棱锥高中数学

学科：数学

教学内容：棱锥

【学习目标】

1．掌握棱锥的定义、性质、表面积和体积公式．

2．掌握正棱锥的性质，并能熟练运用正棱锥的基本元素所构成的直角三角形求解、证明有关问题．

【高考试题剖析】

1．（2003年春季高考·上海）若正三棱锥底面边长为4，体积为1，则侧面和底面所成二面角的大小等于_____．（结果用反三角函数值表示）

【解析】取BC 中点为D ，连SD 、AD ，则SD ⊥BC ，AD ⊥BC ． 所以∠SDA 为侧面与底面的二面角的平面角，设为α． 在平面SAD 中，做SO ⊥AD 与AD 交于O ．则SO 为棱锥的高． ∵正三棱锥顶点S 在底面ABC 的射影为O ∴O 为△ABC 的重心 ∴AO ∶OD=2∶1

12OD =AD =33∴

11

又V S —ABC = 3·2AB ·BC ·sin60°·h=1．

SO 3

==

DO 28

3∴h=4，∴tan α=．

3

∴α=arctan8

3

【答案】arctan 8

22．当圆锥的侧面积和底面积的比值是3时，圆锥的轴截面顶角是（ ）

A ．120° C ．45° 【答案】A

B ．90°

D ．30°

3．一个正四棱锥的中截面面积是Q ，正四棱锥的底面边长是（ ）

Q

A ．4

B ．2

C ． Q

D ．2Q

【解析】设正棱锥的底面边长为a ．

Q 1

=2

4 ∴a=2 则a

【答案】D

4．一个棱锥的所有侧面与底面所成角均为ϕ，底面积为S ，则它的侧面积为_____．

【解析】射影面积定理．

S

【答案】cos ϕ

5．一个圆锥的轴截面顶角为120°，母线长为1 cm，过顶点作圆锥的截面中最大截面面积为_____．

【解析】当截面顶角大于等于90°时，截面的顶角为90°时面积最大

1

【答案】2cm 2．

【典型例题精讲】

［例1］根据下列条件，填写三棱锥P —ABC 顶点P 在底面ABC 内的射影O 的位置：

（1）三条侧棱相等（ ）

（2）侧棱和底面所成的角相等（ ） （3）侧面与底面所成的角相等（ ）

（4）P 到△ABC 三边距离相等且O 在△ABC 内部（ ） （5）三条侧棱两两垂直（ ） （6）相对棱互相垂直（ ）

（7）PA ＝PB ＝PC ，∠ACB ＝90°（ ）

【解】（1）外心 （2）外心 （3）内心或旁心 （4）内心 （5）垂心 （6）垂心 （7）AB 的中点

［例2］将边长为a 的正方形ABCD 沿对角线AC 折起，使得BD=a，则三棱锥D —ABC 的体积为（ ）

a 3

A ．6

a 3

B ．12

3a 3

C ．12

2a

3

D ．12

图9—63

【分析】∵DB=DA=DC=a

∴D 在面ABC 上的射影为△ABC 的外心即AC 的中点O

1122

∴V D —ABC =3×2a 2×2a=12a 3．

【答案】D

［例3］已知两条异面直线段的长分别为a 、b ，夹角为θ，距离为h ，求证：

1

以此二异面直线段为对棱的四面体的体积为6abhsin θ．

图9—64

【证明】如图9—64，四面体ABCD 中，AB ＝a ，CD ＝b ，AB 、CD 夹角为θ，距离为h ，过B 作BE ∥CD ，过C 作CE ∥BD 交BE 于E ，连AE ，则∠ABE ＝θ或π－θ．因为CD ∥平面ABE ，∴AB 与CD 的距离为h ，即CD 到平面ABE 的距离，即C 到平面ABE 的距离，即棱锥C —ABE 底面ABE 上的高，显然V C —ABE ＝V A —BCE ＝V A —BCD ，V C —ABE

111

＝32·AB ·BE ·hsin θ＝6abhsin θ

1

∴V A —BCD ＝6abhsin θ．

【评述】锥体的体积求解常常利用“等积变形”．

［例4］如图9—65，设三棱锥S —ABC 的三个侧棱与底面ABC 所成角都是60°，又∠BAC ＝60°，且SA ⊥BC ．

图9—65

（1）求证S —ABC 为正三棱锥； （2）已知SA ＝a ，求S —ABC 的全面积．

（1）【证明】正棱锥的定义中，底面是正多边形；顶点在底面上射影是底面的中心，两个条件缺一不可．作三棱锥S —ABC 的高SO ，O 为垂足，连结AO 并延长交BC 于D ．

因为SA ⊥BC ，所以AD ⊥BC ，又侧棱与底面所成的角都相等， 从而O 为△ABC 的外心， OD 为BC 的垂直平分线， 所以AB ＝AC ．又∠BAC ＝60°，

故△ABC 为正三角形，且O 为其中心，所以S －ABC 为正三棱锥． （2）【解】只要求出正三棱锥S —ABC 的侧高SD 与底面边长，则问题易于

1解决．在Rt △SAO 中，由于SA ＝a ，∠SAO ＝60°，所以SO ＝2a ，AO ＝2a ，3313

因O 为重心，所以AD ＝2AO ＝4a ，BC ＝2BD ＝2ADcot60°＝2a ，OD ＝3AD ＝1

4a ．

1133在Rt △SOD 中，SD 2＝SO 2＋OD 2＝（2a ）2＋（4a ）2＝16，则SD ＝4a ． 1133(+39) 3

⋅(a ) 2

16于是，S S －ABC 全＝22sin60°＋3·2·4a ·2a ＝a 2．

【评述】 （1）求正棱锥的侧面积或全面积还可以利用公式S 正棱锥底＝cos α·S

132

a

，S △ABC ＝16，正棱锥侧（α为侧面与底面所成的二面角），就本题cos α＝1333

所以S S －ABC 侧＝16a 2÷＝16a 2，于是也可求出全面积．

33

（2）注意到高SO ＝2a ，底面边长BC ＝2a 是相等的，因此这类正三棱

锥还有高与底面边长相等的性质，反之亦真．

（3）正三棱柱中，若侧棱与底面边长相等，则变成四个面都是正三角形的三棱锥，这时可称为正四面体，因此正四面体是特殊的正三棱锥，但正三棱锥不一定是正四面体．正方体沿相邻三个面上的对角线切割就形成正四面体．正四面体内对应元素相等．

［例5］四棱锥P —ABCD 中，底面是一个矩形，AB ＝3，AD ＝1，又PA ⊥AB ，PA ＝4，∠PAD ＝60°．

（1）求四棱锥P —ABCD 的侧面积； （2）求二面角P —BC —D 的大小．

【分析】这是一道非常规的四棱锥作为载体的解答题．必须从题设所提供的条件中，挖掘出判定各侧面三角形形状的信息，才能进入具体计算，绝不能直觉认定．首先分析题设中给出的定性条件．

信息1 从PA ⊥AB 及底面是一个矩形，可判定AB ⊥平面PAD ，从而平面PAD ⊥平面ABCD ．

信息2 从CD ∥AB ，AB ⊥平面PAD ，可判定CD ⊥平面PAD ．

信息3 从AB 、CD 垂直平面PAD ，利用线面垂直性质，知AB ⊥PA ，CD ⊥PD ，

11

于是△PAB 、△PDC 分别是直角三角形，于是S △PAB ＝2×4×3＝6，S △PDC ＝2PD ×3

3＝2PD ．

信息4 从平面PAD ⊥平面ABCD ，且AD ＝平面PAD ∩平面ABCD ，所以从面面垂直性质知，若作PE ⊥AD 于E ，当然PE ⊥平面ABCD ．问题是射影E 点究竟在

1

何处? 从AE ＝PAcos60°＝2＞1＝AD ，∴S △PAD ＝2×1×2＝．

信息5 在△PAD 中，运用余弦定理知 PD 2＝12＋42－2×1×4cos60°＝13

3则PD ＝，∴S △PDC ＝2．

至此只剩下△PBC 的面积还未求出．

从上述信息，利用勾股定理可算出PB ＝5，PC ＝22，又BC ＝1，则S △PBC ＝

212，

21312+2+21+3+

322=∴S P －ABCD 侧＝6＋＋2．

对于（2）中只要在平面ABCD 中，作EF ∥DC 交BC 延长线于F ，连PF ． 则从EF ⊥BF 知PF ⊥BC ，

所以∠PFE 就是二面角P —BC —D 的平面角．

23

易算出其大小为arctan 3．

【达标训练】

1．若正棱锥的底面边长与侧棱长相等，则该棱锥一定不是（ ） A ．三棱锥 C ．五棱锥

B ．四棱锥 D ．六棱锥

【解析】各侧面为正三角形，若为六棱锥则不能构成空间图形

【答案】D

2．如图9—66，在正三棱锥A —BCD 中，E 、F 是AB 、BC 的中点，EF ⊥DE ，若BC ＝a ，则正三棱锥A —BCD 的体积为（ ）

图9—66

2

A ．12a 3

23

a 24B ．

33

a

C ．12

3a

D ．24

【解析】∵EF ∥AC 、EF ⊥DE ∴AC ⊥DE 又∵AC ⊥DB ∴AC ⊥面ABD

2

∴V A —BCD =VC —ABD =24a 3

【答案】B

3．正三棱锥底面边长为8，侧棱长为4，如果过底面一条边作截面，与相对的侧棱有交点，则截面面积的最小值为_____．

【解析】当DE 为AB 、SC 的公垂线段时S △ABD 面积最小．

16【答案】5

4．若四面体一条棱长为x ，其余棱长都是2 cm，当四面体体积最大时，x 取值是_____．

1x ⨯

【解析】设BC=x，D 为BC 中点，V=2VB —SAD =2×32·S △SAD

x 2x 2

2(4-) -42-

44=2x x 2

2(4-) 4-

44 在△SAD 中，cos ∠ADS=

x 2

2-

1x 2) 2=1-x 2(4-

) ⋅1-(

x 22424-

4∴S △SAD =

x 112112

⨯-x 2=x (12-x 2) ≤⨯

662=1 ∴V=32

当且仅当x 2=12－x 2即x=6取等号． 【答案】cm

5．三棱锥一条侧棱长16 cm，和这条棱相对的棱长是18 cm，其余四条棱长都是17 cm，求棱锥的体积．

【解】如图取AD 的中点E ，连结CE 、BE ， ∵AC ＝CD ＝17，DE ＝8，

∴CE 2＝172－82＝225，∴BE ＝CE ＝15，

∴取BC 的中点F ，连结EF ，EF 为BC 边上的高，

2222

∴EF ＝CE -CF =-9＝12，

∴S △BCE ＝108．

∵AC ＝CD ＝17 cm，E 为AD 的中点，CE ⊥AD ， 同理BE ⊥AD ， ∴DA ⊥平面BCE ，

∴三棱锥可分为以底面BCE 为底，以AE 、DE 为高的两个三棱锥V A －BCE 和V D －

BCE

，

11

∴V A －BCD ＝2·3S △BCE ·AE ＝2×3×108×8＝576（cm 3）

1

【评述】 此题若按一般体积公式V ＝3×底面积×高，计算体积甚为繁

琐．采用分割法则较易．此题若观察到三棱锥的两组对棱相等，将这相等的四条棱放在直平行六面体的四个全等的侧面内，两条不等的棱分放在上下底面内，转化到易求体积的图形内加以解决也可．若此题改为组对棱相等，则可作三棱锥的外接长方体，若改成六条棱均相等，则可作三棱锥的外接正方体．

6．在三棱锥S —ABC 中，侧面SAC ⊥底面ABC ，△SAC 是边长为4的正三角形，△ACB 为直角三角形，∠ACB ＝90°，BC ＝42．

（1）求证：侧面ASC ⊥侧面BSC ； （2）求SB 与底面ABC 所成的角； （3）求二面角S —AB —C 的正切值．

（1）【证明】∵侧面SAC ⊥底面ABC ，且BC ⊥AC ， ∴BC ⊥平面SAC ， ∴侧面SAC ⊥侧面BSC

（2）【解】过S 点作SD ⊥AC 于D ，连结BD ．因为侧面SAC ⊥底面ABC ，所以SD ⊥底面ABC ，∠SBD 为SB 与底面ABC 所成的角，易知∠SBD ＝30°．

（3）【解】过S 作SE ⊥AB 于E ，连结DE ，可证得，∠SED 即为二面角S —AB —C 的平面角，

43先求直角三角形ABC 的高CF ＝，

12

23由于D 为AC 的中点，所以DE ＝CF ＝，

SD 32=

32． 又SD ＝2，于是tan ∠SED ＝DE

7．正三棱锥P —ABC 中，AB ＝a ，相邻两个侧面所成的二面角为θ．

图9—67

（1）若BD ⊥PC ，求BD 的长； （2）求这棱锥的侧面积．

【解】（1）连AD ，在△BCD 和△ACD 中， BC ＝AC ，∠BCD ＝∠ACD ，CD ＝CD ， ∴△BCD ≌△ACD ． ∴AD ⊥PC ，AD ＝BD ，

∴∠BDA 为侧面PBC 和PAC 所成二面角的平面角，∠BDA ＝θ．（0＜θ＜π）． 在△ABD 中，由余弦定理得AB 2＝BD 2＋AD 2－2BD ·ADcos θ．

a 2

∴BD 2＝2(1-cos θ) ．

a a θ

=csc

2． 于是BD ＝2(1-cos ) 2

（2）取BC 的中点M ，连PM ，则PM ⊥BC ．PM 为正三棱锥的斜高．

a 2

PC 2＝PM 2＋CM 2＝PM 2＋4

①

又PC ·BD ＝PM ·BC ，

PM 2⋅a 2

a 2

∴PC 2＝2(1-cos θ) ＝2PM 2（1－cos θ）

②

a 2

a 2=22从①，②中消去PC ，得PM ＝1-2cos θ4(1-2cos θ) ，

a

即PM ＝2-2cos θ．

1a 3a 2

⋅3a ⋅=2-2cos θ4-2cos θ． ∴S 侧＝2

【解题指导】

三棱锥的等（体）积变换是解决点到面的距离的常见方法之一，同时也是使计算简化的灵活手法；“割”“补”是解决体积问题常用技巧．正棱锥的四个“特征”直角三角形，是将“空间问题”转化为“平面问题”的桥梁．

【拓展练习】

备选题

1．（2001年春季高考·上海）

用一块钢锭浇铸一个厚度均匀，且全面积为2平方米的正四棱锥形有盖容器（如图），设容器的高为h 米，盖子边长为a 米．

（1）求a 关于h 的函数解析式；

（2）设容器的容积为V 立方米，则当h 为何值时，V 最大? 求出V 的最大值． （求解本题时，不计容器的厚度）

b

【解】（1）设h ′为正四棱锥的斜高．由已知

11

1

等式当且仅当h=h ，即h=1时取得．

1

故当h=1米时，V 有最大值，V 的最大值为6立方米．

12