2014年苏锡常镇二模数学参考答案(定稿)

2014年苏、锡、常、镇四市高三教学情况调查（二）

数学Ⅰ试题参考答案

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．

1．[1，2) 6．39

2

3．16

4．32

5．充分不必要

1

9． 10

3

110

11．2e 12．-5 13． 14．

43

二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明．．．．．．．

7．（0，1] 8．6

过程或演算步骤． 15．解：（1）由正弦定理，得

c b

． =

sin C sin B

∵c = 1，b =sin B ，∴sin C =1．………… 2分 ∵0

则A + B = 90°． ………… 4分 ∵A = B + 30°，∴B = 30°． ………… 6分

1

（2）∵a 2+c 2-ac =b 2，

2

a 2+c 2-b 21

=． ………… 9分 ∴cos B =

2ac 4

∵0

，∴sin B =∴sin A =sin (

B +30︒)==

………… 11分 1

B +

cos B 2

11+⨯= ………… 14分 24

16．（1）证明：取P A 中点M ，连结ME ，MD ，

由条件，得ME ∥AB ，DF ∥AB ，∴ME ∥DF ． 且ME =

P

11

AB ，DF =AB ，∴ME = DF ．…… 2分 22

M

A

∴四边形EFDM 是平行四边形．

则EF ∥MD ． ……………… 4分 又MD ⊂平面P AD ，EF ⊄平面P AD ，

∴EF ∥平面P AD ． ……………… 7分 （2）连结OQ ．

E

F

Q

C

B

∵PC ⊥平面QDB ，OQ ⊂平面QDB ，

∴PC ⊥OQ ． ……………… 9分 ∵PO ⊥平面ABCD ，OC ⊂平面ABCD ， ∴PO ⊥OC ．

由正方形ABCD 的边长为2，得OC

∵PO = 2

，∴PC 11分 则PQ =PO cos ∠CPO =2⋅

26=

23

．……………… 14分 ．解：（1）F '（

0），F

0），设M （m ，n ），

由MF' ⋅MF =

1，得(

m +m -+n 2=1．

即m 2+n 2=4．① ………… 2分

又(m 2

+n 2=5．② ………… 4分

由①，②，得m =

n = ∴M

），或M

）．………… 6分 （2）设P (x )，则圆P 的方程为(x -x 2

2

0, y 00)+(y -y 0)=x 20+y 20． 即x 2+y 2-2x 0x -2y 0y =0． ③ ………… 8分 又圆F

的方程为(x 2

+y 2=5． ④

由③，④得直线QT

的方程为(x 0-x +y 0y -1=0． ………… 10分

所以

FH =

． ………… 12分

=

因为P (x x 2200, y 0)在椭圆上，所以4+y 22

x 00=1，即y 0=1-4

，

所以FH =

=

=2．=

…… 14分17

18．解：（1）以点O 为坐标原点，OA 为x 轴建立直角坐标系，

则A （10，0），B （20，0），C （-5，5）．

∴AC 3分 答：集中居住区A 与C

的距离为km ．

……… 4分

（2） ① 当直线l 的斜率存在时， 设直线l 的方程为y = kx ，k =tan θ， 则w =m ⎛ (10k )2(20k )2(-5k -5)2⎫

⎝k 2

+1+k 2+1+k 2+1⎪⎪ ⎭

=m ⋅525k 2+50k +25

k 2

+1

． ………… 7分 当直线l 的斜率不存在时，

w =m (102+202+52)

=525m ．

⎧⎪m ⋅525tan 2θ+50tan θ+25⎛总之，w =⎪⎨tan 2

θ+1 ⎝0≤θ

2⎪⎭

, ………… 9分

⎪⎪⎩

525m ⎛ ⎝θ=π⎫2⎪⎭. ② 当直线l 的斜率不存在时，w = 525m ． 当直线l 的斜率存在时，

w =m ⋅

525(k 2+1)

+50(k -10)

k -10)

k 2+1

=525m +m ⋅

50(k 2

+1

，设t =k -10， 当t = 0时，w = 525m ． 当t ≠ 0时，w =525m +m ⋅

50t (t +10) 2+1=525m +m ⋅50

．t +101 ……… 11分

t

+20∵t +

101t ≤-

，或t +101

t

≥

∴w

的最小值为525m +m （275 -

m ． ………… 14分

此时，t =

tan θ= k = 10

．

答：w 的最小值为（275 -

）m ，此时tan θ= 10

………… 16分

19．解：（1）由f (1+a )=f (1-a )，

得(1+a )-3(1+a )+2(1+a )-1=(1-a )-3(1-a )+2(1-a )-1．……… 2分 即a (a +1)(a -1)=0． ……………… 6分 ∵a > 0，∴a = 1． ……………… 8分

（2）令g (x ) =c ，得x +

3

2

3

2

b

（*） ……………… 10分 =c ．即x 2-cx +b =0．

x

由题意，方程（*）必须有两正根，且两根的算术平均值为x 0． ∴c > 0，b > 0，c 2 - 4b > 0，

c

=x 0． ……………… 14分 2

则0

20．解：（1）λ = 0时，S n +1=

∴S n =

a n +1

S n +a n +1． a n

∴b 的取值范围是（0，9]． ……………… 16分

a n +1

S n ． ……………… 2分 a n

∵a n >0，∴S n >0．

∴a n +1=a n ．∵a 1=1，∴a n =1． ……………… 4分 （2）∵S n +1=∴则

a n +1

S n +λ⋅3n +1a n +1，a n >0， a n

()

S n +1S n

-=λ⋅3n +1． ……………… 5分 a n +1a n

S 2S 1S S S S

-=λ⋅3+1，3-2=λ⋅32+1，…，n -n -1=λ⋅3n -1+1（n ≥2）． a 2a 1a 3a 2a n a n -1

相加，得

S n

-1=λ⋅3+32+a n

(

+3n -1+n -1．

)

⎛3n -3⎫

则S n = λ⋅． +n ⎪⋅a n （n ≥2）

2⎝⎭上式对n = 1也成立，

⎛3n -3⎫

∴S n = λ⋅．③ ……………… 7分 +n ⎪⋅a n （n ∈N *）

2⎝⎭⎛3n +1-3⎫

∴S n +1= λ⋅．④ +n +1⎪⋅a n +1（n ∈N *）

2⎝⎭

⎛3n +1-3⎫⎛3n -3⎫

④ - ③，得a n +1= λ⋅+n +1⎪⋅a n +1- λ⋅+n ⎪⋅a n ．

22⎝⎭⎝⎭⎛3n +1-3⎫⎛3n -3⎫

即 λ⋅+n ⎪⋅a n +1= λ⋅+n ⎪⋅a n ． ……………… 9分

22⎝⎭⎝⎭3n -33n +1-3

+n > 0，λ⋅+n > 0． ∵λ≥0，∴λ⋅22

1

∵a n +1

2

⎫3n -31⎛3n +1-3

∴λ⋅+n

22⎝2⎭即λ>

2n

对一切n ∈N *恒成立． ……………… 12分 3n +3

4n -2)3n -6(2n 2n +22n

记b n =n ，则b n -b n +1=n ． -=

3+33+33n +1+33n +33n +1+3

当n = 1时，b n -b n +1=0； 当n ≥2时，b n -b n +1>0；

1

∴b 1=b 2=是一切b n 中的最大项． ……………… 15分

3

1

综上所述，λ的取值范围是λ>． ……………… 16分

3

2014年苏、锡、常、镇四市高三教学情况调查（二）

数学Ⅱ（附加题） 参考答案

21．A 解：连结EF ，则∠AEF = 90°．

∵∠ACB = 90°，

∴B ，C ，F ，E 四点共圆． ………… 2分 则∠AFE =∠B ．

∵∠ADE =∠AFE ，∴∠ADE =∠B ． ∴B ，P ，D ，E 四点共圆． ………… 5分

则AE ⋅AB =AD ⋅AP ． ………… 7分 ∵AE = EB = 4，AD = 5，∴AE = 4，AB = 8， 则AP =

⎡0-1⎤21．B 解：绕原点逆时针旋转90°对应的变换矩阵为⎢⎥．……… 2分

⎣10⎦

⎡a 0⎤⎡0-1⎤⎡0-a ⎤∴⎢⎥⎢10⎥=⎢b -2⎥． ………… 5分 2b ⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎡0-a ⎤⎡3⎤⎡3⎤则由⎢⎥⎢-1⎥=⎢5⎥， ………… 7分 b -2⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎧a =3, 得 ⎨，∴a =3, b =1． ………… 10分

3b +2=5. ⎩

P

32

． ………… 10分 5

π

． ………… 2分 6

将点C 代入极坐标方程ρ=2cos θ，得 21．C 解：点C 的极角为点C

π）． ………… 5分 6

π）． ………… 7分 6

∴点P 的极坐标为（

则点Q 的极角为

ππ23π

． -+2π=

6412

∴点Q 的极坐标为（

23π

）．………… 10分 12

21．D 解：由柯西不等式，得

[x 2+) 2+) 2][12+2+2]≥(x +y +z ) 2．

6

∴x 2+2y 2+3

z 2≥． ………… 2分

x 当且仅当=时取等号， =

1

632

即x =, y =, z =取等号． ………… 5分

1111116

则a -2≤． ………… 7分

111628

所以实数a 的取值范围为[, ]．……… 10分

1111

【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字．．．．．．．

说明、证明过程或演算步骤．

22．解：（1）C 1（0，3，3），P （1，0，2），

D 1（-3，3，3）． ………… 3分 （2）∵C （3，3，0），

D 1

∴CP =（-2，-3，2），

． ………… 5分 CD 1 =（-6，0，3）

设E （m ，n ，0），

则C 1E =（m ，n - 3，-3）． ∵C 1E ⊥平面D 1PC ，

⎧=0, ⎪CP ⋅C 1E

∴⎨ ………… 7分

C 1E =0. ⎪⎩CD 1⋅ ⎧-⎪2m -3(n -3)-6=0,

则⎨

-6m -9=0. ⎪⎩

3

∴m =-，n = 2．

2

3

则点E

的坐标为（-，2，0）．………… 10分

2

23．解：（1）a 2 = 6，a 3 = 6，a 4 = 18． ………… 3分 （2）a n =2n +2⋅(-1)．（*） ………… 5分

证明如下：

① 当n = 2时，a 2 = 6，符合（*）式．

② 假设当n = k 时，（*）式成立，即a k =2k +2⋅(-1)成立， 那么n = k + 1时，

因为A 1有3种标法，A 2有2种标法，…，A k 有2种标法， A k +1 若仅与A k 不同，则有2种标法： 一种与A 1数不同，符合要求，有a k + 1 种；

一种与A 1数相同，不符合要求，但相当于k 个点的标法总数，有a k 种． 则有3⨯2k =a k +1+a k ． ………… 8分 ∴a k +1=-a k +3⨯2k =-2k -2⋅(-1)+3⨯2k =2k +1+2(-1)即n = k +1时，（*）式也成立．

由①②知（*）式成立，即证． ………… 10分

k

k +1k

n

．