立体几何中平行与垂直的证明
立体几何中平行与垂直的证明
姓名
2. 掌握正确的判定和证明平行与垂直的方法.
D 1
【学习目标】1. 通过学习更进一步掌握空间中线面的位置关系;
例1．已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1， O 是底ABCD 对角线的交点．
求证：（1）C 1O//平面AB 1D 1； （2）A 1C ⊥平面AB 1D 1． 【反思与小结】1. 证明线面平行的方法：2. 证明线面垂直的方法：
A D
C 1
B C 【变式一】如图，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中, AD =AA 1=1, AB >1，点E 在棱AB 上移动。 求证：D 1E ⊥A 1D ；
【反思与小结】1．证明线线垂直的方法：
1． 谈谈对“点E 在棱AB 上移动”转化的动态思考 2． 比较正方体、正四棱柱、长方体
【变式二A 】如图平面ABCD ⊥平面ABEF ， ABCD是正方形，ABEF 是矩
形，且AF =
D 1
A
E
B
C
1
C
1
AD =2, G 是EF 的中点， 2
（1）求证平面AGC ⊥平面BGC ； （2）求空间四边形AGBC 的体积。
反思与小结1．证明面面垂直的方法：2．如果把【变式二A 】的图复原有什么新的认识？ 【变式二B 】. 如图，在直三棱柱(侧棱与底面垂直的三棱柱) ABC -A 1B 1C 1中，
AB =8，
AC =6，BC
（Ⅰ）求证：
=10，D 是BC 边的中点.
AB ⊥A 1C ； （Ⅱ）求证：AC 1∥ 面AB 1D ；
【反思与小结】和前面证明线线垂直、线面平行比较有什么新的认识？ 【变式三】如图组合体中，三棱柱ABC -A 1B 1C 1的侧面ABB 1A 1 是圆柱的轴截面，C 是圆柱底面圆周上不与A 、B 重合一个点. （Ⅰ）求证：无论点C 如何运动，平面A 1BC ⊥平面A 1AC ；
（Ⅱ）当点C 是弧AB 的中点时，求四棱锥A 1-BCC 1B 1与圆柱的体积比．
【反思与小结】
1．观察两个图之间的变化联系，写出感受。
2．和【变式一】进行比较，谈谈你把握动态问题的新体会
【变式四】如图，四边形ABCD
为矩形，
AD ⊥平面ABE ，AE ＝EB ＝BC ＝2，F 为CE 上的点，且BF ⊥平面ACE ．
（1）求证：AE ⊥BE ；
（2）设M 在线段AB 上，且满足AM ＝2MB ，试在线段CE 上确定一点N ，使得MN ∥平面DAE. 【反思与小结】1．和前面两个动态问题比较，解答本题的思路和方法有什么不同？
_P
【变式五】如图5所示，在三棱锥P -ABC 中，PA ⊥平面ABC ，
AB =BC =CA =3，M 为AB 的中点，四点P 、A 、M 、C 都在球O 的球面上。
（1）证明：平面PAB ⊥平面PCM ；（2）证明：线段PC 的中点为球O 的球心； 【反思与小结】1．探讨球与正方体、长方体等与球体之间的关系。 2．结合前面几组图形的分割变化规律，说明正方体、正四棱 柱、长方体、直三棱柱、四棱锥、三棱锥的变化联系。
3．总结立几中证明“平行与垂直”的思路和方法 课后练习
1．如图所示，在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AB=BB1，AC 1⊥平面A 1BD ，D 为AC 的中点。 （I ）求证：B 1C//平面A 1BD ； （II ）求证：B 1C 1⊥平面ABB 1A
（III ）设E 是CC 1上一点，试确定E 的位置，使平面A 1BD ⊥平面BDE ，并说明理由。 2. 如图，已知AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ，三角形ACD 为等边三角形，AD =DE =2AB ，F 为CD 的中点 （1）求证：AF //平面BCE ；
（2）求证：平面BCE ⊥平面CDE ；
P
1． 如图，四棱锥P -ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ， AB ⊥AD ，AC ⊥CD ，∠ABC =60︒，PA =AB =BC ， E 是PC 的中点． （1）求证：CD ⊥AE ；
A
D （2）求证：PD ⊥面ABE ．
2． 如图，四棱锥P —ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，P A =AB ，底面ABCD 为直角梯形，∠ABC =∠BAD =90°，P A =BC =
_A
_ M
_ B
_ C
1
AD . 2
B
（I ）求证：平面P AC ⊥平面PCD ；
（II ）在棱PD 上是否存在一点E ，使CE ∥平面P AB ？若 存在，请确定E 点的位置；若不存在，请说明理由.
5. 如图，在四棱锥S -ABCD 中，SA =AB =
2，SB =SD =底面ABCD 是菱形，且∠ABC =60︒，
E 为CD 的中点．
（1）证明：CD ⊥平面SAE ；
（2）侧棱SB 上是否存在点F ，使得CF //平面SAE ？并证明你的结论． D 【课后记】1．设计思路
（1）两课时；
C
（2）认识棱柱与棱锥之间的内在联系； （3）掌握探寻几何证明的思路和方法； （4）强调书写的规范性 2．实际效果：
（1）用时两节半课；
（2）平行掌握的比较好，但垂直问题需要继续加强。尤其是面面垂直问题转化为线面垂直后便不知所措。