定积分计算公式和性质
第二节 定积分计算公式和性质
一、变上限函数 设函数于是，
在区间在区间
上连续，并且设x 为上的定积分为
这里x 既是积分上限，又是积分变量，由于定积分与积分变量无关，故可将此改为
如果上限x 在区
间上任意变动，则对
上的任一点，
于每一个取定的x 值，定积分有一个确定值与之对应，所以定积分在
以x 为自变量的函数变上限函数 记为图
5-10
从几何上看，也很显然。因为X 是从而以线段
上一个动点，
，我们把
称为函数
上定义了一个在区间
上
为底的曲边梯形的面积，必然随着底数
端点的变化而变化，所以阴影部分的面积是端点x 的函数（见图5-10）
定积分计算公式
利用定义计算定积分的值是十分麻烦的，有时甚至无法计算。因此，必须寻求计算定积分的简便方法。 我们知道：如果物体以速度区间图 5-11
作直线运动，那么在时间
上所经过的路程s 为
另一方面，如果物体经过的路程s 是时间t 的函数从t=a到t=b所经过的路程应该是（见图5-11） 即
由导数的物理意义可知：此，为了求出定积分再求
在区间
即
是
一个原函数，因的原函数
，
，那么物体
，应先求出被积函数
即可。
上的增量
如果抛开上面物理意义，便可得出计算定积分方法： 设函数即
在闭区间，则
上连续，
是
的一般
的一个原函数，
这个公式叫做牛顿-莱布尼兹公式。 为了使用方便，将公式写成
牛顿-莱布尼兹公式通常也叫做微积分基本公式。它表示一个函数定积分等于这个函数的原函数在积分上、下限处函数值之差。它揭示了定积分和不定积分的内在联系，提供了计算定积分有效而简便的方法，从而使定积分得到了广泛的应用。 例1 计算
因为是的一个原函数所以
例 2 求曲线
和直线x=0、x=
及y=0所围成图形面积A(5-12) 解 这个图形的面积为
图
5-12
二、定积分的性质 设
、
在相应区间上连续，利用前面学过的知识，可以
得到定积分以下几个简单性质：
性质1 被积函数的常数因子可以提到定积分符号前面，即
(A为常数)
性质2 函数的代数和的定积分等于它们的定积分的代数和，即
这个性质对有限个函数代数和也成立。 性质3 积分的上、下限对换则定积分变号，即
以上性质用定积分的定义及牛顿-莱布尼兹公式均可证明，此处证明从略。
性质4 如果将区间
分成两个子区间
这个于区间分成有限个的情形也成立。 下面用定积分的几何意义，对性质4加以说明。 当a
图 5-13a 图 5-13b
与和x=a x=b及x 及
那么有
因
为
即性质4成立。 当a
外，由图5-13b 可知，
所
以
显然，性质4也成立。 总之，不论c 点在例3 求
内还是
外，性质4总是成立的。
例 4 求解
=
例 5 求
解
所以
例 6 求解 于是，
例 7 设 解 因为 所以==
=
求
例8 火车以v=72km/h的速度在平直的轨道上行驶，到某处需要减速停车。设火车以加速度a=-5m/停车，火车走了多少距离？
解 首先要算出从开始刹车到停车经过时间。当 时火车速度
刹车后火车减速行驶。其速度为
当火车停住时，速度
解得
，故从
刹车。问从开始刹车到
于是在这段时间内，火车走过的距离为
=
即在刹车后，火车需走过40m 才能停住。
习题 5-2
1 求下列定积分： （1）(3)(5)(7)
(2) (4) （6）
(8)(11)设2. 求由
(9)
(10)
与直线x=1,x=2及x 轴所成的图形的面积。
，其中,v 以m/s
3. 一物体由静止出发沿直线运动，速度为单位，求物体在1s 到2s 之间走过的路程。