高中数学解析几何:椭圆
【知识归纳】
1、椭圆、双曲线、抛物线的标准方程与几何性质
【一】椭圆
【三基强化】
1、若椭圆经过原点,且焦点为F ,0), F 2(3,0),则其离心率为( ) 1(1(A )
32
(B ) 43
(C )
1
2
(D )
1 4
x 2y 2
2、椭圆+=1的左右焦点分别为F 1, F 2,M 是椭圆上一点,O 为坐标原点,N 是MF 1的中点,若
1612|ON |=1, 那么|MF 1|的长度等于( )
(A )2
(B )4
(C )5
(D )6
x 2y 2
+=1的长轴端点为M 、3、椭圆N ,不同于M 、N 的点P 在此椭圆上,那么PM 、PN 的斜率之积( ) 43
(A ) -
3434 (B ) - (C ) (D ) 4343
1x 2y 2+=1的离心率为,则实数m = . 4、椭圆
24m
x 2y 25、已知椭圆2+2=1(a>b>0)
的离心率e =过A (a , 0), B (0, -
b ) a b (Ⅰ)求椭圆的方程 ;(Ⅱ)若椭圆上两点C 、D 的中点坐标为(1,1),求CD 所在的直线
【例题讲解】
x 2y 2
+=1上的一点,F 1, F 2是左右焦点,例1、点M 是椭圆
6436
∠F 1MF 2=600,求△F 1MF 2的面积.
2、设x , y ∈R ,在直角坐标平面内a =(x , y +2), b =(x , y -2) ,且|a |+|b |=8
(1)求点M (x , y ) 的轨迹C 的方程;(2)过点(0,3)作直线l 与曲线C 交于A , B 两点,若以
AB 为直径的
圆过坐标原点,求直线l 的方程
例2
、求满足下列条件的椭圆的标准方程
x 2y 2
+=1有相同离心率且经过点(2, (1)经过两点P (-Q -2) ;(2
)与椭圆43
例3、已知椭圆的两个焦点分别为F 1(0, -22), F 2(0, 22) ,离心率e =(Ⅰ)求椭圆方程;
(Ⅱ)一条不与坐标轴平行的直线l 与椭圆交于不同的两点M 、N ,且组段MN 中点的横坐标为-直线l 倾斜角的取值范围
22
. 3
1
,求2
x 2
+y 2=1有两个不同的交点例4、在平面直角坐标系xOy 中,经过点(0且斜率为k 的直线l 与椭圆2
P 和Q .(I )求k 的取值范围;(II )设椭圆与x 轴正半轴、y 轴正半轴的交点分别为A ,B ,是否存在常
数k ,使得向量OP +OQ 与AB 共线?如果存在,求k 值;如果不存在,请说明理由..
【巩固练习】
1、设一动点P 到直线x =3的距离与它到点A (1,0)的距离之比为,则动点P 的轨迹方程是()
x 2y 2x 2y 2(x +1) 2y 2x 2y 2
+=1 (D ) ++=1 (B ) -=1 (C ) =1 (A )
32323223
x 2y 2
2、已知F 1、F 2是椭圆+=1的两个焦点,过F 1的直线与椭圆交于M 、N 两点,则△MNF 2的周长为
169
A.8 B.16 C.25 D.32
x 2y 2
3、已知椭圆2+2=1(a >b >0) 的左焦点为 F ,A (-a ,0), B (0,b ) 为椭圆的两个顶点,若F 到AB 的
a b ( )
(A )
(B )
(C )
1
2
(D )
4 5
x 2y 2
+=1焦点,点P 在椭圆上线段PF 1的中点在y 轴上,则|PF 1|是|PF 2|的( ) 4、F 1、F 2是椭圆
123
(A )7倍 (B )5倍 (C )4倍 (D )3倍
b +c x 2y 2
5、已知c 是椭圆2+2=1(a >b >0) 的半焦距, 则的取值范围是
a a b
A (1, +∞) B (2, +∞) C (1,
2) D (1, 2]
x 2y 2
6、如图F 1, F 2分别为椭圆2+2=1的左、右焦点, 点P 在椭圆上, ∆POF 2
a b 2
是面积为3的正三角形, 则b 的值是x 2y 2
+=1的焦点为F 1, F 2 点P 为其上的动点,当∠F 1PF 2为钝7、椭圆94
角时,求点P 的横坐标的取值范围_______________________
y 2
=1,过点M (0,3)的直线l 与交曲线C 于不同的两点A , B 。 8、已知曲线C :x +4
2
(1)若直线l 与x 轴交于N ,A 是MN 的中点,求l 的方程;
(2)设P 为曲线C 上一点,且OA +OB =λOP (O 为坐标原点)
,求当|AB |λ的取值范围
【链接高考】
1x 2y 2
1. 设椭圆2+2=1(m >0,n >0)的右焦点与抛物线y 2=8x 的焦点相同,离心率为,则此椭圆
2m n
x 2y 2x 2y 2x 2y 2x 2y 2
=1 (D )+=1 +=1 (B )+=1 (C )+的方程为( )(A )
[**************]2
M 总在椭圆内部,则椭圆离心率的取值范围2. 已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点,满足MF 1⋅MF 2=0的点
是( )A .(0,1) B.(0,] C
.1
2 D
. 3. 如图,AB 是平面a 的斜线段,A 为斜足,若点P 在平面a 内运动,使得△ABP 的面积为定值,则动点P 的轨迹是( )
(A )圆 (B )椭圆 (C )一条直线 (D )两条平行直线
x 2y 2
4. 在平面直角坐标系中,椭圆2+2=1( a >b >0) 的焦距为2c ,以O 为圆心,a 为半径作圆,过点
a b
⎛a 2⎫
,0⎪作圆的两切线互相垂直,则离心率e = . ⎝c ⎭
5. 在△ABC 中,AB =BC ,cos B =-
7
.若以A ,B 为焦点的椭圆经过点C ,则该椭圆的离心率18
e =
x 22
+y =1的左、右焦点. (Ⅰ)若P 是该椭圆上的一个动点,求PF 1∙PF 2的6. 设F 1、F 2分别是椭圆4
最大值和最小值; (Ⅱ)设过定点M (0, 2) 的直线l 与椭圆交于不同的两点A 、B ,且∠AOB 为锐角(其中O 为坐标原点),求直线l 的斜率k 的取值范围.