[几何概型]创新教学设计
《几何概型》创新教学设计
一、教材分析：
“几何概型”是继“古典概型”之后的第二类等可能概率模型，在概率论中占有相当重要的地位，是等可能事件的概念从有限向无限的延伸，是为更广泛的满足随机模拟的需要而新增加的内容，这充分体现了数学与实际生活的紧密关系。通过最近几年的实际授课发现，学生在学习本节课时特别容易和古典概型相混淆，究其原因是思维不严谨，研究问题时过于“想当然”，对几何概型的概念理解不清. 因此我认为要在几何概型的特征和概念的理解上下功夫，不要浮于表面。 另外，在解决几何概型的问题时，几何度量的选择是非常重要的，在实际授课时，应当引导学生发现规律，选择合适的度量来解决问题。
二、教学目标：
1、 知识与技能：
（1）正确理解几何概型的概念；
（2）掌握几何概型的概率公式：
P （A ）=；
（3）会根据古典概型与几何概型的区别与联系来判别某种概型是古典概型还是几何概型；
（4）会计算一些几何概型下事件的概率。
2、 过程与方法：
发现法教学，通过师生共同探究，体会数学知识的形成，学会应用数
学知识来解决问题，体会数学知识与现实世界的联系，培养逻辑推理能力。
3、 情感态度与价值观：本节课的主要特点是随机试验多，学习时养成勤学严谨的学习习惯。
三、教学重点与难点：
重点：掌握几何概型的判断及几何概型中概率的计算公式。
难点：在几何概型中把实验的基本事件和随机事件与某一特定的几何区域及其子区域对应，确定适当的几何测度。通过数学建模解决实际问题。
四、学法与教学用具：
1、通过对本节知识的探究与学习，感知用图形解决概率问题的方法，掌握数学思想与逻辑推理的数学方法；
2、教学用具：投灯片，计算机及多媒体教学。
五、教学过程：
1、复习回顾
（1）古典概型的两个特点：
① 试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；
② 每个基本事件发生是等可能的.
（2）计算古典概型的公式：
设计意图：复习巩固古典概型的特点及其概率公式，为几何概型的引入做好铺垫。
2、创设情景，引入新课
问题1：下图是卧室和书房地板的示意图，图中每一块方砖除颜色外完全相同，甲壳虫分别在卧室和书房中自由地飞来飞去，并随意停留在某块方砖上，问在哪个房间，甲壳虫停留在黑砖上的概率大？
问题2：玩转盘游戏
图中有两个转盘，甲乙两人玩转盘游戏，规定当指针指向黄色区域时，甲获胜，否则乙获胜。在两种情况下分别求甲获胜的概率是多少？
（1） （2） （3）
思考：甲获胜的概率与区域位置有关吗？与图形大小有关吗? 甲获胜的可能性是由什么决定的？
问题3：射箭比赛的箭靶涂有五个彩色得分环，从外向内为白色、黑色、蓝色、红色，靶心为金色。金色靶心叫“黄心”。 奥运会的比赛靶面直径为122cm ，靶心直径为12.2cm 。假设射箭都能中靶，且射中靶面内任意一点都是等可能的，那么射中黄心的概率有多大？
问题4：
取一根长度为
两段的长都不小于
设计意图：
的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得的概率有多大？
（1）以实际问题引发学生的学习兴趣和求知欲望；
（2）以此为铺垫，通过具体问题情境引入课题；
（3）简单直观，符合学生的思维习惯和认知规律。
提问：为什么会想到用长度、面积之比来解决问题的呢？这样做有什么理论依据吗？
学生思考，回答：“上一节刚学习的古典概型的概率就是由事件所包含的基本事件数占试验的基本事件总数的比例来解决的，所以联想到用长度、面积的比例来解决。”
教师继续提问：这些问题是古典概型吗？
通过提问，引导学生对比古典概型的特点：有限性和等可能性. 发现这些问题虽然貌似古典概型，但是每个试验下基本事件都不能一一列出，不满足有限性这个特点，因此不是古典概型.
也就是说，我们不能用古典概型的概率公式去解决这些问题，到这里，我们自然而然地需要一个理论依据去支持这个猜测，从而引入几何概型的概念。
3、建构数学
几何概型的定义及特点 如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例, 则称这样的概率模型为几何概率模型, 简称为几何概型。 几何概型的特点:
(1)试验中所有可能出现的结果(基本事件) 有无限多个;
(2)每个基本事件出现的可能性相等。
注: 古典概型与几何概型的区别:
相同:两者基本事件的发生都是等可能的;
不同:古典概型要求基本事件是有限个, 几何概型要求基本事件有无限个。
设计意图：通过对比、归纳将新的知识建构到旧的知识系统，完成知识的延伸。
概念判断:
例1： 判下列试验中事件A 发生的概率是古典概型，还是几何概型。
（1）抛掷两颗骰子，求出现两个“4点”的概率；
（2）如图所示，图中有一个转盘，甲乙两人玩转盘游戏，规定当指针指向黄色区域时，甲获胜，否则乙获胜，求甲获胜的概率。
设计意图：通过这道题目实际对比古典概型与几何概型，加深对概念的理解。
几何概型的概率公式:
一般地, 在几何区域D 中随机地取一点, 记“该点落在其内部一个区域d 内”为事件A, 则事件A 发生的概率:
注: （1）当D 分别是线段, 平面图形, 立体图形时, 相应的测度分别是长度，面积和体积；
（2）在区域D 内随机取点是指：该点落在D 内任何一处都是等可能的，落在任何部分的可能性只与该部分的测度成正比而与其形状位置无关。
设计意图：引导学生通过对前面四个情境的总结，得到在几何概型中，事件A 发生的概率的计算公式为：
通过递进式地设置问题，使学生将实际问题转化成数学概念, 体验到了探寻数学规律的乐趣, 加深了学生对概念的了解和对公式的探究，突出教学重点。
4、 数学应用
例2：两根相距8m 的木杆上系一根拉直绳子, 并在绳子上挂一盏灯, 求灯与两端距离都大于3m 的概率.
分析：长度类型
解：记“灯与两端距离都大于3m”为事件A ，
由于绳长8m ，当挂灯位置介于中间2m 时，事件A 发生，于是事件A 发生的概率为0.25.
答：灯与两端距离都大于3m 的概率为0.25。
例3：取一个边长为2a 的正方形及其内切圆，随机向正
方形内丢一粒豆子，求豆子落入圆内的概率.
分析：面积类型，由于是随机丢豆子，故可认为豆子落
入正方形内任一点的机会都是均等的（符合几何概型），
于是豆子落入圆中的概率应等于圆面积与正方形面积的比. 解 记“豆子落入圆内”为事件A ，则
答：豆子落入圆内的概率为.
例4：在1L 高产小麦种子中混入了一粒带麦锈病的种子, 从中随机取出10mL, 含有麦锈病种子的概率是多少?
分析：体积类型，随机取出10mL 麦种就可以看作构成事件A 的区域，1L 的高产麦种可看作所有基本事件构成的区域.
解：病种子在这1升中的分布可以看作是随机的，取得的10毫克种子可视作构成事件的区域，1升种子可视作试验的所有结果构成的区域，可用“体积比”公式计算其概率。
取出10毫升种子，其中“含有病种子”这一事件记为A ，则 P(A)= ==0.01。
答：取出的种子中含有麦诱病的种子的概率是0.01。
设计意图：
1）分别从三个测度——长度、面积、体积来体现几何概型的求解方式，几何度量中到底是长度、面积还是体积呢？我们要认真加以判断, 要学会用数形结合的思想解决概率问题。
2）经历将一些实际问题转化为几何概型的过程，探求正确应用几何概型的概率计算公式解决问题的方法。
5、形成性练习
牛刀小试：
（1）从区间[15,20]内的所有实数中随机的取一个实数a ，计算这个实数满足17
（2）如右下图, 假设你在每个图形上随机撒一粒黄豆, 分别计算它落到阴影部分的概率。
（3）如左上图，有一杯1升的水, 其中含有1个大肠杆菌, 用一个小杯从这杯水中取出0.1升, 求小杯水中含有这个细菌的概率。
设计意图：学生练习时，教师巡查，观察学情，及时从中获取反馈信息。对学生练习中出现的独到解法提出表扬和鼓励，对其中偶发性错误进行辨析、指正。通过形成性练习，培养学生的应变和举一反三的
能力，逐步形成技能。
思维拓展：
某人午休醒来，发觉表停了，他打开收音机想听电台整点报时，求他等待的时间短于10分钟的概率.
设计意图：开拓学生的思路，进一步提高学生分析、解决问题的能力，同时为下一节的二维问题做准备。
6、课堂小结
（1）古典概型与几何概型的区别.
相同：两者基本事件的发生都是等可能的；
不同：古典概型要求基本事件有有限个，
几何概型要求基本事件有无限多个.
（2）几何概型的概率公式.
P （A ）
=
（3）几何概型问题的概率的求解.
7、作业：课本142页A 组第1，2题.
8、板书设计： （1）几何概型的定义及特点
（2）几何概型的概率公式
（3）数学应用
（4）练习与小结
六、评价分析：
由于几何概型是在学习了古典概型之后，将等可能事件的概念从有限向无限的延伸，因此，在引出几何概型之后，将几何概型的特点与古
典概型的特点进行比较，总结它们的相同的地方和不同的地方，根据几何概型中测度最常见的三种形式：长度、面积、体积，设置三个典型例题，由浅入深, 覆盖面广, 符合学生的认知规律。注重数学思想方法的渗透, 本课时的教学中，每一个细节都别具匠心，多次渗透了数形结合、对比、从特殊到一般等数学思想方法。
创造性的使用教材，揭示矛盾，创设问题的情境，在问题情境中让古典概型自然地向几何概型的过渡。课本上用的长度、面积、体积之比的公式显然带有一定的局限性（比如角度之比等），而本节用的是测度公式，很好的解决了这个问题。学生在解决几何概型相关问题的时候最关键的是说不清基本事件是什么，从上课的过程中也反映这一点，因此，在上课和平时的练习当中，一定要引导学生去分析基本事件，如果这一点能够突破，几何概型可迎刃而解。
以上就是我对《几何概型》这节课的设计，欢迎各位批评指正，谢谢大家！