截长补短教案
全等三角形专题课——截长补短
教学目标
1. 知识技能 :使学生掌握运用截长补短的方法解决线段的和差问题。
2. 数学思考 :①通过观察、操作、归纳等教学活动,积累数学活动经验。感受数 学思维过程的条理性,进一步提高学生的数学思维能力。 ②通过对线段的和差 问题的探究,体会辅助线在数学中的作用。
3. 解决问题 :学会运用“截长补短法”作辅助线解决问题。
4. 情感态度
①使学生经历探索线段的和差问题的解决过程,感受数学活动充满探索以及数 学方法确定性。
②培养学生积极主动参与学习数学活动的意识,增强学好数学的信心。培养学 生与他人合作交流的意识和能力。
教学过程:
一.问题创设:(3分钟)
如图,△ABC 中,AD 是∠CAB 的平分线,且∠C =2∠B ,求证:AB =AC +CD
A
C B D
(学生思考:如何解决关于线段和差问题)
问题一:如何证明此题?(学生提出截长补短)
问题二:你这样做辅助线的理由是什么?(可以得到全等,证明截下的线段等于CD )
总结:
二.课题引入:同学们,为了解决像这样线段与线段关系的题目,今天我们来学
问题一:已知三条线段AB 、CD 、EF 的长度分别为8cm,5cm,3cm ,你能用CD 和EF 表示AB 吗?(AB=CD+EF)
问题二:如果图中线段长度分别变为a 、b 、c ,并且a=b+c,你能采用适当的工
方法一:用圆规在AB 上截取b ,再用圆规测量余下的部分(a-b), 与c 相比较, 得到a-b=c,即证明。
方法二:在CD (EF )补一部分EF (CD )得到b+c,再用圆规和a 进行比较得到a=b+c。
像刚才这样,通过在较长截取另一条线段,在较短线段上补一条线段研究线段间的关系,这种方法称为“截长补短”。
三、例题讲解
回头来看刚在的例题:
例1:如图,△ABC 中,AD 是∠CAB 的平分线,且∠C =2∠B ,求证:AB =AC +CD
A
C C B D
法一:截长法
证明:在AB 上截取AE ,使得AE=AC,连接DE
∵AD 平分∠BAC
∴∠1=∠2
∵ AE =AB
∠1=∠2 =AD ∴△AED ≌△ACD (SAS ) ∴∠3=∠C CD=DE (全等三角形的性质) 又∵ ∠C=2∠B ∴∠3=2∠B 又∵∠3=∠4+∠B (外角定理) ∴∠4=∠B ∴EB=DE=CD(等角对等边) ∵AB=AE+EB AE=AC,EB=CD
∴AB=AC+CD(等量代换)
学生小组交流讨论补短法
法二:补短法
证明:延长AC 至点E ,使AE =AB ,连接DE
∵AD 平分∠BAC
∴∠EAD =∠CAD
∵ AE =AB
∠EAD =∠CAD
AD =AD ∴△AED ≌△ACD (SAS )
∴∠E =∠C
又∵∠ACB =2∠C
∴∠ACB =∵∠ACB ∴∠E=∠∴CE=CD∵AE = AE=AB,∴AB =
如图:已知正方形ABCD 中,∠BAC 的平分线交BC 于E ,求证:AB+BE=AC
2、4、6、8列同学用补短法,时间3分钟,同桌之间相互交流不同的方法,在黑板上两个学生展示板书)
五.学以致用
请对下面的题进行分析,要求只做出辅助线,并简要说明解题思路。
1. 如图,四边形ABCD 中,AB ∥DC ,BE 、CE 分别平分∠ABC 、∠BCD ,且点E 在AD 上。求证:BC=AB+DC。(截长补短皆可)
辅助线:
解题简要步骤:
2. 已知,在△ABC 中,AB>AC,AD 是∠BAC 的平分线,P 为AD 上的一点,求证:AB-AC >PB-PC 。
辅助线:
解题简要步骤:
3. 如图,已知正方形ABCD 中,AF 为∠EAD 的角平分线,求证:EF=BE+DF.
辅助线:
解题简要步骤:
4. 选做,思考题 A 如图,在∆ABC 中,∠BAC =60︒,AD 是∠BAC 的平分线,
且AC =AB +BD ,求∠ABC 的度数.
C D B
总结:
1. 什么样的题型适合截长补短?
(题的共同特征)有角平分线,并且都求的是线段与线段的关系;(说明:并不是所有有角平分线、线段关系就用截长补短,并且有的题只能用截长或补短一种)
2. 数学思想方法:
通过截长补短,构造全等三角形,利用全等性对所求线段进行转化。
作业:
将以上题目过程完整写出。