:在三角形OAB 中,=
=,以, 为基底表示OM . 11, =, AD 与BC 交于点M ,设OA =a ,42
·【课堂练习】
131、已知平面向量a =(11),,b =(1,-1) ,则向量a -b =( ) 22
A .(-2, -1) B.(-2,1) C .(-1,0) D .(1,2)
2、在△ABC 中, AB =c , AC =b .若点D 满足 BD =2 DC ,则 AD =( )
A .2
3b +1
3c B .5
3c -2
3b C .21
3b -3c D .1
3b +2
3c
3、设向量a =(1,,2) b =(2,3) ,若向量λa +b 与向量c =(-4,-7) 共线,则λ=
4、已知平面向量a =(x ,1) ,b =(-x , x 2), 则向量a +b ( )
A. 平行于x 轴 B.平行于第一、三象限的角平分线
C. 平行于y 轴 D.平行于第二、四象限的角平分线
5、已知向量a =(1,0),b =(0,1),c =ka +b (k ∈R ), d =a -b ,如果c //d
A .k =1且c 与d 同向 B.k =1且c 与d 反向
C .k =-1且c 与d 同向 D.k =-1且c 与d 反向
6、设P 是△ABC 所在平面内的一点, BC + BA =2 BP ,则( )
A. PA + PB = 0 B. PC + PA = 0 C. PB + PC = 0 D. PA + PB + PC = 0
7、如图1, D,E ,F 分别是∆ABC 的边AB ,BC ,CA 的中点,则
( )
A . AD + BE + CF = 0
B .BD -CF +DF =0
C . AD + CE - CF = 0 D. BD - BE - FC = 0
·【课后练习】
1、在平行四边形ABCD 中,下列结论中错误的是 ( )
(A ) AB = DC (B ) AD + AB = AC
(C ) AB - AD = BD (D ) AD + CB = 0
2、若非零向量 a 、b 满足| a 一b |=|b |,则( )
(A) |2b |>| a 一2b (B) |2b |<| a 一2b |
(C) |2 a |>|2 a 一b | (D) |2 a |<|2 a 一b |
3、在△ABC 中,已知D 是AB 边上一点,若 AD =2 DB , CD =1
3CA +λCB ,则λ=( )
2A . 311B . C.- 33
4、在平行四边形ABCD 中,AC 为一条对角线,若AB =(2,4) ,AC =(1,3), 则AB =( ) 2D .- 3
A .(-2,-4) B.(-3,-5) C.(3,5) D.(2,4)
5、已知平面向量a =(1,2),b =(-2, m ) ,且a //b ,则2a +3b =( )
A 、(-5, -10) B、(-4, -8) C、(-3, -6) D、(-2, -4)
546、设向量=(, 2sin α), =(2cos α, ), 且∥,则锐角α为:( )
25
A. 75 B.60 C.45 D.30
7、如图,平面内有三个向量、、, 其中与与的夹角为120°,与的夹角为30°, 且|OA |=||=1,||=23,若=λOA +μ(λ,μ∈R ), 则λ+μ的值为 .
8、梯形ABCD ,AB ∥CD ,且AB=2CD,M 、N 分别是DC 和AB 的中点,如图,若AB =a , =b ,试用,表示和,则= , =__________。
9、设M 为△ABC 的重心,证明对任意一点O ,有OM = ( ++)
10、若平面向量,
+=1,+平行于x 轴,b =(2, -1) ,则= .
11、已知a =(1, 0), b =(1, 1) ,分别求使下列结论成立的实数λ的值:
(1)(a +λb ) ⊥a ;
(2)(a +λb ) //(λa +b ) ;
12、已知向量a =(sinθ,cos θ-2sin θ), b =(1,2). (1)若a //b ,求tan θ的值; (2)若|a |=|b |,0