利用换元法证明不等式
利用换元法证明不等式
廖东明
合理换元往往能简化题设的信息、凸显隐含条件、沟通量与量之间的联系,对发现解题思路、优化解题过程具有重要作用.换元法在不等式证明中也具有独特的作用.
一、三角换元
在一些代数不等式证明中,选用适当的三角函数进行换元,把代数问题转化为三角问题,充分利用三角函数的性质可以使问题化难为易.
例1.已知1≤x 2+y 2≤2,求证:1≤x 2-xy +y 2≤3. 2
分析:条件1≤x 2+y 2≤2表示的图形是一个圆环,可采用三角换元,分离出参变量r 和θ,进而利用同向不等式的乘积法则使问题获解.
证明:令x =r cos θ,y =r sin θ,θ∈[0,2π) ,则x 2+y 2=r 2,
1x 2-xy +y 2=r 2-r 2cos θsin θ=r 2(1-sin 2θ) . 2
1131122∵-1≤sin θ≤1,∴≤1-i n2θ≤.又1≤r ≤2,∴≤r (1-sin 2θ) ≤3,22222
即1≤x 2-xy +y 2≤3. 2
2222点评:三角换元法依据的公式有sin θ+cos θ=1,sec θ-tan θ=1,
csc 2θ-cot 2θ=1等,要求解题者善于类比和联想,并且根据具体问题灵活处理.如对条x 2y 2
件2-2=1可作三角换元x =a sec θ,y =b tan θ,θ∈[0,2π) . a b
二、代数换元
对于那些具有一定结构特色的代数式,根据题目的特点,巧设某些代数式作换元,往往能收到化繁为简化难为易的功效.
1.局部式子换元
例2.已知a >1,n ≥2且n ∈
N 1
n
分析:注意到n =
a =x (x >1),便可凸显关系,简化书写,使问题快捷得解.
a -1x n -1x n -1+x n -2+ +x +1==(x -1) ⋅证明:
=x ,由a >1可知x >1,∴ n n n
a -1>x -
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x n -12n -1点评:解题过程中要善于联想和变用,如由1+x +x + +x =(x ≠1)可x -1
n n -1n -2以得到恒等式x -1=(x -1)(x +x + +x +1) (x =1也满足).这样,可以开启思路,简化过程.
2.均值增量换元
a 2
例3.已知x +y +z =a ,求证:x +y +z ≥. 3222
分析:由于x , y , z 在条件等式和待证不等式中都具有轮换对称性,易知不等式在x =y =z =
换法证题. a a 时取得等号,在x +y +z =a 中x , y , z 的平均值就是,故采用均值增量代33
a a a +α,y =+β,z =+γ,其中α+β+γ=0,333
a a a a 22222222+a (α+β+γ) +(α2+β2+γ2) 则x +y +z =(+α) +(+β) +(+γ) =33333
a 2a 2222=+(α+β+γ) ≥. 33证明:根据x +y +z =a ,设x =
点评:本例的均值增量代换,首先进行一系列的等式转化,最后利用非负数的性质由相等实现向不等转化,解答自然流畅,且降低了寻找解题突破口的难度.
3.简化分母换元
a b c ++≥3. b +c -a c +a -b a +b -c
分析:审视待证不等式,字母a , b , c 具有轮换对称性,易知在a =b =c 时取得等号,例4.设a , b , c 是三角形三边的长,求证:通过对分母换元简化分母,变成容易利用平均值不等式的形式来使问题获解.
y +z ,2
z +x x +y y +z z +x x +y a b c b =++=++,c =,于是 22b +c -a c +a -b a +b -c 2x 2y 2z
11x y z y x z y x z y =[(+) +(+) +(+)]≥(2+2+2) =3,当且仅当=、=、22y x y z z x x y y z
z x =即x =y =z 时取得等号.故原不等式成立. x z 证明:令b +c -a =x ,c +a -b =y ,a +b -c =z ,则x , y , z 均为正数,且a =点评:通过对分母换元,简化分母,“复杂”分子,为利用平均值不等式创造有利条件,使问题化难为易.
a 2b 2
+≥8. 例5.若a >1,b >1,求证:b -1a -1
2a 2
=8解得a =2,即在分析:审视待证不等式,字母a , b 具有轮换对称性,令a -1
a =b =2时取得等号,通过对分母换元简化分母,巧妙利用平均值不等式进行证明.
证明:∵a >1,b >1,∴设a =1+t 1,b =1+t 2,t 1∈R +、t 2∈R +,则原不等式等(1+t 1) 2(1+t 2) 2
价于+≥8.
t 2t 1
(1+t 1) 2(1+t 2) 2而=
+
≥t 2t 1(1+t 1) 2(1+t 2) 2≥4+4=8,即+≥8.当且仅当=t 2t 1(1+t 1) 2(1+t 2) 2=
=t 1=t 2,即t 1=t 2=1亦即a =b =2时取得等号. t 2t 1a 2b 2
+≥8. 故b -1a -1
点评:本例两次应用平均值不等式,在第二次使用时还使用了叠和(即同向不等式相加)的技巧.因此,关注等号成立必须关注三种情形下等号成立的条件要相同或一致.