培优专题4_用十字相乘法把二次三项式分解因式

5、用十字相乘法把二次三项式分解因式

【知识精读】

对于首项系数是1的二次三项式的十字相乘法，重点是运用公式

掌握这种方法的关键是确定适合条件的x 2+(a +b ) x +ab =(x +a )(x +b )进行因式分解。

两个数，即把常数项分解成两个数的积，且其和等于一次项系数。

对于二次三项ax +bx +c （a 、b 、c 都是整数，且a ≠0）来说，如果存在四个整数

2

a 1，c 1，a 2，c 2满足a 1a 2=a ，c 1c 2=c ，并且a 1c 2+a 2c 1=b ，那么二次三项式ax 2+bx +c 即a 1a 2x 2+(a 1c 2+a 2c 1)x +c 1c 2可以分解为(a 1x +c 1)(a 2x +c 2)。这里要确

定四个常数a 1，c 1，a 2，c 2，分析和尝试都要比首项系数是1的类型复杂，因此一般要借助画十字交叉线的办法来确定。

下面我们一起来学习用十字相乘法因式分解。

【分类解析】

1. 在方程、不等式中的应用

例1. 已知：x -11x +24>0，求x 的取值范围。 2. 在几何学中的应用

例. 已知：长方形的长、宽为x 、y ，周长为16cm ，且满足

2

x -y -x 2+2xy -y 2+2=0，求长方形的面积。

3、在代数证明题中的应用

例. 证明：若4x -y 是7的倍数，其中x ，y 都是整数，则8x +10xy -3y 是49的倍数。

分析：要证明原式是49的倍数，必将原式分解成49与一个整数的乘积的形式。 证明一：8x +10xy -3y =(2x +3y )(4x -y )

2

2

2

2

2(2x +3y )=4x +6y =4x -y +7y

∵4x -y 是7的倍数，7y 也是7的倍数（y 是整数） ∴2(2x +3y )是7的倍数

而2与7互质，因此，2x +3y 是7的倍数，所以8x +10xy -3y 是49的倍数。 证明二：∵4x -y 是7的倍数，设4x -y =7m （m 是整数）

2

2

则y =4x -7m

又∵8x +10xy -3y =(2x +3y )(4x -y )

2

2

∴(2x +12x -21m )(4x -4x +7m )=7m (14x -21m )=49m (2x -3m ) ∵x ，m 是整数，∴m (2x -3m )也是整数 所以，8x +10xy -3y 是49的倍数。 4、中考点拨

例1. 把4x y -5x y -9y 分解因式的结果是________________。 解：4x y -5x y -9y

4

2

2

2

2

4

2

2

2

2

22

=y 2(4x 4-5x 2-9)

=y 4x -9x +1

2

=y 2

((x

2

)(

2

)

2

+1)(2x +3)(2x -3)

说明：多项式有公因式，提取后又符合十字相乘法和公式法，继续分解彻底。 例2.

因式分解：6x -7x -5=_______________ 解：6x -7x -5=(2x +1)(3x -5)

2

2

说明：分解系数时一定要注意符号，否则由于不慎将造成错误。 5、题型展示

例1. 若x -y +mx +5y -6能分解为两个一次因式的积，则m 的值为（ ） A. 1

22

2

B. -1

2

C. ±1

D. 2

解：x -y +mx +5y -6=(x +y )(x -y )+mx +5y -6 -6可分解成(-2)⨯3或(-3)⨯2，因此，存在两种情况：

（1） （2）

x-y 3 x-y 2

由（1）可得：m =1，由（1）可得：m =-1 故选择C 。

说明：对二元二次多项式分解因式时，要先观察其二次项能否分解成两个一次式乘积，再通过待定系数法确定其系数，这是一种常用的方法。

例2. 已知：a 、b 、c 为互不相等的数，且满足(a -c )=4(b -a )(c -b )。

2

求证：a -b =b -c

证明： (a -c )=4(b -a )(c -b )

2

∴(a -c )-4(b -a )(c -b )=0

∴a 2-2ac +c 2-4bc +4ac -4ab +4b 2=0

2

∴a +c -4b a +c +4b =0()()

2

2

∴(a +c -2b )=0∴a +c -2b =0∴a -b =b -c

说明：抓住已知条件，应用因式分解使命题得证。

例3. 若x +5x +7x +a 有一因式x +1。求a ，并将原式因式分解。 解： x +5x +7x +a 有一因式x +1

∴当x +1=0，即x =-1时，x +5x +7x +a =0 ∴a =3

3

2

3

2

3

2

2

x 3+5x 2+7x +3

=x 3+x 2+4x 2+4x +3x +3

=x 2(x +1)+4x (x +1)+3(x +1)=(x +1)(x +4x +3)

2

=(x +1)(x +1)(x +3)=(x +1)(x +3)

说明：由条件知，x =-1时多项式的值为零，代入求得a ，再利用原式有一个因式是x +1，分解时尽量出现x +1，从而分解彻底。

【实战模拟】 1. 分解因式：

（1）a b +16ab +39 （2）15x

（3）x +3x

2

2

2n

2

+7x n y n +1-4y 2n +2

(

2

)

2

-22(x 2+3x )+72

2. 在多项式x +1，x +2，x +3，x +2x -3，x +2x -1，x +2x +3，哪些是多项式x +2x

3. 已知多项式2x -x -13x +k 有一个因式，求k 的值，并把原式分解因式。

4. 分解因式：3x +5xy -2y +x +9y -4

5. 已知：x +y =0. 5，x +3y =12. ，求3x +12xy +9y 的值。

2

2

2

2

2

2

2

(

2

)

4

-10(x 2+2x )+9的因式？

2

32

【试题答案】

1.

（1）解：原式=(ab )+16ab +39=(ab +3)(ab +13) （2）解：原式=3x -y

2

(

n n +1

)(5x )(

n

+4y n +1)

（3）解：原式=x +3x -4x +3x -18=(x +4)(x -1)(x +6)(x -3)

2

2

()

2.

解： x +2x

(

2

)

4

-10(x 2+2x )+9

2

2

=(x 2+2x )-9(x 2+2x )-1

2

[][

2

]

2

=x +2x +3x +2x -3x +2x +1x +2x -1

2

2

2

(=(x

2

)()()(+2x +3)(x +3)(x -1)(x +1)(x +2x -1)

2

2

2

)

∴其中x +1，x +3，x +2x +3，x +2x -1是多项式

(x 2+2x )-10(x 2+2x )+9的因式。

4

2

说明：先正确分解，再判断。 3.

解：设2x -x -13x +k =(2x +1)x +ax +b

3

2

2

()

则2x -x -13x +k =2x +(2a +1)x +(a +2b )x +b

3

2

3

2

⎧2a +1=-1⎪

∴⎨a +2b =-13

⎪b =k ⎩⎧a =-1⎪

解得：⎨b =-6

⎪k =-6⎩

∴k =-6且2x -x -13x -6=(2x -1)x -x -6=(2x -1)(x -3)(x +2)

3

2

2

()

说明：待定系数法是处理多项式问题的一个重要办法，所给多项式是三次式，已知有一个一次因式，则另一个因式为二次式，由多项式乘法法则可知其二次项系数为1。 4.

解：简析：由于项数多，直接分解的难度较大，可利用待定系数法。 设3x +5xy -2y +x +9y -4

2

2

=(3x -y +m )(x +2y +n )

=3x +5xy -2y +(m +3n )x +(2m -n )y +mn

2

2

⎧m +3n =1⎪

比较同类项系数，得：⎨2m -n =9

⎪mn =-4⎩

⎧m =4

解得：⎨

n =-1⎩

∴3x +5xy -2y +x +9y -4=(3x -y +4)(x -2y -1)

2

2

5.

解：3x 2

+12xy +9y 2

=3(x 2+4xy +3y 2)=3(x +y )(x +3y )

x +y =0. 5，x +3y =12. ∴原式=3⨯0. 5⨯12. =18.

说明：用因式分解可简化计算。