物理:平均功率与瞬时功率

平均功率与瞬时功率

本类考题解答锦囊

解答“平均功率与瞬时功率”一类试题，主要掌握以下内容：

必须确切地区分平均功率和瞬时功率、额定功率与实际功率．机车起动问题可用功率公式： p=F·v进行分析，机车起动过程中，发动机的功率指牵引力的功率，发动机的额定功率指的是：该机器正常工作时的最大输出功率．实际输出功率可在零和额定功率间取值．

1．机车以恒定功率起动．若在平直道路上运动过程中阻力厂f不变，运动后的情况是，由于牵引力F=P，v物体的加速度由牛顿第二定律可得：F-ff=ma，即加速度a=

当其加速度为零时，速度最大． PFf加速度变小；-.可见机车随着速度的增大，vmm

2．机车从静止做匀加速起动．机车以恒定加速度运动时，开始牵引力不变，当其速度增大到一定值v时，其功率达到最大值p，此时有P-Ff=ma．以后速度继续增加，由于机车的功率不变，机车的牵引力减小，v

从而加速度也减小，直到加速度a=0时，机车的速度最大，此后将做匀速直线运动，其速度是:vm=P．由Ff

此可见，在功率不变的情况下，机车的牵引力F与速度v成反比，但若功率可变，即实际功率小于额定功率时，增大实际功率，可保持牵引力恒定，物体做匀变速直线运动，速度始终是增加的．

I 高考最新热门题

1 (典型例题)铁路提速，要解决许多技术问题．通常，列车阻力与速度平方成正比，即Ff=kv2．列车要跑得快，必须用大功率的机车来牵引．

(1)试计算列车分别以120km／h和40 km／h的速度匀速行驶时，机车功率大小的比值．

(提示：物理学中重要的公式有F=ma，W=Fs，p=Fv，s=vot+12at) 2

(2)除上题涉及的问题外，还有许多其他技术问题需要解决．例如：为了减少列车在高速行驶中的振动，需要把原先的有接缝轨道改为无接缝轨道．请你再举一例，并简要说明．

命题目的与解题技巧：考查利用功、功率等力学知识解决实际问题解答第(1)问的关键是抓住列车匀速运动时，F=Ff这一重要隐含条件，不要受“提示”中公式的影响．第(2)问属开放性问题，答案不惟一，不同的思路出发点会有不同的答案．如从减小阻力这个角度，可提出，设计“流线型”车身或减小“迎风面”等方案，但注意“铁路提速”这个基本出发点，审题过程中一定要结合实例认真分析，不要“跑题”．考查考生的想象能力和理论联系实际的能力．

[解析] (1)列车匀速运动时牵引力F与阻力Ff相等，即F=Ff.而Ff=kv,则P=F·v=kv,代入v1=120km/h,v2=40km/h，可得P1/P2=27/1．(2)在轨道(弯道)半径一定的情况下，状车速度越大，所需向心力越大，通过增大弯道半径可以减小向心力．

[答案] (1)P1/P2：27/1． (2)增大弯道半径可以减小向心力．

2.(典型例题)竖直上抛一球，球又落回原处，已知空气阻力的大小正比于球的速度

A.上升过程中克服重力做的功大于下降过程中重力做的功

B．上升过程中克服重力做的功等于下降过程中重力做的功

C．上升过程中克服重力做功的平均功率大于下降过程中重力的平均功率

D. 上升过程中克服重力做功的平均功率等于下降过程中重力的平均功率

** BC 指导：本题一方面考查生对重力的功的理解能力，同时考查通过推理来判断运动时间的推理能力将球竖直上抛，上升过程和下降过程中球在竖直方向的位移大小都等于高度．由于重力做功只与高度有关，即W=mgh，所以上升过程中与下降过程中重力做功的大小是相等的．故AB两项中B项对．球在上升过程中受到的阻力与重力方向相同，由牛顿第二定律知，球的加速度大于大于重力加速度；而球在下降过程中受到的阻23

力与重力方向相反，球的加速度寸于重力加速度．由t

历的时间，这样根据平均功率的定义p=2h知，球上升过程所经历的时间小于下降过程所经aW就可以断定，在上升过程中克服重力做功的平均功率大于下落过t

53程中重力做功的平均功率．故CD两项中C项对． 3.(典型例题)人的心脏每跳一次大约输送8×10m的血液，正常人的血压(可看作心脏压送血液的压强)

的平均值约为1．5×10Pa，心跳每分钟70次，据此估测心脏工作的平均功率为______W．

**1．4W指导：考查把实际问题转化为物理模型的能力．设想心脏在压送血液时，类似于圆形气缸中气体等压膨胀推动活塞对外做功的模型，是解决本题的关键．将实际问题转化为物理模型，是学好物理的重要方法． 设想血的截面积为S，血压为p′，则压力F=P′·S，每压送一次的位移为乙，由功率的定义式，4P=FLp'SLp'∆t1.5⨯104⨯5⨯10-5

===W=1.4W ∆t∆t∆t60/70

4.(典型例题)一传送带装置如图9—2—1所示，其中传送带经过AB区域时是水平的，经过BC区域时变为圆弧形(圆弧由光滑模板形成，未画出)，经过ED区域时是倾斜的，AB和CD都与BE相切．现将大量的质量均为m的 小货箱一个一个在A处放到传送带上，放置时初速为零，经传送带运送到D处，D和A的高度差为A．稳定工作时传送带速度不变，CD段上各箱等距排列，相邻两箱的距离为L每个箱子在A处投放后，在到达B之前已经相对于传送带静止，且以后也不再滑动(忽略经BC段时的微小滑动)．已

知在一段相当长的时间了内，共运送小货箱的数目为N这装置由电动机带动，传送带与轮子间无相对滑动，不计轮轴处的摩擦．求电动机的平均输出功率P NmN2l**P=(+gh) 指导：求解本题的重点是要分析清楚电动机做功有哪些贡献．首先，小箱放入传送带TT2

之后与皮带之间产生相对滑动，需要克服摩擦力做功，而这里克服摩擦力所做的功用来产生热量Q其次，小箱从静止到达与皮带有共同的速度获得了动能EK．最后小箱被送到h高度增加了重力势能 EP、Q、EK、EP归根到底都是由电动同提供能量转化得到的．当然运送"个小箱，电动机做的总功应为W=N(Q+EK+EP)另外用题给皮带上共有N个小箱的条件还可帮助我们求出皮带的运动速度v0=NL以地面为参考系(下同)，设传送带的运T

动速度为v0在水平段运输的过程中，小货箱先在滑动摩擦力作用下做匀加速度运动，设这段路程为v0，所用时间为s，加速度为a 则对小箱有s=

V0=at ②

在这段时间内传送带运动的路程为 s0=v0t ③

由以上可得s0=v0

12用f表示小箱与传送带之间的滑动摩擦力，则传送带对小箱做功为A=fs=2∙mv0 ⑤ 212at ① 2

传送带克服小箱对它的摩擦力做功

12A0=fs0=2∙mv0 ⑥ 2

两者之差不是克服摩擦力做功产生的热量Q=1 ⑦ 2

可见，在小箱加速运动过程中，小箱获得的动能与发热量相等．T时间内，电动机输出的功为 W=-PT ⑧ 此功用于增加小箱的功能、势能以及克服摩擦力发热，即 W=N12Nm0+Nmg+NQ ⑨

2

已知相邻两小箱的距离为L，所以 v0T=NL

联立⑦⑧⑨⑩，得P=-NmN2L2

P=T(T2+gh)

Ⅱ 题点经典类型题

1.(典型例题)汽车在水平公路上运动，假设所受到的阻力恒定，以下说法中错误的是

A.汽车启动时加速度与它受到的牵引力成正比

B．汽车以恒定功率启动，不可能做匀加速运动

C. 汽车以最大速度行驶后，若要减小行驶速度，可减小牵引功率

D．如不考虑阻力，将出现不合理的结论

命题目的与解题技巧：汽车运行中的功率问题是我们经常遇到的问题．它可以与实际问题相联系，常常结合牛顿第二定律解题，有时候还与动能定理综合．本题主要定性地考查汽车运动过程．

[解析] 加速度是由合外力决定的，不能单独地讨论它与牵引力的关系，故A项错；若以恒定功率启动，由于F:υ1故在加速过程中，牵引力必减小，所以一定时一种变加速直线运动；汽车以最大速度行驶，是一种匀速直线运动，此时牵引力F与阻力f等大，减小牵引力，则合力向后，速度减小；如不考虑阻力，则牵引力F越小，速度越大，当9=0时v→∞，不符合实际情况．

[答案] A

2.(典型例题)如图9—2—2 所示，在自动扶梯以恒定的速度2υ运转时，第一次有一人站到扶梯上相对扶梯静止不动，扶梯载他上楼过程中对他做功为w1，电机带动扶梯做功功率为P1，第二次这人在运动的扶梯上又以相对扶梯的速度v′同时匀速向上走，则这次扶梯对该人做功为W2，电机带动扶梯做功功率为P2以下说法中正确的是

A. W1>W2，P1>P2 B．W1>W2，P1=P2

C．W1=W2，P1>P2 D．W1=W2，P1=P2

** B 指导：由于是自动扶梯的恒定速度v运转，所以可以用W=FS和P=Fv来分析两种情况；也可以用P=W

t

来研究扶梯的功率问题，方法的选择可以视方便和个人习惯来定．设人上楼过程中，升高的高度是h，在这两种情况下，扶梯对人做功的功率均量P=Fv，但第二种情况人自身还做功W，故有W2+W=mgh，而第一种情况仅是扶梯做功：W1=mgh， W1>W2．

3 (典型例题)汽车在乎直公路上以速度vo匀速行驶，发动机功率为P快进入闹市区时，司机减小了油门，s使汽车的功率立即减小一半并保持该功率继续行驶． 图9—2—3中四个图象中，哪个图象正确表示了从司机减小油门开始，汽车的速度与时间的关系．

** C 指导：我们常遇到的问题是汽车保持功率不变，或者是汽车保持牵引力不变而功率在持续增加．但此题却是由额定功率突变为另一个不变的功率(减半)行令人耳目一新．司机减小了油门，使汽车功率立即减半，但速度不能立即发生变化，而不仅是牵引力减半，这样运动速度就要渐减小．可是之后还要保持较小的功率不变，所以牵引力又要逐渐增大(但仍小于阻力)，所以汽车是一种加速度减小到零，汽车重新做匀速运动(速度比v0要小)

4 (典型例题)一辆汽车的额定功率为80kW，运动中所受的阻力恒定为4．0

× 105 N，汽车质量为4．0x103kg，沿水平路面行驶．汽车运动过程中始终未

超过额定功率．求：

(1)汽车运动的最大速度为多少千米/时?

(2)汽车以额定功率行驶时，当车速为36 km/h时汽车的加速度多大?

(3)若汽车以(2)中的加速度先做匀加速起动，当达到额定功率后以额定功率

行驶，则起动后1 rain的时间内牵引力做的功多大(此时汽车以最大速度匀速

行驶)?

**A 指导：此题是汽车行驶问题的一类典型问题，

分析时既要分清额定功率情况下的加速过程和最大速度匀

速状态，还要分清匀加速中的实际功率和最终的额定动率：

(1)汽车的最大速度为vm=P/f=8.O×l04/(4×10)= 20m/s=72km/h，(2)汽车以额定功率行驶时，当车速为 10m/s时的引力．：F=P/v=8．O×l0/10=8．0×10 N 汽车的加速度为：F-f=ma

解得：a=(8．O×l0-4×10)/(4×10)=1．0m/s

(3)若汽车以a=1 m/s的加速度匀加速起动，先做匀加速运动，当达到额定的功率后做加速度逐渐减小，速度逐渐增大的加速运动，当加速度减小为零时汽车做匀速运动．汽车以a=1m/s的匀加速运动所能达到的最大速度v.时间t1、位移s1及所做的功W1=Fs1=8．O×10×50=40×10J当汽车达到额定功率后运动的时间t2=50s W2=Pt2=8．O×104×50J=4．O×l2010J

起动1min的时间内牵引力做的功为：

W=W1 +W2=4．4×12010J

Ⅲ新高考命题方向预测

1. 设在平直公路上以一般速度行驶的自行车，所受阻力约为车、人总重的0．02倍，则骑车的人功率最接近于

A．10kW B．10kW

C．1 kW D．10 kW

** A 指导：估算能力是一种要求较高的能力，它需要一些常识作基础．一般速度行驶的自行车速度不会达到10m/s百米赛的冲刺速度；一般人重约60kg，车约20kg，故有：P=Fv=O．02×80×10×5=80 W所以A正确

2. 如图9-2-4所示，滑水运动员在快艇的水平牵引下，脚踏滑板在水上匀速滑行，设滑板是光滑的，滑板的滑水面积为S，滑板与水平方向夹角为θ(滑板前端抬起的角度)，水的密度为P，理论研究表明：水对滑板的作用力大小为F=ρSυsinθ，式中。为快艇的牵引速度，若人和滑板的总质量为m，在上述条件下，快艇对运动员的牵引功率是_______________.0

**ρSvsinθ或者mgvtanθ指导：由图D 9-2小对滑板的作用力方向与应与滑板垂直，所以快艇对运动员的牵引力F′大小应与F的水平分力等大即 F′=Fsin θ=ρsvsinθ或者 F′=mgvtanθ

所以所求牵引力的功率为 p=F′v=pSvsinθ或者P=mgvtanθ

3 飞行员进行素质训练时，抓住秋千杆由水平状态开始下摆，到达竖直状态的过程中如图9—2—5，飞行员受重力的瞬即时功率变化情况是

A. 一直增大 B．一直减小 C．先增大后减小 D．先减小后增大

** C 指导：重力是恒力，可以用功式P=Fvcosθ来讨论其瞬时功率且只段分析飞行员的速度v的大小和方向即可，所以可设在一般情况下，摆绳与水平面夹角，则运动的速度大小为 [***********]33

v=2glsinθ

方向为竖直方向（重力的方向）夹角也为θ

所以重力的瞬时功表达为

P=mgvcosθ=glsinθ·cosθ

对此函数式讨论（结合三角知识）可知功率P先大后变小.此题也可以只考虑初、未状态；初始状态v=0故P=0终了状态mg与v垂直，故P2=0

4.如图9-2-6，分别用力F1、F2、F3将质量为m的物体由静止沿同一光滑斜面以相同的加速度从斜面底端拉到斜面的顶端时，若用P1、P2、P3分别表示F1、F2、F3的瞬时功率，则

A．P1=P2=P3 B．P1>P2=P3 C．P3>P2>P1 D．P1>P2>P3

** A指导：由题意知，由于物体运动的加速度相同且斜面光滑，所以可知拉力F2、F3沿斜面

向上的分力相等，都等于9，由分式2as=v-0可知，物体m到达斜面顶端时速度相等，由公

式P=Fv可知瞬时功率也相等．

2

5 质量为m的小球做自由落体运动，从开始下落计时，在连续相等的t时间内，(1)重力做功的平均功率之比为多少?(2)每段‘时间末重力的瞬时功率之比为多少?

**(1)1：3：5：„：(2n—2)(2)1：2：3：„：vn

解：(1)重力做功的平均功率P=W则W=mgs t

初速度为零的匀变速运动连续相等时间内位移比

s1：s2：s3„：sn=1：3：5： ：(n-1)可得P1：P2：P3：pn：=s1：s2：s3：„3sn：=1：3：5：„：(2n—1)

(2)重力做功的瞬时功率 p=mgv v=gt

连续相等时间末速度之比

v1：v2：v3：．．．：vn=1：2：3：．．．：n

可得P1：P2：P3：．：pn =v1：v2：v3：．：vn：1：2：3：．：vn。

6 跳绳是一种健身运动．设某运动员的质量是50ks，他一分钟跳绳180次．假定在每次跳跃中，脚与地面的接触时间占跳跃一次需要时间的

10m/s)

**75 指导：运动员跳一次时间在空中的时间t=

升过程的时间，t2=t1=s 210601s=s 180322，则该运动员跳绳时克服重力做功的平均功率是c_________W(g取5

上升的高度跳绳一次克服重力做功：

W=mgh =50×10×1J=25J 2

运动员跳绳时克服重力做功的平均功率为：

P=W25==7W. 1t

3

考场热身

探究性命题综合测试

1.关于一对摩擦力做功的说法正确的是

A.一对静摩擦力做功的数值总是相等

B．一对静摩擦力做功的数值可能不相等

C．一对滑动摩擦力做功的数值总是相等

D．一对滑动摩擦力做功的数值可能不相等

** A 指导：一对静摩擦力做功时，因为静摩擦力发生在相对静止的两物体间，故两物体的位移相等，所以A正确；滑动摩擦力发生在两相对运动物体间，故两物体的位移一定不相等，所以C、D均错误．

2 飞机以速度v水平匀速飞行时，发动机的功率为P，若飞机所受的空气阻力与飞行速度的平方成正比，那么当发动机的功率增为4P时，飞机匀速飞行的速度将增为

A.2vB.32vC.22vD.34v

** D 指导：由题意知： p=Fv ①

由于是匀速飞行，所以阻力与牵引力二力平衡，即 f=F ②

代入①式后得 P=fv ③

又由题意知f=kv ④ 2

代入③式得 p=kv ⑤ 所以当功率增为4P时，

3即：4P=kv ⑥解⑤⑥二式得v'=4v 3

3 在距离地面高5m的平台上，以25m/s的速度竖直上抛一质量为1 ks的石块，不计空气的阻力，取g=10m／s，则抛出后第三秒内重力对石块所做的功是

A．—100J B．50J

C．100J D．0

** D指导：上抛运动有最高点为对称点的对称性，故而首先求最高点参数(h，t)．今求出上升最高点的时间为：t=2v0=2.5s．所以知道所谓第3s内就是包含上升过程0．5 s和下降过程0．5s，总位移为零，因而做g

功为零．

4 如图Z9—1所示，在皮带传送装置中，皮带把物体P匀速带上，在这过程中，正确的是

A.摩擦力对P做正功

B．P物克服摩擦力做功

C.摩擦力对皮带不做功

D．皮带克服摩擦力做功

**指导：对物质P受力分析可知，它受沿斜面向上的静摩擦力；由牛顿第三定律可知，它对皮带

的静摩擦力沿皮带向下．所以摩擦力对户做正功，皮带克服摩擦力做功．

5 如图Z9-2所示，用9=40N的水平推力推—个质量m=3ks的木块，使其沿斜面向上移动2皿木块和斜面间动摩擦因为μ=0.1．在这一过程中，F做的功为______J，物体克服摩擦力做的功为______J，重力做功为J．(g取10m／S)

**64；9．6；-36由受力分析图D9—3可知，F力做的功为：WF=FScos 37°=64J

克服摩擦力做的功为：

Wf=μFN·S=μ(mgcos θ+Fsinθ)

S=9．6J

重力做的功为：Wc=-mgs·sin 37°=-36J

6 质量为m的汽车在倾角为矽的斜坡上匀速行驶．上坡时的速度为υ1，下坡时

的速度为u2.设汽车运动过程中所受阻力不变，且上、下坡时汽车发动机的功率也相同，

则汽车的功率等于______.

**2mgv2v1·sinθ/(1v2—v1)

指导：上坡时，

下坡时，2P=mgsinθ+f v1P= -mgsinθ+f v2

二式相减得p=2mgvlv2sinθ/(v2-v1)

7 一个质点静止在Ox坐标轴的原点，X=0处，只有力F作用下，由静止开始运动．力F随时间变化的图象如图Z9-3所示．经过时间t，质点到达x=1处．在2t1时刻质点的动量是________,力F在t1～2t1 时间内做的功是_________.

**0；-FL 指导：在2t1过程中，由动量定理：Ft1—Ft1，ΔP可得，p2=0

由功的定义式可得：W=-FL

8 质量为4t的汽车，发动机最大输出功率为100 kW．当汽车由静止开始以0.5 m／s的加速度做匀加速运动时，运动阻力恒为2×103 N．这辆汽车能达到的最大速度是______km／h，匀加速过程所需时间为_______s．

2

**180；50 指导：汽车加速过程的加速度并非它所能达到的最大速度．最大速度是指它最终匀速运动时牵引力与阻力相等：Vm=pP==50m/s=180km/h Ff

匀加速过程是汽车功率不断增大的过程，直到达到额定功率汽车又变成变加速直线运动．在匀加速过程中： F′-f=ma ∴F′=2000+4000×0．5=4000N 此过程的最大速度v'=

所需时间t=P=25m/s F'v'25==50s a0.5

9 如图Z9-4所示，均匀长直木板长L=40cm，放在水平桌面上，它的一端 与桌边相齐，已知木板的质量为2 kg，与桌面间的动摩擦因数μ=0.2，现用水平推力F将其推出桌面，则水平推力至少做功为_______. **0.8J指导“至少”的意思是长木板被推出一半即可．于是有：W=FL =0．8J 2

10 如图Z9-5所示，轻弹簧一端与竖直墙壁连接，另一端与一质量为m的木块连接，放在光滑的水平面上，弹簧劲度系数为A，弹簧处于自然状态．用水平力缓慢拉物体，使物体前进x，

求这一过程中拉力对物体做了多少功． **1kx 指导：缓慢拉动物体，可认为物体处于平衡状态，故拉力等于弹力大2

小． F：=kx

因该力与位移成正比，可用平均力F=kx12 求功WF·xkx 22

说明：该题中F做的功全部转化为弹簧的弹性势能，即弹性势能公式为FP= kx其中z为弹簧相对于自由长度的弹性形变量，该式不要求用定量计算，但对定性分析问题有帮助FP=12kx 2

11 电动机通过一轻绳吊起一质量为8kg的物体，绳的拉力不能超过120N，电机的功率不能超过1200W，要将此物体由静止起用最快的方式吊高90 m(已知此物体在被吊高接近90 m时已开始以最大速度匀速上升)所需时间为多少?

**75s 指导：本题可分为两个过程来处理：第一个过程是以绳所能承受的最大拉力拉物体，使物体匀加速上升，第一个过程结束时，电动机功率刚达到最大功率．第二个过程是电动机一直以最大功率拉物体，拉力逐渐减小，物体变加速上升，当拉力减小至等于重力时，物体开始匀速上升．

在匀加速运动过程中，加速度

a=Fm-mg

m=120-8⨯10m/s2=5m/s2 8

pm120=m/s=10m/s Fm120匀加速运动的末速度vt=

匀加速上升时间t1=

匀速上升高度h1=v10=s=2s a5vt10t1=2m=10m 22

在功率恒定的上升过程中，最后匀速运动的速度

vm=PmPm1200==m/s=15m/s Fmg8⨯10

此过程外力对物体做的总功

W=Pmt2-mgh

2

由动能定理W=ΔEk得

Pmt2-mgh2=1212mvm-mvt 22

代人数据解得，t2=5．75 s

所需时间最少应为

t=t1+t2=(2+5.75)s=7．75 s

12 如图Z9-6所示，A、B两物体始终保持相对静止：并一起在水面上向右匀加速运动了‘的距离，加速度为a．已知物体A的质量为m，斜面的倾角为θ，求在物体运动的过程中：

(1)重力对物体所做的功；

(2)支持力N对物体所做的功；

(3)摩擦力所做的功．

**(1)0 (2)(mgcos θ+mgsinθ)ssin θ (3)—(mgcos θ-macos θ)scosθ 指导：根据牛顿第二定律先计算出各力的大小，画出各力的方向，即可计算各力所做的功．据牛顿第二定律得：水平方向：Nsinθ0-fcos θ=ma

竖直方向：Ncos θ+fsin θ=mg

解得f=mgsinθ—macos θN=mgcosθ +masin θ

因此：(1)WG=mgscos90°=0

(2)WN=(mgcosθ+masin θ)ssinθ做正功

(3)Wf+(mgsinθ—macos θ)scosθ

当mgsin θmascosθ时做负功