[确定一次函数表达式]典型例题

第12周 《确定一次函数表达式》

例1 已知一次函数y =(6+3m ) x +n -4，求；

（1）m 为何值时，y 随x 增大而减小；

（2）n 为何值时，函数图像与y 轴的交点在x 轴下方； （3）m ，n 分别取何值时，函数图像经过原点；

1

，n =5，求这个一次函数的图像与两个坐标轴交点的坐标； 3

（5）若图像经过一、二、三象限，求m ，n 的取值范围.

（4）若m =

例2 设一次函数y =kx +b (k ≠0) ，当x =2时，y =-3，当x =-1时，y =4。

（1）求这个一次函数的解析式；

（2）求这条直线与两坐标轴围成的三角形的面积。

例3（1）已知一次函数图像经过点（0，2）和（2，1）. 求此一次函数解析式. （2）已知一次函数图像平行于正比例函数y =-解析式.

例4求下列一次函数的解析式：

（1）图像过点（1，－1）且与直线2x +y =5平行；

（2）图像和直线y =-3x +2在y 轴上相交于同一点，且过（2，－3）点.

1

x 的图像，且经过点（4，3）. 求此一次函数的2

例5 已知一次函数y =kx +b 的图像与另一个一次函数y =3x +2的图像相交于y 轴上的点A ，且x 轴下方的一点B (3, n ) 在一次函数y =kx +b 的图像上，n 满足关系式n =-解析式。

例6 已知一次函数的图象交正比例函数图象于M 点，交x 轴于点N(-6，0) ，又知点M 位于第二象限，其横坐标为-4，若△MON 面积为15，求正比例函数和一次函数的解析式．

例7 求直线2x +y +1=0关于x 轴成轴对称的图形的解析式。

例8 如图，∆ABC 是边长为4的等边三角形，求直线

16

，求这个一次函数的n

AB 和BC 的解析式．

例9 如图，直线y=x＋3的图象与x 轴、y 轴交于A 、B 两点．直线l 经过原点，与线段AB 交于点C ，把△AOB 的面积分为2：1两部分．求直线l 的解析式．

即学即练：

1、下面图像中，不可能是关于x 的一次函数y =mx -(m -3) 的图像的是（ ）

2、已知：

b +c a +c a +b

===k (a +b +c ≠0) ，那么y =kx +k 的图像一定不经过（ ） a b c

A ．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

3、已知直线y =kx +b (k ≠0) 与x 轴的交点在x 轴的正半轴，下列结论：①k >0, b >0；②

k >0, b 0；④k

A ．1 B．2 C．3 D．4

4、正比例函数的图像如图所示，则这个函数的解析式是（ ）

A ．y =x B．y =-x C．y =-2x D．y =-

5、已知直线析式．

6、已知直线

1

x 2

y =-2x +m 与两坐标轴围成的三角形面积为4，求这条直线的函数解

y =kx +b 过点（

52

，0），且与坐标轴所围成的三角形的面积为

25

4

，求该直线的函数解析式．

小专题：图像的平移规律

1. 直线y=5x-3向左平移2个单位得到直线 。 2. 直线y=-

3

x +2向左平移2个单位得到直线2

3. 直线y=2x+1向上平移4个单位得到直线 4. 直线y=-3x+5向下平移6个单位得到直线

1

x 向上平移1个单位，再向右平移1个单位得到直线 33

6. 直线y =-x +1向下平移2个单位，再向左平移1个单位得到直线。

4

5. 直线

y =

7. 过点（2，-3）且平行于直线y=2x的直线是 8. 过点（2，-3）且平行于直线y=-3x+1的直线是9．把函数y=3x+1的图像向右平移2个单位再向上平移3个单位，可得到的图像表示的函数是____________； 10．直线m:y=2x+2是直线n 向右平移2个单位再向下平移5个单位得到的，而（2a,7）在直线n 上，则a=____________；

过手练习

1、已知直线1) 2) 3) 4) 5)

y =(1-3k ) x +2k -1

当k__________________时，直线过原点；

当k__________________时，直线与y 轴的交点坐标是（0，-2）； 当k__________________时，直线与x 轴交于点（

3

, 0) 4

当k__________________时，y 随x 的增大而增大； 当k__________________时，该直线与直线

y =-3x -5平行。

2、已知点A (a +2, 1-a ) 在函数3、一次函数

y =2x +1的图像上，则a=____________。

y =kx -k ，若y 随x 的增大而减小，则该函数的图像经过象限。

4、已知一次函数y=kx+b,y随着x 的增大而减小, 且kb

)

A B C D 5、一次函数y=ax+b与y=ax+c (a>0)在同一坐标系中的图象可能是（ ）

A B C D

6、已知直线

y =-2x +m 与两坐标轴围成的三角形面积为4，求这条直线的函数解析式．

7、已知：函数y = (m+1) x+2 m﹣6

（1）若函数图象过（﹣1 ，2），求此函数的解析式。

（2）求满足（1）条件的直线与y = ﹣3 x + 1 的交点并求这两条直线 与y 轴所围成的三角形面积

【能力提升训练】

1、已知m 是整数，且一次函数2、若直线3、函数

y =(m +4) x +m +2的图象不过第二象限，则m 为.

y =-x +a 和直线y =x +b 的交点坐标为(m ,8) ，则a +b =y =

3

x -1，如果y

4、若直线

y =k 1x +1与y =k 2x -4的交点在x 轴上，那么

k 1k 2

等于（ ）

A .4 B . -4 C .

5、已知关于x 的一次函数

11 D . - 44

y =mx +2m -7在-1≤x ≤5上的函数值总是正数，则m 的取值范围是（ ） >1 C ．1≤m ≤7 D ．都不对

A ．m >7 B ．m 6、如图6，两直线

7、已知一次函数

y 1=kx +b 和y 2=bx +k 在同一坐标系内图象的位置可能是（ ）

y =2x +a 与y =-x +b 的图像都经过A (-2,0) ，且与y 轴分别交于点B ，c ，则∆ABC 的

面积为（ ）

A ．4 B ．5 C ．6 D ．

7

参考答案

例1 分析 （1）已知一次函数图像上两个点的坐标，代入解析式中可以求k 、b 值。（2）求出直线与

x 轴、y 轴两个交点，利用这两个交点与坐标轴所围的三角形是直角三角形可求出面积。

7⎧

k =-, ⎪⎧-3=2k +b , ⎪3

解 （1）由题意，得⎨ 解得⎨

5⎩4=-k +b . ⎪b =. ⎪3⎩

75x +. 33

7555

（2）直线y =-x +与x 轴交于(, 0) ，与y 轴交于(0, ) .

3373

15525

. ∴ 这条直线与两坐标轴围成的三角形的面积为⨯⨯=

27342

∴ 所求一次函数的解析式为y =-

例2 分析 由于y =3x +2与y 轴的交点很容易求出，因此，要求y =kx +b 的解析式，只要再求出

y =kx +b 上另一点的坐标就可以了，而B (3, n ) 在x 轴下方，因此n

值就知道B 点的坐标了。

解 设点A 的坐标为(0, m ) ，∵ 点A (0, m ) 在一次函数y =3x +2的图像上， ∴ m =3⨯0+2=2，即点A 的坐标为(0, 2) . ∵ 点B (3, n ) 在x 轴下方，∴ n

又点A (0, 2) ，B (3, -4) 在一次函数y =kx +b 的图像上，

16

求出n 的n

16

，n 2=16，n =±4，而n

∴ ⎨

⎧0⋅k +b =2,

解得k =-2，b =2

3k +b =-4. ⎩

∴ 这个一次函数的解析式为y =-2x +2.

例3 解 设所求的直线解析式为y =kx +b . ∵ 2x +y +1=0， ∴ y =-2x -1.

当y =0时，x =-

11

，即图像过对称轴上(-, 0) 点，显然这一点也在y =kx +b 上。 22

在2x +y +1=0上任取一点P ，如x =2时，y =-5，则P (2, -5) 可以知道P 点关于x 轴对称点的坐标为P '(2, 5) 。

⎧1

1⎪-k +b =0,

(2, 5) 都在所求的直线上，∴ ⎨2∴ (-, 0) ， 2⎪⎩2k +b =5.

∴ ⎨

⎧k =2,

∴ 所求直线的解析式为y =2x +1.

⎩b =1.

例4 分析：要确定一次函数的解析式，必须知道图象的两个已知点的坐标，而要确定正比例函数又

必须知道图象上一个点的坐标，但题设中都缺少条件，它们交点坐标中不知道纵坐标的值．已知条件中给出了△MON 的面积，而△MON 的面积，因底边NO 可以求到，因此实际上需要把△MON 的面积转化为M 点的纵坐标

解：根据题意画示意图，过点M 作MC ⊥ON 于C

∵点N 的坐标为(-6，0) ∴|ON|=6

∴MC=5

∵点M 在第二象限 ∴点M 的纵坐标y=5 ∴点M 的坐标为(-4，5)

∵一次函数解析式为y=k1x+b 正比例函数解析式为y=k2x 直线y=k1x+b经过(-6，0)

∵正比例函数y=k2x 图象经过(-4，5) 点，

例5 解：（1）把2x +y =5变形为y =-2x +5.

∵所求直线与y =-2x +5平行，且过点（1，－1）.

∴设所求的直线为y =-2x +b ，将x =1, y =-1代入，解得b =1. ∴所求一次函数的解析式为y =-2x +1.

（2）∵所求的一次函数的图像与直线y =-3x +2在y 轴上的交点相同. ∴可设所求的直线为y =kx +2.

5. 25

∴所求一次函数的解析式为y =-x +2.

2

把x =2, y =-3代入，求得k =-说明：如果两直线

y =k 1x +b 1, y =k 2x +b 2平行，则k 1=k 2；如果两直线

y =k 1x +b 1, y =k 2x +b 2在y 轴上的交点相同，则b 1=b 2. 掌握以上两点，在求一次函数解析式时，

有时很方便.

例6 解：（1）由A 可得⎨

⎧m >0,

故0

⎩-(m -3) >0,

由B 可得⎨

⎧-(m -3) =0,

故m =3，∴B 可能；

m >0, ⎩

⎧m

此不等式组无解. 故C 不可能，答案应选C.

⎩-(m -3)

由C 可得⎨

⎧b +c =ka , ⎪

（2）由已知得⎨a +c =kb , 三式相加得：

⎪a +b =kc , ⎩

2(a +b +c ) =(a +b +c ) ⋅k , a +b +c ≠0，

∴k =2，故直线y =kx +k 即为y =2x +2. 此直线不经过第四象限，故应选D.

（3）直线y =kx +b 与x 轴的交点坐标为：

b b ⎛b ⎫-, 0, ->0,

k k ⎝k ⎭

（4）∵正比例函数y =kx +b (k ≠0) 经过点（1，－1），

∴y =-x ，故应选B. ∴k =-1,

说明：一次函数y =kx +b (k ≠0) 中的k , b 的符号决定着直线的大致位置，题（3）还可以通过

k , b 的符号画草图，来判断各个结论的正确性，这类题型历来都是各地中考中的热点题型，同学们一

定要熟练掌握.

例7 解：（1）因为y 随x 增大而减小，

所以6+3m

所以当m

⎧6+3m ≠0, ⎧m ≠-2,

所以⎨ 解得⎨

n -4

所以当m ≠-2且n

⎧6+3m ≠0, ⎧m ≠-2, 所以⎨ 解得⎨

n -4=0, n =4. ⎩⎩

所以m ≠-2且n =4，图像经过原点.

（4）把m =

1

，n =5代入y =(6+3m ) x +(n -4) 中得， 3

y =7x +1.

令x =0，解得y =1，

所以图像与y 轴交点为（0，1）. 令y =0，解得x =-

1， 7

所以图像与x 轴交点为 -

⎛1⎫

, 0⎪. 7⎝⎭

（5）因为图像经过一、二、三象限，

所以⎨

⎧6+3m >0, ⎧m >-2, 解得⎨

n -4>0, n >4. ⎩⎩

所以当m >-2且n >4时，图像经过一、二、三象限.

说明：主要考查一次函数的知识。

例8 分析：求一次函数y =kx +b (k ≠0) 的解析式，也就是确定k 、b 的值。根据题目已知条件列出关于k 、b 的二元一次方程组即可．

解：（1）设函数解析式为y =kx +b (k ≠0)

因为图像经过（0，2）和（2，1），

1⎧

k =-, ⎧2=k ⨯0+b , ⎪

所以⎨ 解得⎨2

⎩1=2k +b , ⎪⎩b =2.

所以所求函数解析式为y =-

1

x +2； 2

（2）设函数解析式为y =kx +b (k ≠0)

因为函数图像是平行于y =-

所以k =-

1

x 的图像， 2

1 . 2

因为直线过（4，3），

1

⨯4+b . 所以b =5， 2

1

所以所求函数解析式为y =-x +5.

2

所以3=-

说明：本题考查一次函数的知识，确定一次函数的解析式，必须确定k 、b 的值，根据题目的已知条件列出关于它们的方程或方程组即可．

例9 解：由图像可知一次函数的图像经过点（-1，0）和（0，-2），可用待定系数法解.

设一次函数的解析式为y =kx +b ，则有

⎧-k +b =0, ⎧k =-2,

解得 ⎨⎨

⎩b =-2, ⎩b =-2.

所以一次函数的解析式为y =-2x -2. 故选A.

说明：本题主要考查学生的识图能力。