初高中衔接一元二次不等式的解法
§2.1 一元二次不等式的解法(学案)
知识梳理
1、一次函数y=ax+b(a≠0) 图像是一条直线.
和x轴的交点是xb
0,x0a.
一次方程ax+b=0的解是xb
0a
①a>o时,图像如图1,当xx0时,函数
值y0;当xx0时,函数值y0.一次不等式ax+b>0,(a>0)的解是: ;
ax+b<0,(a>0)的解是: ;
②a
2、形如yax2bxc,(a0)的函数叫二次函数;形如ax2bxc0,(a0) 的方程叫一元二次方程;形如ax2bxc0(或0或0或0),(a0)的不等式,叫作一元二次不等式.
3、二次函数yax2bxc,(a0) 当a>0时,图像是:
y图 5
① 判别式b2
4ac0,函数图像和x轴相交(如图3),有两个交点,设交
点是(x1,0),(x2,0),x1x2 , 由图像可知,当自变量xx1或xx2时,函数值大于零;当x1xx2时,函数值xx1或x2时,函数值.
对于一元二次方程ax2bxc0,(a0)有两个不相等的实数解是:对于一元二次不等式ax2bxc0,(a0)的解是:ax2bxc0,(a0)的解是:ax2bxc0,(a0)的解是:ax2bxc0,(a0)的解是:②判别式b24ac0,函数图像和x轴相切(如图4),有一个切点,设切点是(x0,0),,由图像可知,当自变量xR且xx0时,函数值xx0时,函数值 零;对于任意实数x,函数值都不会 零.
对于一元二次方程ax2bxc0,(a0)有两个相等的实数解是: ; 对于一元二次不等式ax2bxc0,(a0)的解是:ax2bxc0,(a0)的解是:ax2bxc0,(a0)的解是:ax2bxc0,(a0)的解是:③判别式b24ac0,函数图像在x轴上方(如图5),由图像可知,当自变
量xR时,函数值均 零;即对于任意实数x,函数值都不可能
零.
对于一元二次方程ax2bxc0,(a0)无实数解;
对于一元二次不等式ax2bxc0,(a0)的解是:ax2bxc0,(a0)的解是:
ax2bxc0,(a0)的解是:4、解一元二次不等式的步骤:先判断二次项系数的正负;再看判别式;最后比较根的大小.解集要么为两根之外,要么为两根之内.具体地: ①设不等式ax2bxc0(a0),对应方程ax2bxc0有两个不等实根
x1和x2,且x1x2,则不等式的解为:xx1或xx2(两根之外) ②设不等式ax2bxc0(a0),对应方程ax2bxc0有两个不等实根
x1和x2,且x1x2,则不等式的解为: x1xx2(两根之内) 注意:①若不等式ax2bxc0(或0)中,a0,可在不等式两边乘1转化为
二次项系数为正的情况,然后再按上述①②进行
②解一元二次不等式要结合二次函数的图象,突出配方法和因式分解法.
典例分析
例1、解下列不等式
1、3x2+5x-2>0 2、9x2-6x+1>0
3、x2-4x+5>0 4、-x2+x+1
5、-x2+4x-4>0 6、3x2
+6≤19x
例2、 解不等式32x25
13
≥2(x2-9)-3x.
例3、已知x2
+px+q<0的解集为x|1x1
,求不等式qx2
2
3
+px+1>0的解.
当堂检测:
1.(1)2x2-3x-2>0; (2)x2-3x+5
(3)- 3x2+6x>2; (4)-6 x2+3x-20.
(5)x12x0
2.不等式x3xxx21的解是 3.不等式6x2
x20的解是
4.二次方程ax2bxc0的两根为2,3,a0,那么ax2
bxc0
的解为
5.不等式ax2
bx20的解为
12x1
3
,则ab,不等式ax2bx20的解为拓展1.若关于x的不等式x2
axa0的解为,,
则实数a的取值范围是 . 拓展2.在R上定义运算:xyx1y,若不等式xaxa1对任意实数x均成立,则 a的取值范围为