信号与系统考试考点
信号与系统的时域分析
1. 什么是LTI 系统?在时域中,我们如何表示系统?什么是系统的单位冲激响应? ◆ 系统的线性时不变性的证明与判断(书中例子1-14,1-16,1-17,1-18);
◆ 表示系统的时域数学模型:卷积表示,微分方程(连续时间系统),差分方程(离散时间
系统);
◆ 单位冲激响应h(t):系统对输入为单位冲激信号δ(t ) 的零状态响应。 2. 请写出LTI 系统的卷积表达式。你会计算两个信号之间的卷积吗?
例1:假设LTI 系统的单位冲激响应为h (t ) =u (t ) , 系统输入为x (t ) =e -t u (t ) . 通过计算卷积
y (t ) =x (t ) *h (t ) 确定系统的输出y (t ) 。
3. 信号x(t)与单位冲激信号δ(t-t0)相乘、卷积,你会吗? ◆ 四个重要公式: 1)x (t ) *δ(t -t 0) =x (t -t 0) 2) x (t ) *δ(t ) =x (t )
3) x (t ) δ(t -t 0) =x (t 0) δ(t -t 0) 4) x (t ) δ(t ) =x (0) δ(t )
例2:x (t ) *δ(t +1) =x (t +1) x (t ) δ(t -1) =x (1) δ(t -1) 等
d 2y (t ) dy (t )
+3+2y (t ) =x (t ) 的微分方程,你会求解吗? 4. 形如
dt dt 2
d 2y (t ) dy (t )
+5+6y (t ) =x (t ) 描述,给定系统的输入和初始例3:一因果LTI 系统由微分方程2
dt dt
条件如下:x (t ) =e -t u (t ) ,y (0) =-0.5,
dy (t ) dt
t =0
=0.5,确定系统的完全解。
5. LTI 系统的因果性、稳定性,你理解吗?如何用单位冲激响应h (t ) 来这两个性质描述系统的这两个性质?
因果性:判决条件:h (t ) >0, t
-∞∞
例4:假设LTI 系统的单位冲激响应为h (t ) ,如果系统因果稳定,下列哪些满足:
1)h (t ) =e -t u (t ) 2)h (t ) =e -t u (t ) +e t u (-t ) 3)h (t ) =e -t u (t ) +e -2t u (t ) 等等。
傅里叶级数
6. 周期信号的傅里叶级数表达式,包括级数的系数的计算公式你记清楚了吗?是否会用这个公式完成系数的计算?你是否理解,一个连续的周期信号,在满足狄氏条件时,可以分解成由很多具有谐波关系的周期复指数信号加权和这个道理? 公式:x (t ) =∑a k e jk ω0t
-∞
T
T
2
∞
11a k =⎰a k e -jk ω0t dt =
T 0T
-jk ω0t
a e dt =k ⎰T 2
-
1
X 0(j ω) =k ω0 T
例5:sin(ω0t ), cos(ω0t ), 周期性方波,周期性三角波等的傅里叶级数表示。
x 3(t )
=
k =-∞
∑{e
∞
-2(t -2k )
[u (t -2k ) -u (t -2-2k )]
}
例6:考虑一个全波整流器如图所示,其中R=1Ω, C=1F. (1). (9’) 确定信号x (t ) 的傅里叶级数系数a k 。
(2). (9’) RC低通滤波器的输出信号y (t ) 是否周期,如果是周期的,确定其傅里叶级数系数b k 。
7. 你知道什么叫基本频率分量、什么叫特征函数?特征函数具体有哪些形式?
8. 你理解这句话吗:若LTI 系统的输入信号是一个特征函数时,其输出信号是与输入相同的特征函数,但是,其幅度要用H(s)或H(jω) 加权。
(7、8两点结合,整理理解)
记住:当系统输入信号x (t ) =e st 或e j ωt ,那么输出y (t ) =H (s ) e st 或H (j ω) e j ωt 特征函数:e st 、e j ωt 或sin(ω0t ), cos(ω0t ) 。
9. 如果给定一个LTI 系统的输入为周期信号,你会使用相关结论,求解出该系统的输出信号傅里叶级数表达式吗?
记住:输入为周期信号x (t ) =∑a k e
-∞∞
jk ω0t
,那么对于LTI 系统来讲,输出y (t ) =∑H (jk ω0) a k e jk ω0t
-∞
∞
10. 理解周期信号的线谱吗?a k (傅里叶级数系数)通常是关于k 的复函数吗?k 表示什么? 11. 给你二幅图,一幅图描述的是a k ,另一幅图描述的是∠a k ,你能根据这两幅图,直接写出它所代表的时域信号表达式吗?
强调:周期信号的傅里叶级数系数a k 的真正含义:周期信号的线谱(条线图表示)。考虑到a k 是关于k 的复函数,借助极坐标表示法,a k 分解为幅度谱(a k )和相位谱(∠a k )两部分。即:
a k =a k e j ∠a k
例7:假设 ω0 = π. 下图给出了连续时间周期信号x (t ) 的傅里叶级数系数所对应的频谱结构。 (a) 写出x (t ) 的表达式。
(b) 如果x (t ) 作用于理想低通滤波器,其频率响应如:
⎧1, H (j ω) =⎨
⎩0,
ω≤12π
其它
,确定输出y(t)。
12. 你理解滤波的含义吗?
四种理想滤波器(频率选择性滤波器)的频谱结构需
要掌握。例7的第二个问题,就是对低通滤波器的频谱特性的考查。
∠a k
k
例8:下图描述了一个通信系统的原理,已知信号 x 1(t)和x 2(t)的傅立叶变换分别为X 1(jω) 和X 2(jω) ,如图(3.b)所示,令 ω1 = 4π, ω2 = 8π。 H 1(jω) 为理想带通滤波器, H 2(jω) 为理想低通滤波器。为使得信号y(t)等于x 1(t):
(1). 在图中描述信号w(t)的傅立叶变换W(jω) 。
(2). 选择合适的频率ω3。 (3). 描述两个滤波器的频率响应。
x 1(t )
x 2(t )
ω2t )
cos(ω3t ) (a)
(b)
图(3)
傅立叶变换及应用
13. 傅里叶变换的定义公式和傅里叶反变换的定义公式你记住了吗? 见书本公式(4.8)(4.9)
14. 傅立叶变换的时移性质、微分性质、卷积性质、乘法性质你记住了吗?是否会用它们解决问题? 见表4.1
例9:假设信号x(t)的傅立叶变换为X(jω), 求1)y (t ) =x (t ) cos(ω0t ) 的傅立叶变换;2)
y (t ) =x (t -2) 的傅里叶变换。
15. 典型信号的傅里叶变换你记住了多少个? 见书本表4.2
例10:求cos(ω0t ) ,sin(ω0t ) ,e -t u (t ) 等的傅里叶变换。 16. 用部分分式分解法求傅里叶反变换,你会了吗? 例11: 已知信号x (t ) 的傅立叶变换为X (j ω) =
1
,求其反变换x (t )
(j ω+2)(j ω+3)
17. 傅立叶变换的幅度-相位表达方法,你会了吗?什么是信号的幅度频谱,什么是信号的相位频谱?
见书本习题:6.23
18. 周期信号的傅立叶变换有什么特点,其计算公式是怎样的,你记住了吗?
x (t ) =∑a k e
-∞∞
jk ω0t
X (j ω) =∑2πa k δ(ω-k ω0)
-∞
∞
∞
例12 求sin(ω0t ), cos(ω0t ) ,∑δ等周期信号的傅里叶变换。 (t -KT )
-∞
19. 什么是系统的频率响应?给定系统的微分方程,你能求出它的频率响应吗?你会建立简单的一阶、二阶电路的微分方程吗?你能根据频率响应求得系统的微分方程吗? 见习题4.19,4.33,4.36
建立如上电路的微分方程。
20. 是否会利用傅立叶变换的相关性质,求某些复杂信号的傅立叶变换? 见习题4.21,4.25等
21. 给定信号的频谱图(若干个正弦信号构成的一个周期信号),能很快地求得该信号的时域表达式吗?若将这个信号作用于一个系统(滤波器),会求系统的输出信号的频谱及其时域表达式吗?
5. 给定一连续时间周期信号x (t ) 的傅里叶变换所对应的频谱X (j ω) 如图所示。
(a) (8’) 写出x (t ) 的表达式。
⎧1,
(b) (8’) 如果x (t ) 作用于理想低通滤波器其频率响应为: H (j ω) =⎨
⎩0,
≤12π
其它
确定输出信号y (t ) 。
22. 理解什么是带限信号,什么是时限信号吗?
带限信号(从频域的角度):指信号的频谱频带宽度有限; 时限信号(时域的角度):信号的时间变量取值范围是有限的。
(3) 1. 5) X (j ω)
(3)
1. 5)
图:x (t ) 的傅里叶变换
拉普拉斯变换及应用
23. 拉普拉斯变换和逆变换的定义公式,你记住了吗? 见书本公式(9.3)及(9.56)
24. 拉普拉斯变换的收敛域的性质理解了吗?尤其是:因果信号的拉普拉斯变换的收敛域,反因果信号的收敛域。 书本上描述的8个性质:
例:求信号x (t ) =e -2t u (t ) +e -t u (-t ) 的拉普拉斯变换,确定其收敛域。 25. 用部分分式分解法求逆变换的方法,你会了吗?
1
例:确定X (s ) =2 在下述三种情况下的拉普拉斯反变换:
s +3s +2(1). 收敛域: Re{s }>-1; (2). 收敛域:-2
26. 拉普拉斯变换的常用性质掌握了多少? 见书本表9.1
例:已知信号x (t ) =e -t u (t ) 的拉普拉斯变换为X (s ) =斯变换。
27. 常用信号的拉普拉斯变换你记住了多少? 见书本表9.2
28. 什么是有理的拉普拉斯变换表达式?
s 2+2s +3
如:H (s ) =3 2
s +7s +8s +2
1
, 求信号y (t ) =tx (t ) =te -t u (t ) 的拉普拉s +1
29. 系统函数的概念你掌握了吗?系统函数与系统的单位冲激响应是何关系?
H (s ) =⎰h (t ) e -st dt (系统的时域特性向频域特性的转换)
-∞
∞
见习题9.31
30. 系统函数的零极点的概念,如何在s 平面上表示系统函数零极点?系统函数的零极点与系统函数的收敛域有何关系?
注:系统函数的极点确定收敛域的边界,但收敛域中不包括任何极点。 31. 如何根据系统的零极点图,判断系统的稳定性、因果性? 书本上的相关结论一定要掌握理解。
32. 如何根据系统的微分方程求系统函数?或者反过来。
方法:对微分方程两端同时进行拉普拉斯变换,并借助拉普拉斯变换的相关性质,实质:系统的时域特性向频域特性的转换。
33. 如何利用系统函数,求系统在给定输入信号作用时的系统的响应信号?
1:给定一个因果LTI 系统,如果其输入和输出信号分别为x (t ) =e -t u (t ) ,
111
y (t ) =(e -t -e -2t +e -4t ) u (t ) ,
326
(a). 确定系统的系统函数H(s); (b).判断该系统是否稳定,为什么?
(c). 如果输入信号为x (t ) =e -2t u (t ) , 确定相应的输出信号y(t)。
2 考虑一个因果连续LTI 系统,其输入输出关系有下列方程描述:
d 2y (t ) dy (t )
+4+3y (t ) =x (t ) 2
dt dt
(a). (4’) 确定系统函数H(s); (b). (4’) 画出H(s)的零极点图。 (c). (4’) 系统是否稳定? 为什么?
(d). (8’) 假设输入x (t ) =e -t u (t ) , 确定响应的系统输出响应y (t ) 。 34. 系统的频率响应与系统函数之间的关系,你理解了吗?
H (j ω) =H (s ) s =j ω(系统因果稳定)
35. 给定一个系统的零极点图和其他辅助条件,你能确定该系统的系统函数吗? 见书本上例题9.26(上课重点讲过)
拉氏变换
基本要求:
1. 拉氏变换定义,会计算简单信号的拉氏变换。 2. 记住典型信号的拉氏变换对:
δ(t ) 1 all s
1
Re(s) > 0 s 1
-u(-t) Re(s)
s
1
e -at u (t ) Re(s) > -a
s +a
1
-e -at u (-t ) Re(s)
s +a
u(t) te -at u (t )
1
Re(s) > -a 2
s +a 3. 掌握拉氏变换的收敛域的性质。
4. 会利用部分分式展开法计算拉氏反变换。 5.掌握拉氏变换的性质及其运用。
6. 利用拉氏变换分析LTI 系统的因果与稳定性。 7. 利用拉氏变换确定系统的响应。
付立叶变换
基本要求:
1. 傅立叶变换的定义及计算 2. 傅立叶变换的性质及运用。
3. 典型信号的傅立叶变换。 *** 周期信号的傅立叶变换
****矩形信号的傅立叶变换以及抽样信号Sa(t)的傅立叶变换(关于傅立叶变换的对偶性质)。 4. 傅立叶变换的模及相位表示。 5. 傅立叶变换的性质的运用。(乘法性质与卷积性质)
希望各位同学认真复习,顺利通过考试!
黄松柏 2011.6.8