2015年海淀区初三一模数学试题及答案
2015年北京市海淀区中考数学一模试卷
一、选择题（本题共30分，每小题3分）
1．2015年北京市实施能源清洁化战略，全市燃煤总量减少到15 000万吨左右，将15 000用科学记数法表示应为（ ）
A ． 0.15⨯105 B ．1.5⨯104 C ．1.5⨯105 D ．15⨯103 2．右图是某几何体的三视图，该几何体（ ）是
A. 三棱柱 B. 三棱锥 C. 长方体 D. 正方体 3．如图，数轴上两点A ，B 表示的数互为相反数，则点B 表示的数为（ ）
A ．-1 B ．1 C ．-2 D ．
2
4．某游戏的规则为：选手蒙眼在一张如图所示的正方形黑白格子纸（九个小正方形面积相等）上描一个点，若所描的点落在黑色区域，获得笔记本一个；若落在白色区域，获得钢笔一支．选手获得笔记本的概率为（ ）
A ．
1445 B ． C ． D ． 2599
5．如图，直线a 与直线b 平行，将三角板的直角顶点放在直线a 上，若∠1=40°，则∠2等于（ ） A ． 40° C ．60° B ．50° D ．140°
6．如图，已知∠AOB ．小明按如下步骤作图：
（1）以点O 为圆心，适当长为半径画弧，交OA 于D ，交OB 于点E ． （2）分别以D ，E 为圆心，大于（3）画射线OC ．
根据上述作图步骤，下列结论正确的是（ ）
A ．射线OC 是∠AOB 的平分线 B ．线段DE 平分线段OC C ．点O 和点C 关于直线DE 对称 D ．OE =CE
7．某次比赛中，15名选手的成绩如图所示，则这15名选手成绩的众数和中位数分别是（ ） A ．98，95 B ．98，98 C ．95，98 D ．95，95 1
DE 的长为半径画弧，两弧在∠AOB 的内部相交于点C ． 2
8. 甲骑车到乙家研讨数学问题，中途因等候红灯停止了一分钟，之后又骑行了1.2千米到达了乙家．若甲骑行的速度始终不变，从出发开始计时，剩余的路程S （单位：千米）与时间t （单位：分钟）的函数关系的图象如图所示，则图中a 等于（ ）
A ．1.2 B ．2 C ．2.4 D ．6
9．如图，⊙O 的直径AB 垂直于弦CD ，垂足为E . 若∠B =60︒，AC =3，则CD 的长为（ ） A ． 6 B
． C
D ．3
10．小明在书上看到了一个实验：如右图，一个盛了水的圆柱形容器内，有一个顶端拴了一根细绳的实心铁球，将铁球从水面下沿竖直方向慢慢地匀速向上拉动. 小明将此实验进行了改进，他把实心铁球换成了材质相同的别的物体，记录实验时间t 以及容器内水面的高度h ，并画出表示h 与t 的函数关系的大致图象. 如左下图所示. 小明选择的物体可能是（ ）
二、填空题（本题共18分，每小题3分） 11．分解因式：a 3-ab 2=____________．
12．写出一个函数y =kx （k ≠0），使它的图象与反比例函数y =
1
的图象有公共点，这个函数的解析x
式为___________．
13．某学习小组设计了一个摸球试验，在袋中装有黑，白两种颜色的球，这些球的形状大小质地等完全相同，即除颜色外无其他差别. 在看不到球的情况下，随机从袋中摸出一个球，记下颜色，再把它放回，不断重复. 下表是由试验得到的一组统计数据：
从这个袋中随机摸出一个球，是白球的概率约为 ．（结果精确到0.1）
14．如图，点C 为线段AB 上一点，将线段CB 绕点C 旋转，得到线段CD ，若DA ⊥AB ，AD =
1，BD ，则BC 的长为__________．
15． 在研究了平行四边形的相关内容后，老师提出这样一个问题： “四边形ABCD 中，AD ∥BC ，请添加一个条件，使得四边形ABCD 是平行四边形”．经过思考，小明说“添加AD =BC ”，小红说“添加AB =DC ” ．你同意 的观点， 理由是 ．
16．若三角形的某一边长等于其外接圆半径，则将此三角形称为等径三角形，该边所对的角称为等径角. 已知△ABC 是等径三角形，则等径角的度数为 .
三、解答题（本题共30分，每小题5分） 17
．计算：2-2-2cos60o +(3.14-π) 0．
⎧3x +4>5x -2，⎪
18．解不等式组：⎨1 4
x ≥x -. ⎪33⎩
19．已知4x =3y ，求代数式(x -2y ) 2-(x -y )(x +y ) -2y 2的值．
20．如图，点A ，B ，C ，D 在同一条直线上，AB=FC，∠A =∠F ，∠EBC =∠FCB ．求证： BE=CD．
2
=0 (k ≠0) . k
（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程的两个实数根都是整数，求整数k 的值．
22．列方程或方程组解应用题:
为了响应学校提出的“节能减排，低碳生活”的倡议，班会课上小李建议每位同学都践行“双面打印，节约用纸”．他举了一个实际例子：打印一份资料，如果用A4厚型纸单面打印，总质量为400克，将其全部改成双面打印，用纸将减少一半；如果用A4薄型纸双面打印，总质量为160克. 已知每页薄型纸比厚型纸轻0.8克，求例子中的A4厚型纸每页的质量. （墨的质量忽略不计）
四、解答题（本题共20分，每小题5分） 23．如图，在□ABCD 中，∠BAD 的平分线交CD 于点E ，交BC 的延长线于点F ，连接BE ，∠F =45°． （1）求证：四边形ABCD 是矩形； （2）若AB =14，DE =8，求sin ∠AEB 的值．
21. 已知关于x 的方程kx 2-x -
24．根据某研究中心公布的近几年中国互联网络发展状况统计报告的部分相关数据，绘制的统计图表如下：
根据以上信息解答下列问题：
（1）直接写出扇形统计图中m 的值；
（2）从2011年到2014年，中国网民人数每年增长的人数近似相等，估算2015年中国网民的人数约为 亿； （3）据某市统计数据显示，2014年末全市常住人口为476.6万人，其中网民数约为210万人．若2014年该市的网民学历结构与2014年的中国网民学历结构基本相同，请你估算2014年末该市网民学历是大专的约有 万人．
25．如图，在△ABC 中，AB=AC，AD ⊥BC 于点D ，过点C 作⊙O 与边AB 相切于点E ，交BC 于点F ，CE 为⊙O 的直径.
（1） 求证：OD ⊥CE ；
（2） 若DF =1， DC =3，求AE 的长．
26．阅读下面材料：
小明遇到这样一个问题：如图1，在△ABC 中，DE ∥BC 分别交AB 于D ，交AC 于E ．已知CD ⊥BE ，CD =3，BE =5，求BC +DE 的值．
小明发现，过点E 作EF ∥DC ，交BC 延长线于点F ，构造△BEF ，经过推理和计算能够使问题得到解决（如图2）．
请回答：BC +DE 的值为_______．
参考小明思考问题的方法，解决问题：
如图3，已知□ABCD和矩形ABEF ，AC 与DF 交于点G ，AC =BF =DF ，求∠AGF 的度数．
五、解答题（本题共22分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）
1
27．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y =x 2-x +2与y 轴交于点A ，顶点为点B ，点C 与点A 关于抛
2物线的对称轴对称．
（1）求直线BC 的解析式；
（2）点D 在抛物线上，且点D 的横坐标为4．将抛物线在点A ，D 之间的部分（包含点A ，D ）记为图象G ，若图象G 向下平移t （t >0）个单位后与直线BC 只有一个公共点，求t 的取值范围．
28．在菱形ABCD 中，∠ADC =120︒，点E 是对角线AC 上一点，连接DE ，∠DEC =50︒，将线段BC 绕点B 逆时针旋转50︒并延长得到射线BF ，交ED 的延长线于点G ． （1）依题意补全图形；
（2）求证：EG =BC ；
（3）用等式表示线段AE ，EG ，BG 之间的数量关系：_____________________________．
29．在平面直角坐标系xOy 中，对于点P (a , b ) 和点Q (a , b ') ，给出如下定义：
⎧b , a ≥1若b '=⎨，则称点Q 为点P 的限变点．例如：点(2,3)的限变点的坐标是(2,3)，点(-2,5)的限变
-b , a
点的坐标是(-2, -5)．
（1）①
点
的限变点的坐标是___________；
2
图象上某一个点的限变点， x
)
②在点A (-2, -1)，B (-1,2)中有一个点是函数y =
这个点是_______________；
≤x ≤k , k >-2) （2）若点P 在函数y =-x +3(-2的图象上，其限变点Q 的纵坐标b '的取值范围是
-5≤b '≤2，求k 的取值范围；
（3）若点P 在关于x 的二次函数y =x 2-2tx +t 2+t 的图象上，其限变点Q 的纵坐标b '的取值范围是b '≥m 或b 'n ．令s =m -n ，求s 关于t 的函数
解析式及s 的取值范围．
海淀区九年级第二学期期中练习
数学试卷答案及评分参考
2015．5
一、 选择题（本题共30分，每小题3分）
二、填空题（本题共18分，每小题3分）
17. (本小题满分5分) 解：原式=
11
-2⨯+1 ………………………………………………………4分 421
=+ ………………………………………………………………5分 4
18. (本小题满分5分)
解： ⎧3x +4>5x -，2①
⎪
⎨14x ≥x -. ②⎪33⎩
由不等式①得 x
由不等式②得 x ≥-2． ……………………………………………………4分 ∴不等式组的解集为-2≤x
19. (本小题满分5分)
解： (x -2y ) 2-(x -y )(x +y ) -2y 2
=x 2-4xy +4y 2-(x 2-y 2) -2y 2………………………………………………2分
=-4xy +3y 2 ……………………………………………………………………3分
=-y (4x -3y )．…………………………………………………………………4分
∵4x =3y ，
∴原式= 0． ………………………………………………………………………5分 20. (本小题满分5分) 证明：∠EBC =∠FCB ， ∴∠A B E =∠F C ．D …………………………………………………………1分
在△ABE 与△FCD 中，
⎧∠A =∠F ,
⎪ ⎨AB =FC ,
⎪∠ABE =∠FCD , ⎩
∴∆ABE ≌∆FCD ．………………………………………………………………4分
∴BE=CD． ………………………………………………………………………5分
21. (本小题满分5分) （1）证明：k ≠0，
2
∴kx 2-x -=0 是关于x 的一元二次方程．
k
2
∆=(-1) 2-4k (-) ……………………………………………………1分
k
=9>0．
∴方程总有两个不相等的实数根． ………………………………………2分
（2）解：由求根公式，得
x =
． 21
, x 2=-． …………………………………………………………4分 k k
∴x 1=
方程的两个实数根都是整数，且k 是整数，
∴ k =-1或k =1．…………………………………………………………5分
22. (本小题满分5分)
解： 设例子中的A4厚型纸每页的质量为x 克．………………………………………1分
由题意，得
400160
=2⨯． ………………………………………………2分 x x -0. 8
解得 x =4． ………………………………………………………3分
经检验， x =4为原方程的解，且符合题意． ………………………………4分 答：例子中的A4厚型纸每页的质量为4克． …………………………………5分
四、解答题（本题共20分，每小题5分） 23. (本小题满分5分)
（1）证明：四边形ABCD 是平行四边形，
∴AD //BC ． ∴∠DAF=∠F ． ∠F =45°， ∴∠DAE=45°．………………………………………1分 AF 是∠BAD 的平分线，
∴∠EAB =∠DAE =45． ∴∠DAB =90．
又四边形ABCD 是平行四边形，
∴四边形ABCD 是矩形． …………………………2分
（2）解：过点B 作BH ⊥AE 于点H ，如图．
四边形ABCD 是矩形， ∴AB =CD ，AD =BC ，∠DCB =∠D =90°．
AB =14，DE =8， ∴ CE=6．
在Rt △ADE 中，∠DAE=45°， ∴∠DEA =∠DAE=45°． ∴ AD=DE =8．
∴ BC =8．
在Rt △BCE 中，由勾股定理得
BE ==10． ……………………………………………3分 在Rt △AHB 中，∠
HAB=45°，
∴BH =AB ⋅sin 45=． …………………………………………4分
在Rt △BHE 中，∠BHE=90°，
AEB=∴sin ∠
BH =． ……………………………………………5分 BE 10
24. (本小题满分5分)
（1）36． ……………………………………………………………………………1分 （2）6.70±0.01． ……………………………………………………………………3分 （3）21． ……………………………………………………………………………5分
25. (本小题满分5分) （1）证明：⊙O 与边AB 相切于点E ，且 CE 为⊙O 的直径．
∴CE ⊥AB ．
AB=AC，AD ⊥BC ，
∴BD =DC ． ………………………………1分 又 OE=OC， ∴OD ∥EB ． ∴ OD ⊥CE ．………………………………2分
（2）解：连接EF ．
CE 为⊙O 的直径，且点F 在 ⊙O 上， ∴ ∠EFC =90°． CE ⊥AB ， ∴∠BEC =90°．
∴∠BEF +∠FEC =∠FEC +∠ECF =90°． ∴∠BEF =∠ECF ．
∴tan ∠BEF =tan ∠ECF ．
∴BF =EF ． EF FC
又DF =1， BD=DC
=3， ∴ BF =2， FC =4．
∴EF = ………………………………………………… 3
分
∵∠EFC
=90°， ∴∠BFE =90°．
由勾股定理，得BE ． ……………………4分 EF ∥AD ，
∴
BE BF 2
EA =FD =1
．
∴AE = ……………………………………………………5分
26. (本小题满分5分)
解：BC ＋DE
． ……………………………………………………2分
解决问题： 连接AE ，CE ，如图． ∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴．
∵四边形ABEF 是矩形，
∴，BF ＝AE ． ∴． ∴四边形DCEF 是平行四边形． ………………………………………………3分 ∴． ∵AC ＝BF ＝DF ， ∴AC ＝AE ＝CE ． ∴△ACE 是等边三角形． …………………………………………………………4分 ∴∠ACE ＝60°． ∵CE ∥DF ， ∴∠AGF ＝∠ACE ＝60°． …………………………………………………………5分
五、解答题（本题共22分，第27题7分，第28题7分，第29题8分） 27. (本小题满分7分)
解：（1）∵抛物线y =12
x 2-x +2与y 轴交于点A ，
∴点A 的坐标为（0，2）． …………………………………………1分 ∵y =1
x 2-x +2=1(x -1) 2+
32
2
， 2
∴抛物线的对称轴为直线x =1，顶点B 的为（1，3
2）． …………2分
又∵点C 与点A 关于抛物线的对称轴对称， ∴点C 的坐标为(2，2) ，且点C 在抛物线上．
设直线BC 的解析式为y =kx +b ．
∵直线BC 经过点B （1，3）和点C 2
(2，2) ，
坐标
31⎧⎧
⎪k +b =，⎪k =，∴⎨2 解得⎨2 ⎪⎪⎩2k +b =2. ⎩b =1. ∴直线BC 的解析式为
1
y =x +1．…………………………3分
2
（2） ∵抛物线y =x 2-x +2中，
当x =4时，y =6，
∴点D 的坐标为(4，6) ． ………………4分
1
∵直线y =x +1中，
2
当x =0时，y =1， 当x =4时，y =3，
∴如图，点E 的坐标为(0，1) ，
点F 的坐标为(4，3) ．
设点A 平移后的对应点为点A ' ，点D 平移后的对应点为点D ' ． 当图象G 向下平移至点A ' 与点E 重合时， 点D ' 在直线BC 上方， 此时t =1；…………………………………………………………5分
当图象G 向下平移至点D ' 与点F 重合时，点A ' 在直线BC 下方，此时t =3．
……………………………………………………………………………………6分 结合图象可知，符合题意的t 的取值范围是1
28. (本小题满分7分)
（1）补全图形，如图1所示．…………………………………………………………1分
F
F
12
G
D
D
G
A
E
C
A
E
C
B
图1 图2
（2）方法一：
B
证明：连接BE ，如图2． ∵四边形ABCD 是菱形， ∴AD ∥BC ．
∠ADC =120︒， ∴∠DCB =60︒．
AC 是菱形ABCD 的对角线，
∴∠DCA =1∠DCB =30︒． ……………………………………………………………2分
2
∴∠EDC =180︒-∠DEC -∠DCA =100︒．
由菱形的对称性可知， ∠BEC =∠DEC =50︒，
∠EBC =∠EDC =100︒．……………………………………………………………………3分 ∴∠GEB =∠DEC +∠BEC =100︒． ∴∠GEB =∠CBE ． ∠FBC =50︒，
∴∠EBG =∠EBC -∠FBC =50︒．…………………………………………………………4分 ∴∠EBG =∠BEC ． 在△GEB 与△CBE 中，
⎧∠GEB =∠CBE , ⎪
⎨BE =EB ,
⎪∠EBG =∠BEC , ⎩
∴△GEB ≌△CBE ．
∴EG =BC ． ………………………………………………………………………………5分 方法二：
证明：连接BE ，设BG 与EC 交于点H ，如图3． ∵四边形ABCD 是菱形， F ∴AD ∥BC ．
G ∠ADC =120︒，
D ∴∠DCB =60︒．
AC 是菱形ABCD 的对角线，
∴∠DCA =1∠DCB =30︒． ………………………2分
2
∴∠EDC =180︒-∠DEC -∠DCA =100︒．
A
E
H
C
由菱形的对称性可知，
∠BEC =∠DEC =50︒，∠EBC =∠EDC =100︒．
B
……………………………………………3分
∠FBC =50︒， 图3
∴∠EBG =∠EBC -∠FBC =50︒=∠BEC ． ………………………………………………4分 ∴BH =EH ．
在△GEH 与△CBH 中，
⎧∠GEH =∠CBH , ⎪
⎨EH =BH ,
⎪∠EHG =∠BHC , ⎩
∴△GEH ≌△CBH ．
∴EG =BC ． ………………………………………………………………………………5分
（3
）AE +BG =． …………………………………………………………………7分 29．(本小题满分8分)
解：（1）①
； ……………………………………………………………………1分
② 点B ． ………………………………………………………………………2分
（2）依题意，y =-x +3(x ≥-2) 图象上的点P 的限变点必在函数y =⎨
⎧-x +3, x ≥1
的图象上．
x -3, -2≤x
∴b '≤2，即当x =1时，b '取最大值2．
当b '=-2时，-2=-x +3．
∴x =5． ………………………………………3分 当b '=-5时，-5=x -3或-5=-x +3．
∴x =-2或x =8． ………………………………4分 -5≤b '≤2，
由图象可知，k 的取值范围是5≤k ≤8．
……………………………………………5分 （3）
y =x 2-2tx +t 2+t =(x -t ) 2+t ，
∴顶点坐标为(t , t ) ．………………………………………………………………6分
若t
当x
∴s =m -n =t +(1-t ) 2+t =t 2+1．
． ……………………………7分 ∴s 关于t 的函数解析式为 s =t 2+1 (t ≥1)
当t=1时，s 取最小值2．
∴s 的取值范围是s ≥2． ………………………………………………………8分