数学分析教案(1)

第一章 变量与函数

§1.1 常用符号

教学目的及基本要求：正确理解和掌握各种常用符号，

难点:各种常用符号正确的写法 ；

课时:2 课时.

一、集合符号

1、集合与元素之间:设A 是集合. x 是元素.

_

x Î A —元素x 属于A x  ÎA (x ÏA) —元素x 不属于A

P (x ) —元素x 具有性质P

2 集合之间. 设 A . B 两个集合.

A Ì B —A 被B 包含或A 包含于B

A =B —A 与 相等. 即 A Ì B 且 A É B

A Ì B 且 A ¹ B —A 是B 的真子集

} A È B — A 与 的并集. 即 A È B ={ x x Î A 或 x Î B

A Ç B — A 与 的交集. 即 A Ç B ={ x x Î A 且 x Î B }

A ­ —A 与 的余集. 即A ­ ={ x x Î A 且 x Ï B }

推广至无限. 设 A 1  , A 是一列无限多个集合 2 L  A n L

x 存在某一自然数 R . 有 x Î A } U A  ={ n k

n =1

¥ ¥

x 对任意自然数 R . 有 x Î A } I A  ={ n k

n =1

二、数集符号.

R —实数集

Z —整数集

1. 区间 Q —有理数集 N —自然数集 " . a b R . a

] ，[ 有限区间 ( a , b a , b a , b a , b ] ) ，[ ) ， (

无限区间 ( - ¥ , a  ) ， ( a ,  +¥ ) ， [ a ,  +¥ ) ，( -¥ , a ] 

2. 邻域. 设 a ΠR . 任意 d > 0

将数集x x -

当无需注明邻域半径时常表为 U  (a ) . 简称a 邻域，进而. 将数集x 0 

 U  ( a , d ) . 称为a 的d 的去心邻域. 同样无需注明d 时. 即 U  ( a ) . 即a a  - d , a + d ) ­{ }a  = (

的去心邻域. 

三、逻辑符号 

1. 连词符号“Þ”“Û ”

设 A , B 是两个陈述句. 可以是条件. 可以是命题.  0 0 

A Þ B —若A 成立. 则B 成立 

A Û B — A 与 等价. 

2. 量词符号. 

“"”—“任意”或“任意一个”( Any ) 

“$”—“存在”或“能找到”( Existence ) 

应用上述的数理逻辑符号表述定义、定理等比较简练明确. 

例：设有命题“集合A 中任意元素a 都有性质 P (a ) 

符号表为： " a Î A ,  有 P (a ) 

四、其它符号： 

max —最大 min —最小

（阶乘） n ! ( n - 1 ) L  3 × 2 × 1 —不超过n 的所有自然数的连乘积.   = n 

（双阶乘）n ！！——不超过n 且与n 有相同奇偶性的自然数的连乘积.

)( )L   5 × 3 × 1 2 k  - 1 ! =( 2 k  - 1 2 k - 3 ( )! 

(2k)!!=2k(2k­2)… 6×4× 2

规定0！=1  

m ( C n n ,  m Î N + , m £ n ) 2——从n 个不同元素中取m 个元素的组合数. 

即： C  n =m ( n - 1) ) =n !  n  L  ( n - m + 1 

! m ! m ! n - m 

n - m m m m -1  C  n C  n +1  = C  n + 公式： C  n = C n m 

§1.2 函数

教学目的及基本要求：

正确理解和掌握函数的概念和性质，了解函数的四则运算及函数的图象. 

重点：函数的概念. 

课时：2 课时

一、函数概念

1、定义 设 A 是非空数集. 若存在对应关系 f  , 对 A 中任意数x  ("x ΠA )  , 按照对应关

系 f  , 对应唯一一个 y ΠR , 则称 f 是定义在A 上的函数, 表为 

f $y Πf (x )  "x ΠD $ f : A R

在自然科学、工程技术. 甚至在某些社会科学中. 函数是被广泛应用的数学概念之一. 在数 学中处于基础核心地位. 函数不仅是贯穿中学《代数》的一条主线. 它也是数学分析这门课程 研究的对象. 简言之. 数学分析就是利用极限方法研究函数. 

二、函数的图像

ì 1 ï （1）符号函数.  sgn x  = í 0 

ï -1 î x > 0 x = 0 " x Î R . 总有x = x sgn x

 x 

图 1.1 

] . 即 " x Î R . 对应的 y 是不超过x 的最大整数. （2）取整函数 y = [ x 

] = { } （3）小数函数 y = x - [ x x Î [ 0,  1 ) 即 " x Î R . 对应的 y 是x 的非负小数部分. 

( x ) = í （4）狄利克莱函数 y = D ì1  

0 î x Î Q x Î R -

Q 

图 1.2 

三、四类具有特殊性质的函数 

1. 有界函数

定义 1: 函数 f (x ) 在I 有上界Û $ ) £ b . b Î R ， " x Î I ，有 f (x 

函数 f (x ) 在I 有下界Û $ ) ³ a . a Î R ， " x Î I ，有 f (x 

让学生自行得出：有界，无界，无上界，无下界 举例： P - 15 例 1，例 2，例 3，例 4，例 5 13

2. 单调函数

定义: 设 f (x ) 在数集I 有定义. 若 "x  1  , x   

(f (x 1) £ f (x 2  ))  则称 f (x ) 在I 严格增加. （单调增加）同理可定义严格减少（单调减少） 

3. 奇函数与偶函数. 

定义 3: 函数 f (x ) 定义在数集 I 上. 若① "x   Î I , - x Î I ② f  ( - x ) = f (x ) 则称函数 f (x ) 是偶函数. 

4. 周期函数. 

定义 4: 设函数 f (x ) 定义在数集 D 上. 若 $ T > 0 ， " x Î D .  有 x ± T Î D . 且 f ( x ± T ) = 

f  (x ) . 则称 f (x ) 是D 上一个周期函数. T 称为 f (x ) 的一个周期. 

四、复合函数 

1. 定义 设函数 z = f (y )  定义在数集 B 上, 函数 y = j (x )  定义在数集 A 上,  G 是 A 中使 y =j (x )  Î B 的 x 的非空子集, 即

G ={ x |x ÎA , j (x )  ÎB }  ¹F 

"x ΠG , 按照对应关系j , 对应唯一一个 y ΠB , 再按照对应关系 f 对应唯一一个z  , 于是 

)  与 "x Î G 都对应唯一一个 z  . 于是在G 上定义了一个函数, 表为 f o  j , 称为函数 y = j (x

z = f (y )  和复合函数, 即 (f o  j)(x ) =f [ j (x ) ] ,  x Î G ,  

y 

2. 注 称为中间变量. f o j 是函数j 与 f 的一种运算——复合运算. 一般来说,  f o j¹ j o  f (尽管个别点

的函数值可能相等, 但是作为函数相等). 例如, 设 f (x ) =sin x , g (x )  = x , 则 2 

(f o g )(x ) =sin x 2¹(sinx ) 2 =(g o  f )(x ), "x ¹ 0 . 

这说明函数的复合运算与加、 加乘运算不同， 它不满足交换律。 容易证明它满足结合律： 

f o (g o h ) = (f o g )  o  h . 

例如:函数

 z 的定义域是区间[ 0, +¥ ] , 函数 y =(x -1)(2- x )  的定义域是R  , 为了

使其生成复合函数, 必须要求 y =(x -1)(2-x ) ³ 0 , 即1£x £ 2 . 于是 "x Π[ 1, 2 ] , 函数 y =(x -1)(2-

x )  与z 生成了复合函数

 z =以上是两个函数生成的复合函数, 不难将复合函数概念推广到有限个函数生成的复合函 数, 如:三个函数

 u =z =ln y , y =2x + 3 生成的复合函数为

u =x Î[ -1,  +¥ ] 

我们不仅能够将若干个简单函数生成为复合函数, 而且, 还要善于将复合函数“分解”为 若干个简单函数。如：函数

 y = tan 是由四个简单函数 y = tan  u ，

 u ， v = lg  w ， w = arcsin  x 所生成的复合函数. 

五. 反函数 

1 定义 设函数 y = f (x )  在数集 A 有定义. 若 "x 1,  x 2 Î A , 有 

x 1¹x 2Þf (x 1) ¹ f (x 2 )  

则称函数 y = f (x )  在 A 一一对应. (或 f (x 1) =f (x 2)  Þx 1= x 2 ), 

函数 y = f (x )  在 A 一一对应, 就是 f 把不同的 x Î A 对应为不同的 y =f (x ) Πf (A )  , 即 "y Î f (A )  只有唯一一个x ΠA , 使 f (x )  = y . 

2 定义 设函数 y = f (x )  在 A 一一对应, 即 "y Πf (A )  , 存在唯一一个x ΠA , 使 f (x )  = y , 

这是一个由 f (A )  到A 新的对应关系, 称为 y = f (x )  的反函数, 表示为 

x =f - 1 (y ),

注: 反函数 x = f - 1 y Πf (A )  . (y )  的定义域和值域恰好是函数 y = f (x )  的值域和定义域. 函数 

y = f (x )  与 x = f - 1 (y )  互为反函数, 有

f - 1 [ f (x ) ] ºx ,  x ΠA

- 1 f éf ë(y ) ù û ºy , y Î f (A )  

3 定理 1. 若函数 y = f (x )  在数集 A 严格增加(严格减少), 则函数 y = f (x )  存在反函数, 且

反函数 x = f - 1 (y )  在 f (A )  也严格增加(严格减少). 

函数的严格单调性是它存在反函数的充分条件, 而不是必要条件. 例如, 函数

ì-x +1, ï y = í ï î x , -1£x 

在区间[ - 1,1]  不是单调函数. 但是, 它在 f [ -1,1] = [ 0, 2 ] 却存在反函数 ( )

ì 0£y £ 1 ï y , x =f (y ) = í . 

ï î1 -y , 1

六 初等函数 

1 定义: 常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数与反三角函数，这六类元素称

为基本初等函数. 

2 定义: 由基本初等函数经过有限次的四则运算以及有限次的复合所生成的函数称为初等

函数, 否则, 称为非初等函数. 

如

: y =log cos x 2 

a x tan  x - x , y =e 等都是初等函数. 但是, 狄利克雷函数 , y x 2 

D (x  )  , 符号函数sgn x 等都是非初等函数. 

作业： P 21  5  8 P 32  2   10