三角函数的化简.求值与证明
式进行三角函数式的化简与恒等式的证明.
用.
(1)常用方法:①直接应用公式进行降次、消项;②切割化弦,异名化同名,异角化同角;③ 三角公式的逆用等。(2)化简要求:①能求出值的应求出值;②使三角函数种数尽量少;③使项数尽量少;④尽量使分母不含三角函数;⑤尽量使被开方数不含三角函数
2、三角函数的求值类型有三类:(1)给角求值:一般所给出的角都是非特殊角,要观察所给角与特殊角间的关系,利用三角变换消去非特殊角,转化为求特殊角的三角函数值问题;(2)给值求值:给出某些角的三角函数式的值,求另外一些角的三角函数值,解题的关键在于“变角”,如α=(α+β) -β, 2α=(α+β) +(α-β) 等,把所求角用含已知角的式子表示,求解时要注意角的范围的讨论;(3)给值求角:实质上转化为“给值求值”问题,由所得的所求角的函数值结合所求角的范围及函数的单调性求得角。
3、三角等式的证明:(1)三角恒等式的证题思路是根据等式两端的特征,通过三角恒等变换,应用化繁为简、左右同一等方法,使等式两端的化“异”为“同”;(2)三角条件
等式的证题思路是通过观察,发现已知条件和待证等式间的关系,采用代入法、消参法或分
.三角函数的求值: 2.正确灵活地运用公式,通过三角变换消去或约去一些非特殊角的三角函数值; 3.一些常规技巧:“1”的代换、切割化弦、和积互化、异角化同角等. 1.三角函数式的化简: 三角函数式的化简常用方法是:异名函数化为同名三角函数,异角化为同角,异次化为
同次,切割化弦,特殊值与特殊角的三角函数互化.
2.三角恒等式的证明: 三角恒等式包括有条件的恒等式和无条件的恒等式.①无条件的等式证明的基本方法是
化繁为简、左右归一、变更命题等,使等式两端的“异”化为“同”;②有条件的等式 5
,那么sin 2θ等于 ( A )
9
22 A B 、
C 、 D 、-
3
32
2、函数y =-sin 2x x 的最小正周期 ( B )
A 、2π
B 、π C 、3π D 、4π
3、tan70cos1020-1) 等于 (
D )
1、已知θ是第三象限角,且sin θ+
cos θ=
4
4
A 、1 B 、2 C 、-1 D 、-2 4、已知sin α-α=
4m -67
(m ≠4) ,则实数m 的取值范围是__[-1,]___。 4-m 3
1,则cos 2α=__ 25、设0
m -34-2m π
m +5m +52
( C )
4-2m m -3535
(A ) (B ) ±(C ) - (D ) -或-
m -34-2m 41212
m -324-2m 25
) +() =1得m =8或m =0(舍) 略解:由(,∴sin θ=,∴m +5m +5135
t a n θ=-.
12
1
例2.已知cos(75+α) =,α是第三象限角,求cos(15-α) +sin(α-15) 的值.
3
解:∵α是第三象限角,∴k ⋅360+255
1
∵cos(75+α) =,∴α
+75是第四象限
角,∴
3, sin(75+
α) ==例
=1.已知s i θn
∴原式=cos(15-α) -sin(15-α) =sin(α+75) -cos(α+75) =-
2
2
4
1
. 3
例3.已知sin θ+sin θ=1,求3cos θ+cos θ-2sin θ+1的值.
解:由题意,sin θ=1-sin θ=cos θ,
2
2
22
∴原式=3sin θ+sin θ-2sin θ+1=sin θ+1-cos θ+1=sin θ-sin θ+2=2.
例4.已知8cos(2α+β) +5cos β=0,求tan(α+β) ⋅tan α的值.
解:∵2α+β=(α+β) +α,β=(α+β) -α, ∴8cos[(α+β) +α]+5cos[(α+β) -a ]=0, 得13cos(α+β)cos α=3sin(α+β)sin α
,若
c o αs +(β≠) αc ,则
13
, 3
若cos(α+β)cos α=0,tan(α+β) ⋅tan α无意义. tan(α+β) ⋅tan α=
说明:角的和、差、倍、半具有相对性,如β=(α+β) -α=(β-α) +α,
2α=(α+β) +(α-β
) ,2α+β=(α+β) +α等,解题过程中应充分利用这种变形.
例5.已知关于x 的方程2x 2-1) x +m =0的两根为sin θ,cos θ, θ∈(0,2π) ,
sin θcos θ
+的值;(2)m 的值;(3)方程的两根及此时θ的值.
1-cot θ1
-tan θ
⎧1sin θ+cos θ=⎪① ⎪2解:(1)由根与系数的关系,得⎨, ⎪sin θ⋅cos θ=m ② ⎪⎩2
求:(1)
sin 2θcos 2θsin 2θ-cos 2θ+==sin θ
+cos θ=∴原式=.
sin θ-cos θcos θ-sin θsin θ-cos θm (2)由①平方得:1+2sin θ⋅cos
θ=,sin θ⋅cos θ==,故
2
m =
. 2
1=
0,解得x 1=x 2=, 2
⎧⎧sin θ=1sin θ=⎪⎪2⎪⎪2∴⎨或⎨ ⎪cos θ=1⎪cos θ=⎪⎪⎩
2⎩2
ππ
∵x ∈(0,2π) ,∴θ=或.
36
(3
)当2x -1) x (1
例1.化简:
; ααα
(2)(cot-tan )(1+tan α⋅tan ) ;
222
θθ
(1+sin θ+cos θ)(sin-cos )
1
sin12)
=
解:(1
)原式=
sin 24cos 24
=-
sin 482
1+cos α1-cos αsin α1-cos α
-)(1+⋅) (2)原式=(
sin αsin αcos αsin α2cos α1-cos α1
(1+) =2cot α(1+-1) =2csc α. =
sin α
cos αcos α
=
(2cos2
(3)原式=
θ
+2cos sin )(sin-cos )
θθθθ
2cos (cos+sin )(sin-cos )
=
θθθθθ
2cos (sin2-cos 2) cos (-cos θ) = =
2|cos ||cos |
22
θπθθ
∵0
2222
∴原式=-cos θ.
2(3+cos 4x ) sin(2A +B ) sin B
-2cos(A +B ) =;(2.
1-cos 4x sin A sin A
sin 2x cos 2x sin 4x +cos 4x (sin2x +cos 2x ) 2-2sin 2x cos 2x
+== 证:(1)左边=
2cos 2x sin 2x sin 2x cos 2x sin 2x 4
11
1-sin 22x 1-sin 22x
8-4sin 22x 4+4cos 22x = ===
1211-cos 4x 1-cos 4x sin 2x (1-cos 4x ) 48
4+2(1+cos 4x ) 2(3+cos 4x )
==右边,∴得证. =
1-cos 4x 1-cos 4x
例3.证明:(1)tan x +cot x =
2
2
说明:由等式两边的差异知:若选择“从左证到右”,必定要“切化弦”;若“从右证到
左”,必定要用倍角公式.
sin[(A +B ) +B ]-2cos(A +B )sin A sin(A +B )cos A -cos(A +B )sin A
(2)左边= =
sin A sin A
=
sin[(A +B ) -A ]sin B ==右边,∴得证.
sin A sin A
1.若cos130=a ,则tan 50=
(
D )
2.(1+tan 20)(1+tan 21)(1+tan 24)(1+tan 25) =
( B ) (A ) 2 (B ) 4 (C ) 8
(A )
(B ) (C )
(D )
(D ) 16
1
. 答案:1cos 2x 3.化简:
22tan(-x )sin 2(+x )
44π317π7π28sin 2x +2sin 2x
45124751-tan x
11π
6.已知sin(α+β)cos α-[sin(2α+β) -cos β]=,0
222απ6sin α+cos α
7.(北京卷)已知tan =2,求(I )tan(α+) 的值;(II )的值.
243sin α-2cos α
2cos 4x -2cos 2x +
解:(I )∵ tan
α=2⨯2=-4; =2, ∴ tan α=
1-4231-tan 22
4π
-+1tan α+tan
π1=tan α+1=所以tan(α+) ==-; 41-tan αtan 1-tan α1+47
43
2tan
α
46(-) +1
746sin α+cos α6tan α+1(II )由(I), tanα=-, 所以===.
33sin α-2cos α3tan α-2
3(-) -26
3
8.(全国卷)已知函数f (x ) =2sin 2x +sin 2x , x ∈[0,2π].求使f (x ) 为正值的x 的集合. 解:∵f (x ) =1-cos 2x +sin 2x „„„„„„„„„„„„„„„„„„2分
=1x -) „„„„„„„„„„„„„„„„„„„4分
4
∴f (x ) >0⇔π
2s i n x (
4
π
>⇔) s 0i n (x 2-
π
4
>) -
„„„„6分 2
⇔-
π
4
+2k π
π
45π
+2k π„„„„„„„„„„8分 4
3π
+k π„„„„„„„„„„„„„„„„10分 4
3π7π
) ⋃(π, ) „„„„„„„„„12分 又x ∈[0,2π]. ∴x ∈(0,44
⇔k π
9.(浙江卷) 已知函数f (x ) =-3sin x +sin x cos x .
2
(Ⅰ) 求f (解:(Ⅰ
)
α25π1
) 的值; (Ⅱ) 设α∈(0,π) ,f () =,求sin α的值.
246sin
25π125πf (25π) =225π+
sin 25πcos 25π=0
=,cos 66666
26
(Ⅱ) f (x ) =
1
2x +
sin 2x 2
α11∴f () =α+sin α=-
2242
16sin α-4sin α-11=0 解得sin α=
1±3 8
α∈(0, π) ∴sin α>0∴sin a =1.
1+5
8
( B )
1+sin 4α+cos 4α
=
1+sin 4α-cos 4α(A ) cot α (B ) cot 2α
(C ) tan α
(D ) tan 2a
2.已知f (x ) α∈(5π, 3π) 时,式子f (sin2α) -f (-sin 2α) 可化简为( D )
42
(B ) -2cos α (C ) -2sin α (D ) 2cos α (A ) 2sin α
3.
2cos 2α-12tan(-α)sin 2(+α)
44
=.
三角函数的化简、求值与证明
一、选择题 1、已知sin(α-
1π
,则cos(+α) 的值等于
( D )
434
11 A
B 、 C 、 D 、-
33
) =
2
π
2、已知tan α、tan β是方程x ++4=0的两根,且α、β∈(-于 (B )
ππ
, ) ,则α+β等
22
π2ππ2ππ2π B 、- C 、或- D 、-或
333333
3cos x πx
3、化简(1+sin x )[-2tan(-)]为 ( B )
422cos 2(-) 42
A 、sin x B 、cos x C 、tan x D 、cot x
A 、
2sin 2αcos 2α
⋅= ( B ) 4、(全国卷Ⅲ)
1+cos 2αcos 2α
(A) tan α (B) tan 2α (C) 1 (D)
1 2
2
⎧⎪sin(πx ), -1
5、(山东卷)函数f (x ) =⎨x -1,若f (1) +f (a ) =2,则a 的所有可能值
⎪⎩e , x ≥0
为( B )
(A )1 (B )1, -二、填空题
222
(C )- (D )1, 222
sin 3a 133
=,则tan 2a =_____-_________. sin a 54
α4π1
7、(北京卷)已知tan =2,则tanα,tan (α+) 的值为
3472
4π2
8、已知tan(+θ) =3,则sin 2θ-2cos θ的值为___-____。
54
) =_-9、已知A 、B 为锐角,且满足tan A tan B =tan A +tan B +1,
则c o s (A +B _.
2
6、(全国卷Ⅱ)设a 为第四象限的角,若 三、解答题
10、求证:
1+sin α1-2sin 2
1+tan =1-tan 2
α.
2
sin 2α+2sin 2αππ
=k (
11、已知
1+tan α42
12
、求值:
-3)csc12
.
2
4cos 12-2
答案:-
,求(2-cos 2α)(2-cos 2β) 的值。答案:3 13
、已知tan αtan β=