巧求平面法向量(方程法)
巧求平面法向量
在空间直角坐标系中,平面的一般方程是axbyczd0(其中系数a,b,c不同时为零),则向量
n(a,b,c)为平面axbyczd0的法向量。根据这一原理,我们可以按下列方法求平面的法向量。
定理1:若平面α不经过原点,,取平面α内不共线的三点A、B、C,将其分别坐标代入关于x,y,z的.....
方程axbycz1(等号右边的1也可以是其它任意非零常数),求出系数a,b,c的一组值,则向量
n(a,b,c)为平面α的法向量
定理2:若平面α经过原点,取平面α内与原点不共线的两点A、B,将其坐标代入关于x,y,z的方程....
axbycz0,求出系数a,b,c的一组值,则向量n(a,b,c)为平面α的法向量。
例1:已知如图正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的棱长AA1=2,AB=1,按图中所建立的坐标系,求平面BDC1,平面A1BC1,平面ABC1D1的法向量。
解(1)因为平面BDC1过原点D,将点B(1,1,0),C1(0,1,2)代入axbycz0得:
ab
。不妨设c=1,可得b=-2, a=2。所以n(2,2,1)是平面BDC1的法向量
b2c
ab0
所以
b2c0
(2)因为平面A1BC1不过原点D,将点A1(1,0,2),B(1,1,0)C1(0,1,2)代入axbycz1得:
1
a2a2c1
1
ab1b所以
2b2c1
1
c4
所以n(,
111
,)为平面BDC1的法向量 224
(3) 因为平面ABC1D1不过原点D,将A1(1,0,2),B(1,1,0
C1(0,0,2)代入1代入axbycz2得
a2c2a0
ab2即b2所以n(0,2,1)是平面ABC1D1的法向量。 2c2c1
E、F分别是棱BC,CC1上的点,例2(2010·天津)如图,在长方体ABCDA1BC11D1中,
CFAB2CE,AB:AD:AA11:2:4
(1) 求异面直线EF与A1D所成角的余弦值; (2) 证明AF平面
A1ED
(3) 求二面角A1EDF的正弦值。
解:如图所示,建立空间直角坐标系, 点A为坐标原点,设AB1,依题意得D(0,2,0),
3
F(1,2,1),A1(0,0,4),E1,,0
2
1
(1) 解:易得EF0,,1,A1D(0,2,4)
2
3EFA1D3
于是cosEF,A1D. 所以异面直线EF与A1D所成角的余弦值为
55EFA1D
31
(2) 证明:已知 AF(1,2,1),EA11,,4,ED1,,0
22
AFED,又EA1EDE 于是AF·EA1=0,AF·ED=0.因此,AFEA1,
所以AF平面A1ED
2b4
a13
(3)解:平面EFD不过原点,将D、E、F的坐标分别代入axbycz4,则ab4,即b2
2c1
a2bc4
所以n(1,2,是平面EFD的法向量。由(2)可知,AF为平面A1ED的一个法向量。于是1)
nAF2
=,从而sinn,AF= cosn,AF=3|n||AF|3
所以二面角A1-ED-F