2015年浙江衢州中考数学真题及解析word完整版

2015年浙江衢州中考数学真题卷

一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分） 1. －3的相反数是( )

A.3 B. －3 C.

11 D. - 33

【考查内容】相反数

【答案】A

2. 一个几何体零件如图所示，则它的俯视图是(

)

主视方向

第2题图

A B C D

【考查内容】简单组合体的三视图. 【答案】C 【解析】这个几何体零件的俯视图是一个正中间有一个小正方形的矩形，所以它的俯视图是选项C 中的图形．故选C ． 3. 下列运算正确的是( )

235

A. a +a =2a B. (x ) =x C. 2a ÷a =2a D. x ⋅x =x

3

3

6

6

3

2

3

2

5

【考查内容】代数式. 【答案】D

232⨯36

【解析】对于A ，正确答案应为a +a =2a ，故本选项错误；B. 应为(x ) =x =x ，

3

3

3

故本选项错误；C. 应为2a ÷a =2a ，故本选项错误；故选D ．

4. 如图，在四边形ABCD 中，已知AD =12cm，AB =8cm，AE 平分∠BAD 交BC 边于点E ，则CE 的长等于(

)

633

第4题图

A.8cm B.6cm C.4cm D.2cm 【考查内容】平行四边形的性质. 【答案】C

【解析】因为四边形ABCD 是平行四边形，所以BC =AD =12cm，AD ∥BC ，∠DAE =∠BEA ，因为AE 平分∠BAD ，所以∠BAE =∠DAE ，所以∠BEA =∠BAE ，故BE =AB=8cm ，得CE =BC －BE =4cm；故答案为C ．

5. 某班七个兴趣小组人数分别为4，4，5，x ，6，6，7．已知这组数据的平均数是5，则这组数据的中位数是( )

A.7 B. 6 C.5 D.4 【考查内容】中位数 【答案】C

【解析】因为某班七个兴趣小组人数分别为4，4，5，x ，6，6，7．已知这组数据的平均数是5，所以x =5×7－4－4－5－6－6－7=3，所以这一组数从小到大排列为：3，4，4，5，6，6，7，所以这组数据的中位数是5．故选C ．

6. 下列四个函数图象中，当x ＞0时，y 随x 的增大而减小的是(

)

A

B

C D 【考查内容】二次函数的图象；一次函数的图象；反比例函数的图象. 【答案】B

【解析】当x ＞0时，y 随x 的增大而减小的是B ，故选B.

7. 数学课上，老师让学生尺规作图画Rt △ABC ，使其斜边AB =c ，一条直角边BC =a ．小明的作法如图所示，你认为这种作法中判断∠ACB 是直角的依据是(

)

第7题图

A. 勾股定理

B. 直径所对的圆心角是直角 C. 勾股定理的逆定理

D. 90°的圆周角所对的弦是直径

【考查内容】作图，勾股定理的逆定理，圆周角定理 【答案】B

【解析】由作图痕迹可以看出O 为AB 的中点，以O 为圆心，AB 为半径作圆，然后以B 为圆心BC =a 为半径花弧与圆O 交于一点C ，故∠ACB 是直径所对的圆周角，所以这种作法中判断∠ACB 是直角的依据是：直径所对的圆心角是直角．故选：B ． 8. 如图，已知某广场菱形花坛ABCD 的周长是24米，∠BAD =60°，则花坛对角线AC 的长等于(

)

第8题图

A. B.6米

C. D.3米

【考查内容】菱形的性质. 【答案】A

【解析】四边形ABCD 为菱形，所以AC ⊥BD ，OA =OC ，OB =OD ，AB =BC =CD =AD =24÷4=6（米），又∠BAD =60°，从而△ABD 为等边三角形，所以BD =AB =6米，OD =OB =3米， 在Rt △AOB 中，据勾股定理得：OA

=AC =2OA

=A ． 9. 如图，已知“人字梯”的5个踩档把梯子等分成6份，从上往下的第二个踩档与第三个踩档的正中间处有一条60 cm长的绑绳EF ，tan α=( )

5

，则“人字梯”的顶端离地面的高度AD 是2

第9题图

A. 144 cm B. 180 cm C. 240 cm D. 360 cm 【考查内容】解直角三角形的应用. 【答案】B

1OF AF

=, EF =30cm，∴

2DC AC

302.55AD 5∴=, AD =⨯72=180cm . 故选B ． ∴CD =72cm， tan α==DC 62DC 2

【解析】如图根据题意可知：△AFO ∽△ABD ，OF =

10. 如图，已知△ABC ，AB=BC，以AB 为直径的圆交AC 于点D ，过点D 的⊙O 的切线交BC 于点E ．若CD =5，CE =4，则⊙O 的半径是( )

第10题图

A. 3 B. 4 C. 【考查内容】切线的性质. 【答案】D

2525 D. 68

第10题图

【解析】如图，连接OD 、BD ， DE ⊥BC ，CD =5，CE =4，∴DE =3， AB 是⊙O 的直径，

3

， S △BCD =BD ⋅CD ÷2=BC ⋅DE ÷2，∴5BD =3BC ∴BD =BC ∴∠ADB =90°

5

32525

解得BC =， BD 2+CD 2=BC 2，∴(BC ) 2+52=BC 2， AB =BC ，∴AB =，∴⊙O

544

2525÷2=的半径是；. 故选D ． 48

二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）

11.(4分）从小明、小聪、小惠和小颖四人中随机选取1人参加学校组织的敬老活动，则小明被选中的概率是 ． 【考查内容】概率公式 【答案】

1 4

11，故答案为． 44

【解析】因为小明、小聪、小惠和小颖四人中随机选取1人参加学校组织的敬老活动， 所以小明被选中的概率是

12.(4分）如图，小聪与小慧玩跷跷板，跷跷板支架高EF 为0.6米，E 是AB 的中点，那么

小聪能将小慧翘起的最大高度BC 等于 米．

第12题图

【考查内容】三角形中位线定理 【答案】1.2

【解析】因为EF ⊥AC ，BC ⊥AC ，所以EF ∥BC ，因为E 是AB 的中点，所以F 为AC 的中点，所以BC =2EF ，因为EF =0.6米，所以BC =1.2米，故答案为：1.2． 13.(4分）写出一个解集为x ＞1的一元一次不等式____． 【考查内容】不等式的解集 【答案】x －1＞0

【解析】移项，得x －1＞0（答案不唯一）．

14.(4分）一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OA =1m，水面宽AB =1.2m，某天下雨后，水管水面上升了0.2m ，则此时排水管水面宽CD 等于 m ．

第14题图

【考查内容】垂径定理的应用；勾股定理 【答案】1.6

【解析】因为AB =1.2m，OE ⊥AB ，OA =1m，所以AE =0.8m，因为水管水面上升了0.2m ， 所以AF =0.8﹣0.2=0.6m，所以CF

==0.8m ，所以CD =1.6m．

15.(4分）已知，正六边形ABCDEF 在直角坐标系内的位置如图所示，A (-2,0) ，点B 在原点，把正六边形ABCDEF 沿x 轴正半轴作无滑动的连续翻转，每次翻转60°，经过2015次翻转之后，点B 的坐标是_____________．

第15题图

【考查内容】坐标与图形变化，旋转 【答案】（4031

．

【解析】因为正六边形ABCDEF 沿x 轴正半轴作无滑动的连续翻转，每次翻转60°，所以每6次翻转为一个循环组循环，因为2015÷6=335余5，所以经过2015次翻转为第336循环组的第5次翻转. 点B 在开始时点C 的位置，因为A (-2,0) ，所以AB =2，所以翻转前进的距离=2×2015=4030，如图，过点B 作BG ⊥x 于G ，则∠BAG =60°，所以，AG==1，

1

2

BG

OG =4030+1=4031，所以，点B 的坐标为（4031

．故答案

为(4031

．

16.(4分）如图，已知直线y =-

3

x +3分别交x 轴、y 轴于点A 、B ，P 是抛物线4

1

y =-x 2+2x +5的一个动点，其横坐标为a ，过点P 且平行于y 轴的直线交直线

23

y =-x +3于点Q ，则当PQ =BQ 时，a 的值是

4

第16题图

【考查内容】二次函数综合题

【答案】－1，4，4＋

4－

【解析】设点P 的坐标为(a , -

123

a +2a +5) 则点Q 为(a , -a +3) ，点B 为（0，3）， 24

当点P 在点Q 上方时，BQ

=

135

a ，PQ =-a 2+2a +5-(-a +3)

244

111512112

=-a 2+a +2，因为PQ =BQ ，所以a =-a +a +2整理得a -3a -4=0解得

244243125a =-1, a =4，当点P 在点Q 下方BQ

=a PQ =-a +3-(-a +2a +5)

424

=

12115111

a -a -2，因为PQ =BQ ，所以a =a 2-a -2，整理得：a 2-8a -4=0解

24424

得：a =4+

a =4-a 的值为：－1，4，4＋

4－

答案为－1，4，4＋

4－

三、解答题（本题有8小题，第17-19小题每小题6分，第20-21小题每小题6分，第22-23小题每小题6分，第24小题12分，共66分。请务必写出解答过程）

17.(6

-2+(10-4sin 60.

【考查内容】实数的运算 【解】原式

2＋1－

＝1. 2

2

18.(6分）先化简，再求值：(x -9) ÷【考查内容】分式的化简求值

x -3

，其中x =-1． x

x 2

=x (x +3) =x +3x ，当x =-1时，原式=1－3=－2． x -3

6

19.(6分）如图，已知点A （a ，3）是一次函数y 1=x +b 图象与反比例函数y 2=图象的

x

【解】原式=(x +3)(x -3) 一个交点．

（1）求一次函数的解析式；

（2）在y 轴的右侧，当y 1>y 2时，直接写出x 的取值范围．

第19题图 【考查内容】反比例函数与一次函数的交点问题

, 3) 【解】（1）将A (a

所以y 1=x +1；

代入y 2=

6

得a =2，所以A （2，3），将A （2，3）代入y 1=x +b 得b =1， x

（2）因为A (2,3)，所以根据图象得在y 轴的右侧，当y 1>y 2时，x ＞2．

20.(8分）某校在开展读书交流活动中全体师生积极捐书．为了解所捐书籍的种类，对部分

书籍进行了抽样调查，李老师根据调查数据绘制了如图所示不完整统计

图．请根据统计图回答下面问题：

第20题图

（1）本次抽样调查的书籍有多少本？

（2）求出图1中表示文学类书籍的扇形圆心角度数；

（3）本次活动师生共捐书1200本，请估计有多少本科普类书籍？ 【考查内容】条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图 【解】（1）8÷20%=40（本），其它类；40×15%=6（本），. （2）文学类书籍的扇形圆心角度数为：360×（3）普类书籍有：

14

=126°； 40

12×1200=360（本）． 40

21.(8分）如图1，将矩形ABCD 沿DE 折叠，使顶点A 落在DC 上的点A ′处，然后将矩形展平，沿EF 折叠，使顶点A 落在折痕DE 上的点G 处．再将矩形ABCD 沿CE 折叠，此时顶点B 恰好落在DE 上的点H 处．如图2．

第21题图 图1 图2 （1）求证：EG =CH ；

（2）已知AF

AD 和AB 的长．

【考查内容】全等三角形的判定与性质. 【解】（1）证明：由折叠知AE =AD =EG ，BC =CH ，因为四边形ABCD 是矩形，所以AD =BC ，所以EG =CH ；

（2），∠FGE =∠A =90°，AF

∴DG

DF =2∴AD =AF +DF

； ∠ADE =45°由折叠知∠AEF =∠GEF ，∠BEC =∠HEC ，∴∠GEF +∠HEC =90°，∠AEF +∠BEC =90°，

，∴∠BEC =∠AFE ，在△AEF 与△BCE 中， ∠AEF +∠AFE =90°

⎧∠AFE =∠BEC

⎪

（AAS ）， ∴AF =BE ∴AB =AE +BE

．⎨∠A =∠B =90∴△AEF ≌△BCE

⎪AE =BC ⎩

22.(10分）小明在课外学习时遇到这样一个问题：定义：如果二次函数y =a 1x 2+b 1x +c 1（a 1≠0, a 1, b 1, c 1是常数）与y =ax 22bx +2c +

2

（a 2≠0, a 2, b 2, c 2是常数）满足a 1+a 2=0，

b 1=b 2，c 1+c 2=0则称这两个函数互为“旋转函数”．求函数y =-x 2+3x -2的“旋转函

数”．小明是这样思考的：由函数y =-x 2+3x -2可知，a 1=-1, b 1=3, c 1=-2，根据

a 1+a 2=0，b 1=b 2，c 1+c 2=0求出a 2, b 2, c 2，就能确定这个函数的“旋转函数”．

请参考小明的方法解决下面问题：

（1）写出函数y =-x 2+3x -2的“旋转函数”； （2）若函数y =-x +（3）已知函数y =-

2

4

mx -2与y =x 2-2nx +n 互为“旋转函数”，求(m +n ) 2015的值. 3

1

(x +1)(x -4) 的图象与x 轴交于点A 、B 两点，与y 轴交于点C ，点2

A 、B 、C 关于原点的对称点分布是A 1, B 1, C 1，试证明经过点A 1, B 1, C 1的二次函数与函数

1

y =-(x +1)(x -4) 互为“旋转函数”.

2

【考查内容】二次函数综合题

【解】（1） a 1=-1, b 1=3, c 1=-2，∴-1+a 2=0, b 2=3, -2+c 2=0，-2+c 2=0,

∴a 2=11, b 2=3, c 2=2∴函数y =-x 2+3x -2的“旋转函数”y =x 2+3x +2；

（2）解：根据题意得

4

m =-2n -2+n =-4，解得m =-3, n =2 3

∴(m +n ) 2015=(-3+2) 2015=-1；

（3）证明：当x =0时， y =-

11

(x +1)(x -4) =2则C (0,2)，-(x +1)(x -4) =0当y =0时，22

解得x 1=-1, x 2=4，则A (－1,0) ，B (4,0)，因为点A 、B 、C 关于原点的对称点分布是A 1, B 1, C 1，所以A ,0), B 1(-4,0), C 1(0,-2) ，设经过点A 1, B 1, C 1的二次函数解析式为1(1

1

所以经过点A 1, B 1, C 12

11231

的二次函数解析式为y =(x -1)(x +4) =x +x -2，而y =-(x -1)(x +4) =

2222

133

-x 2+x +2，所以a 1+a 2=0, b 1+b 2= ，c 1+c 2=0，所以经过点A 1, B 1, C 1的二次222

1

函数与函数y =-(x +1)(x -4) 互为“旋转函数．

2

解得a 2=y =a 2(x -1)(x +4) 把C 1(0,-2) 代入得a 2⋅(-1) ⋅4=-2，

23.(10分）高铁的开通，给衢州市民出行带来了极大的方便，“五一”期间，乐乐和颖颖相约到杭州市的某游乐园游玩，乐乐乘私家车从衢州出发1小时后，颖颖乘坐高铁从衢州出发，先到杭州火车站，然后再转车出租车取游乐园（换车时间忽略不计），两人恰好同时到达游乐园，他们离开衢州的距离y （千米）与乘车时间t （小时）的关系如图所示．请结合图象解决下面问题：

（1）高铁的平均速度是每小时多少千米？

（2）当颖颖达到杭州火车东站时，乐乐距离游乐园还有多少千米？

（3）若乐乐要提前18分钟到达游乐园，问私家车的速度必须达到多少千米/小时？

第23题图 【考查内容】一次函数的应用 【解】（1）v =

240

=240. 2-1

答：高铁的平均速度是每小时240千米；

（2）设y =kt +b ，当t =1时，y =0，当t =2时，y =240，得：⎨

⎧0=k +b

⎩240=2k +b

⎧k =240解得：⎨故把t =1.5代入y =240t -240，得y =120，设y =at ，当t =1.5，

b =-240⎩

y =120，得k =80，∴y =80t ，当t =2，y =160，216－160=56（千米），所以乐乐距

离游乐园还有56千米；

（3）把y =216代入y =80t ，得t =2.7，2.7-

18216

=2.4（小时）=90（千米/时），． 602.4

27

，动点P 从A 点出发，沿射线2

所以乐乐要提前18分钟到达游乐园，私家车的速度必须达到90千米/小时． 24.(12分）如图，在△ABC 中，AB =5，AC =9，S △ABC =

AB 方向以每秒5个单位的速度运动，动点Q 从C 点出发，以相同的速度在线段AC 上由C 向A 运动，当Q 点运动到A 点时，P 、Q 两点同时停止运动，以PQ 为边作正方形PQEF （P 、Q 、E 、F 按逆时针排序），以CQ 为边在AC 上方作正方形QCGH ． （1）求tan A 的值；

（2）设点P 运动时间为t ，正方形PQEF 的面积为S ，请探究S 是否存在最小值？若存在，求出这个最小值，若不存在，请说明理由；

（3）当t 为何值时，正方形PQEF 的某个顶点（Q 点除外）落在正方形QCGH 的边上，请直接写出t 的值．

第24题图

【考查内容】正方形综合题

S △ABC =【解】（1）如图1，过点B 作BM ⊥AC 于点M ，因为AC =9，

=271，所以AC ⋅BM 2227127，即⋅9⋅BM =，解得BM =3．由勾股定理，得AM

=4则222

3tan A =.

4

图1

（2）存在．如图2，过点P 作PN ⊥AC 于点N ．依题意得AP =CQ =5t ．因为tan A =

223所以42AN =4t ，PN =3t ．所以QN =AC －AN －CQ =9－9t ．根据勾股定理得到：PN +NQ =PQ

9b 1629==．因为-S 正方形PQEF =PQ 2=(3t ) 2+(9-9t ) 2=90t 2-162t +81（0

在t 的取值范围之内，所以S 最小值4ac -b 281=

=4a 10

图2

99；②如图4，当点F 在边HG 上时，t 2=； 1411

9t 4=. ③如图5，当点P 边QH （或点E 在QC 上）时， t 3=1；④如图6，当点F 边C 上时，7（3）①如图3，当点E 在边HG 上时，t 1=

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图3

图5 图4

图6

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