幂级数求和函数的类型与解法
摘要:幂级数求和函数是级数这一章的重点和难点。根据多年教学经验,对幂级数求和函数总结出四种常用类型及其解法。关键词:幂级数;和函数;几何级数中图分类号:O1-0文献标识码:A 幂级数是微积分中十分重要的内容之一,而求幂级数的和函数是一类难度较高、技巧性较强的问题,对于学生来说是一个难点,因此有必要对幂级数求和函数这类问题进行研究探讨。求解幂级数的和函数时,常通过幂级数的有关运算恒等变形或分析运算)把待求级数化为易求和的级数(即常用级数,特别是几何级数(又叫等比级数)
,
的和函
数
,
其中
为的多
项式
(一)解法:1、用先逐项积分,再逐项求导的方法求其和函
数
。积分总是从收敛中心(
用
的和函
数
。
文章编号:1009-0118(2010)-09-0137-02
因②、③可直接利用①的结论求得,下面仅给出①、④的求解过程。
解①(法一)收敛域为(-1,1), 对级数逐项积分再逐项求
导:
。
则
(-1
(法二)将级数化为几何级数的和函数的导数而求之:
(-1
④(法一)收敛域为(-1,1),在收敛域内对级数先逐项积分两次,再逐项求导两次求
之:
则(-1
以
(-1
(法二)更简便的是将级数化为几何级数的和函数的导数而求之:
(-1
(三)结论:(-1
)(-1
(2
)(-1
)(-1
(4)
例2
求
(
求之,过程略;也可化为几何级数和函数的导数求
之:
由
在收敛域内连续得
:
, (-1
三、类型三:
求
能
的和函
数。
解:收敛域为[-1,1],可以对级数先逐项求导两次,再逐项积分两次的方法求和函
数
,方法与上类似,过程略,也
可直接利用上面的结论(5)、(6),则当(
-1
,
。
四、类型四:求含阶乘因子的幂级数的和函
数
(一)分解法:将幂级数一般项进行分解等恒等变形,利
用,
sin 及cos 的幂级数展开式,求其和函数。一般分母的阶乘
为!的幂级数常
用的展开式来求其和函数;分母的阶乘为(
2+1)!或(2)!的幂级数常用sin 及
cos 的展开式来求其和函数。求和过程中要注意利用标号变换,将待求级数
化为,sin 及cos 的幂级数展开式的标准形式。
(二)逐项求导、逐项积分法
(三)微分方程法:含阶乘因子的幂级数(特别是形
如
的和函
数
。
解:(法一
)
(法二)收敛域为(
-,+)
,
则
(
-
(法三)转化
为
的常微分方程的初值问题
:
幂级数求和函数的类型与解法
作者:作者单位:刊名:英文刊名:年,卷(期):被引用次数:
邓俊兰, 李鑫
南阳师范学院数学与统计学院,河南,南阳,473061北京电力高等专科学校学报(社会科学版)
BEIJING DIANLI GAODENG ZHUANKE XUEXIAO XUEBAO2010,27(9)0次
参考文献(2条)
1. 同济大学教学系 高等数学 20072. 朱来义 微积分 2004
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