大小较量 求差求商

大小较量 求差求商

—— 数的大小比较

湾里一中 数学组 鲁娟娟

在数学里，分辨何是重要，何事不重要，知所选择是很重要的。 ——广中平佑 数学中经常会遇到比较大小的题目，或是题目中间要用到比较大小的地方，七年级上已经学习了用数轴和绝对值比较大小，七年级下，我们又学习了做差，做商来比较大小等，下面就来总结一下比较大小的方法。

方法一、利用数轴比较

对于给定的任意两个有理数，在数轴上总可找到对应的点，然后依据“右边的数总比左边的数大”的法则，就能确定它们的大小。这种“数形结合”的思想方法，在今后的学习中应用十分广泛，请同学们扎实掌握。

例1. 比较与的大小。 解：在数轴上表示的点在表示

的点的右边，如图所示，所以。

这种“数形结合”的思想方法，简单而且直观，在今后的学习中应用十分广泛，请同学们扎实掌握。

方法二、利用已知结论比较

这里的“已知结论”指诸如正数都大于0，负数都小于0；正数大于一切负数；两个负数，绝对值大的反而小，等等。利用上面结论比较有理数的大小是最常用的基本方法。

例2. 用“＜”联结下列各数：

解：先将各数与0比较，得 因为，而，所以。 又因为，而，故。 综上得。

需要再次强调的是，只有负数之间的比较才需要通过绝对值这个桥梁先比较，绝对值大的反而。

方法三、化成同分子比较

在比较大小时，化成同分子也是一个有效方法。

例3. 比较的大小。 解：因为， 而， 知 即

方法四 、求差法

求差法是非常常用也是非常重要的比较大小的方法，它的基本思路是设a,b

为任意两个实数，先求出a 与b 的差，再根据当a-b ﹥0时，得到a ﹥b. 当a-b ﹤0时，得到a ﹤b 。. 当a-b ＝0, 得到a=b。

例4：（1）比较-11与的大小。 55

（2）比较1-2与1-的大小。

（1）解 ∵-113-2－＝＜0 555

-11＜。 55 ∴

（2）解 ∵（1-2）-（1-）=-2＞0

∴1-2＞1-。

方法五 求商法

a 求商法的基本思路是设a 、b 为任意两个正实数，先求出a 与b 得商。＜1b

a a 时，a ＜b ，当＞1时，a ＞b. 当=1时，a=b来比较a 与b 的大小。 b b

例5： 比较-11与的大小 55

解∵-11÷=3-1＜1 55

-11＜ 55

a

b ∴ 做商法适合同号两个数的大小的比较，如果两个负数利用做商法比较，则

＜1时，a ＞b ；当a a ＞1时，a ＜b ；当=1时，a=b。 b b

方法六 倒数法

倒数法的基本思路是设a ,b 为任意两个正实数，先分别求出a 与b 得到数，11再根据当＞时a ＜b ，来比较a 与b 的大小 a b

例6; 比较2004-2003与2005-2004的大小

解 ∵1

2004-2003=2004+2003

1

2005-2004=2005+2004 又∵2004+2003＜2005+2004 ∴2004-2003＞2005-2004

求倒数的方法求二个负数的方法，当11＞时，a ＜b 。 a b

方法七 估算法

估算法的基本是思路是设a.b 为任意两个正实数，先估算出a,b 两数或两数中某部分的取值范围，再进行比较。

例7: 比较1-3与的大小 88

解 ∵3＜＜4

∴-3＜1

∴-31＜ 88

方法八 平方法

平方法的基本是思路是先将要比较的两个数分别平方，再根据a ＞0,b ＞0时，可由a 2＞b 2得到a ＞b, 来比较大小，这种方法常用于比较同号的无理数的大小。

例8: 比较2+6与3+5的大小

解 ∵(2+6) 2=2+2+6=8+2 (3+) 2=3+2+5=8+2

又∵8+2＜8+2 ∴2+＜+

方法九 移动因式法

移动因式法的基本是思路是, 当a ＞0,b ＞0, 若要比较形如a 与c d 的大小，可先把根号外的因数a 与c 平方后移入根号内，再根据被开方数的大小进行比较

例9: 比较2与33的大小

解 ∵2=22*7=28 33=32*3=27

又∵28＞27 ∴2＞3

对于不同的问题要灵活用简便合理的方法来解题。能方便快速地取得令人满意的结果。

方法十、比较被开方数

若a>0,b>0,且a>b,则a >b .

例10 比较2. 8与23的大小. 4

分析: 根据已知式子的特点, 可以将分数化为小数, 然后比较被开方数的大小.

因为233=2. 752. 44

方法十一、裂项比较法

将一个数分成两个数的和或差，称之为裂项。

例11. 比较与的大小。 分析：先比较与的大小，，但因2003、2004、2005三个数比较大，计算量就比较大，转而考虑与均小于1，但它们比1小多少呢？ 解：因为， 而 故，所以。

练习题

1. 估计-8的运算结果应在（ ）

A.3到4之间 B.5到6之间 C.6到7之间 D.6.5到7之间

12. 如果a

3. （1）32+422⨯3⨯4；

（2）(-3)+12 2⨯(-3)⨯1； 2

（3）)1⎛1⎫+ ⎪2⨯3⨯； 3⎝3⎭22

（4）32+322⨯3⨯3.

仔细观察（1）~（4），你发现了什么规律，再任找一些数，验证你的发现规律是否正确？

[***********]0120014. 若a =，b =，c =，试比较a ，b ，c 的大小，[***********]002000

并将它们由从小到大的顺序排列。

5. 比较56与6的大小。

6. 比较3a 与4a -1的大小。

7. 若a >0,b0，试将-a , a , b , -b 从小到大排列。

8、比较-11和的大小 22

9、制作某产品有两种用料方案，方案1用4张A 型钢板，8张B 型钢板；方案2用3张A 型钢板，9张B 型钢板。A 型钢板的面积比B 型钢板的大。从省料角度考虑，应选哪种方案？

10、比较-11和的大小 25

11、当a >b >0时，比较a 2b 与ab 2的大小

1的大小。 a

1（2）已知0

12、（1）已知a >1，试比较a 与